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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第7篇 空间向量在立体几何中的应用(一)学案 理


第四十六课时

空间向量在立体几何中的应用 (一) 课前预习案

考纲要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量。 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。 4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 基础知识梳理 1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2 ,则 l1 / / l2 或 l1 与 l2 重合 ? _____________. ② 已 知 两 个 不 共 线 向 量 v1 , v2 与 平 面 ? 共 面 , 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 为 v , 则 l / /? 或 l 在 ? 内

??

?? ?

??

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?

? __________________________________. ?? ?? ? ③ 已 知 两 个 不 共 线 的 向 量 v1 , v2 与 平 面 ? 共 面 , 则 ? / / ? 或 ? 与 ? 重 合 ? __________________________________.
2.用向量运算证明两条直线垂直 设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2 ,则 l1 ? l2 ? _____________. 3.用向量运算求两条直线所成的角 设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2 ,直线 l1 和 l2 所成的角为 ? ,则 v1 , v2 与 ? 的关系是 _____________,即 cos ? ? _____________.两条异面直线所成角的范围是_______. 4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直 设 n1 , n2 分 别 是 平 面 ? , ? 的 法 向 量 , 则 ? / / ? 或

??

?? ?

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?? ?? ?

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? 与 ? 重 合 ? _________________ ;

? ? ? ? _____________ ? _____________.
5.直线与平面的夹角 (1)_________________________________________叫做斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角是 斜线和这个平面内所有直线所成角中_____________. (2)直线与平面所成角的范围是________________. (3)若斜线与它在平面内射影的夹角为 ?1 ,此射影与平面内直线的夹角为 ?2 ,斜线与平面内该直线的 夹角为 ? ,则 ? ,?1 ,?2 之间的关系是_____________. 6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角
1

直线 l 的方向向量 m ,平面α 的法向量为 n , l 与α 所成的角为 ? ,则 sin ? = CD ? m, n? .

??

?

预习自测 1、以点 A(4,1,9), B(10, ?1,6), C(2, 4,3) 为顶点的三角形是( )

A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、无法判断

2、已知 a ? (cos? ,1,sin ? ), b ? (sin ? ,1,cos? ) ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是( A、 90
?

?

?

? ?

? ?



B、 60

?

C、 30

?

D、 0

?

3、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB1 与平面 ACD 1 所成角的余弦值为(

)

A、

2 3

B、

3 3

C、

2 3

D、

6 3

4、在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平 面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A. 30 )

? ? ? ? B. 45 C. 60 D. 90 . ? ? 5、设 a ? (2,6, ?3) ,则与 a 平行的单位向量的坐标为

.

??? ? ??? ? 6、已知 AB ? ? 2,2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的一个法向量.

课堂探究案 典型例题 考点 1:利用向量证明平行与垂直问题 【典例 1】如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE。

考点 2 利用向量求两条异面直线所成的角 【典例 2】 【2012 上海】 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 底面 ABCD ,E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 , 求: (1)三角形 PCD 的面积;
2

(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。

考点 3:利用向量求直线与平面所成的角 【典例 3】如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA 1 ? 60? . 1 , ?BAA (1)证明: AB ? AC ; 1

AB ? CB ? 2 ,求直线 AC (2)若平面 ABC ⊥平面 AA 1 与平面 BB 1C1C 所成角的正弦值. 1B 1B ,

【变式 1】 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB=4, AA 1 ? 7 ,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AC 上,且

DE ? A1E
? 平面 ACC1 A1 ; (1)证明:平面 A 1DE
(2)求直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值。

当堂检测

2 AB , E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余 1、已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1=
弦值为( (A) )

10 10

(B)

1 5

(C)

3 10 10

(D)

3 5

2、 (2013 年湖南卷)如图,在直棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D1中,AD / / BC ,

?BAD ? 90? , AC ? BD, BC ? 1 , AD ? AA1 ? 3 .
3

(1)证明: AC ? B1 D ;(2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

课后拓展案 A 组全员必做题 1、 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AA 则异面直线 A 1 ? 2 AB , 1B 成角的余弦值为( ) A. 与 AD1 所

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5
与 侧 面

2、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 ACC1A1 所成角的正弦值等于( ) (A)

6 4

(B)

10 4

(C)

2 2

(D)

3 2

3、 【2012 陕西】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与 直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5
B组

4、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD 1 的中点。 (1)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F//平面 A1BE?证明你的结论。 A1 B1 A B C C1 D1 E D

4

B 组提高选做题 在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论. 参考答案 预习自测 1.A 2.A 3.D 4.C 5. ( , , ? ) 或 ( ?

2 6 7 7

3 7

2 6 3 ,? , ) 7 7 7

6.解:设 n ? ( x, y, z) 为平面 ABC 的一个法向量,

?

? ??? ? z ? ? ?x ? , ?n ? AB ? 0, ?2 x ? 2 y ? z ? 0, 则 ? ? ???? 即? ∴? 2 令z ? 2, ? ?n ? AC ? 0, ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0, ? ? y ? ? z.
得 n ? (1, ?2, 2) ,即平面 ABC 的一个法向量为 n ? (1, ?2, 2) . 典型例题

?

?

【典例 1】证明: (1)设 AC 、 BD 交点为 O ,连接 OE , ∵正方形 ABCD 边长为 2 , ∴ AC ? 2 , OA ? 1 ? EF , 又 EF / / AC , ∴四边形 OAFE 为平行四边形, ∴ AF / / OE , 又∵ AF ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , ∴ AF / / 平面 BDE . (2)∵平面 ABCD ⊥平面 ACEF ,平面 ABCD ? 平面 ACEF ? AC ,CE ? 平面 ACEF ,CE ⊥ AC ,
5

∴ CE ⊥平面 ABCD , ∴ CE ⊥ CD , CE ⊥ CB , 以 CD , CB , CE 所在直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,

则 C (0,0,0) , E (0, 0,1) , F (

2 2 , ,1) , D( 2,0,0) , B(0, 2,0) . 2 2 ??? ? 2 2 , ,1) . 2 2

∴ DE ? (? 2,0,1) , DB ? (? 2, 2,0) , CF ? (

??? ?

??? ?

∵ CF ? DE ?

??? ? ????

??? ? ??? ? 2 2 2 ? ? 2 ? 1?1 ? 0 , CF ? DB ? ? ? 2 ? ? 2 ? 0, 2 2 2

?

?

?

?

∴ CF ⊥ DE , CF ⊥ DB , 又 DE ? DB ? D , ∴ CF ⊥平面 BDE . 【典例 2】解: (1)∵ ABCD 为矩形,∴ AD ⊥ CD . ∵ PA ⊥底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ CD . 又∵ PA ? AD ? A , ∴ CD ⊥平面 PAD ,∴ PD ? CD

1 1 ? PD ? CD ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 . 2 2 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? ? ???? ??? ? 1 ??? (2) AE ? AP ? PC ? AP ? ( AC ? AP ) ? ( AB ? AD ? AP ) , 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? ∴ AE ? BC ? ( AB ? AD ? AP) ? AD ? 4 . 2
∴ S?PCD ?

??? ? ??? ? 1 | AE |? (4 ? 8 ? 4) ? 2 , | BC |? 2 2 , 4
∴ cos ? AE, BC ?? ∴ ? AE , BC ?? 【典例 3】

??? ? ??? ?

4 2 , ? 2 2? 2 2

??? ? ??? ?

?
4

,即异面直线 AE 与 BC 所成的角大小为

? . 4

(1)证明:取 AB 中点 O ,连接 OC 、 OA1 、 A1 B . ∵ CA ? CB ,∴ OC ⊥ AB ,
6

OA ∵ AB ? AA 1 ,∴ OC ?
又∵∠ BAA OAA 1 1 ? 60? , ∴ AO ? 3OA, 1
2 2 2 ∴ AA 1 ? OA ? OA 1 ,

1 AA1 , 2

∴∠ AOA 1 ? 90? , ∴ OA1 ⊥ AB . 又∵ OA1 ? OC ? O , ∴ AB ⊥平面 AOC , 1 ∴ AB ⊥ AC 1 . (2)解:∵平面 ABC ⊥平面 ABB1 A 1, ∴ OC ⊥平面 ABB1 A 1, ∴ OA , OA1 , OC 两两垂直. 以 OA , OA1 , OC 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则A 1 (0, 3,0) , C (0,0, 3) , B(?1, 0, 0) , B 1 (?2, 3,0) , ∴ AC ? (0, ? 3, 3) , BC ? (1,0, 3) , BB1 ? (?1, 3,0) . 1

????

??? ?

????

? ??? ? ? ? ? n ? BC ? 0, ? ? ? x ? 3z ? 0, ? x ? ? 3z, 设 n ? ( x, y, z) 为平面 BCC1B1 的一个法向量,则 ? ? ???? 即? ∴? ? ?n ? BB1 ? 0, ? ?? x ? 3 y ? 0, ? ? x ? 3 y. ? 令 x ? 3 ,则 n ? ( 3,1, ?1) ,设直线 AC 1 与平面 BCC1B 1 所成角为 ? ,
∴ sin ? ?| cos ? AC 1 , n ?| ?|

???? ?

? 3? 3 10 . |? 5 6? 5

【变式 1】 (1)证明:∵该棱柱为正三棱柱, ∴ AA1 ⊥平面 ABC , ∵ DE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? DE , 又 DE ? AA A1 E 1 , AA 1?A 1E ? A 1
7

∴ DE ⊥平面 A 1 ACC1 , ∵ DE ? 平面 A 1DE , ∴平面 A 1. 1DE ⊥平面 ACC1 A (2)解:取 AC 中点 O , A1C1 中点 O1 ,连接 OB , OO1 . 以 O 为原点, OA , OB , OO1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系(图略) , 则 A(2, 0, 0) , D(?1, 3,0) , A 1 (2,0, 7) , E (?1, 0, 0) .

0, 0) B(0, 2 3,0) , C (?2,
∴ AD ? (?3, 3,0) , A 1E ? (?3,0, ? 7) , DE ? (0, ? 3,0) .

??? ?

????

??? ?

? ???? ? ? ?n ? A1 E ? 0, ? ??3 x ? 7 z ? 0, 设 n ? ( x, y, z) 为平面 A ∴? 1DE 的一个法向量,则 ? ? ???? ? ?n ? DE ? 0, ? ?? 3 y ? 0,

? 7 z, ?x ? ? ∴? 3 令 z ? 3 ,则 x ? ? 7 , ? y ? 0, ?
∴ n ? (? 7,0,3) .

?

? 设直线 AD 与平面 A 1DE 所成角为 ,
∴ sin ? ? | cos ? AD, n ?|?|

???? ?

21 3 7 , |? 8 2 3? 7?9 21 . 8

故直线 AD 与平面 A 1DE 所成角的正弦值为

当堂检测 1.C 2. (1)证明:∵该棱柱为直棱柱, ∴ BB1 ? 平面 ABCD , ∵ AC ? ? 平面 ABCD , ∴ AC ? BB1 , 又 AC ? BD , BB1 ? BD ? B , ∴ AC ? 平面 BB1 D ,
8

∵ B1D ? 平面 BB1 D , ∴ AC ? B1 D . (2)

分别以 AB , AD , AA1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,设 AB = a ,则 A(0, 0, 0) ,

D(0,3,0) , B(a,0,0) , C (a,1, 0) ,
∴ AC ? (a,1,0) , BD ? (?a,3,0) , ∴ ?a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 3 ,
2

??? ?

??? ?

∴ B1 ( 3,0,3) , C1 ( 3,1,3) , C ( 3,1,0) , D1 (0,3,3) , 则 B1C1 ? (0,1,0) , AC ? ( 3,1,0) , AD1 ? (0,3,3) . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 ACD1 的一个法向量,

???? ?
?

??? ?

???? ?

? ???? ? 3 ? ? ? 3 x ? y ? 0, ? x ? ? ? n ? AC ? 0, ? y, 则 ? ? ???? ∴? ∴? 令 y ? 3 ,则 n ? (? 3,3, ?3) . ? 3 ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? y ? ? z, ? n ? AD1 ? 0, ? ?
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角为 ? , ∴ sin ? ?| cos ? B1C1 , n ?|?

???? ? ?

3 21 . ? 7 1? 3 ? 9 ? 9

A 组全员必做题 1.D 2.A 3.A 4.解:分别以 AB 、 AD 、 AA1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(图略) , 设棱长为 2,则 B(2, 0, 0) , E (0, 2,1) ,平面 ABB1 A 1 的一个法向量 AD ? (0, 2,0) ,∴ BE ? (?2, 2,1) .

????

??? ?

9

? (1)设直线 BE 与平面 ABB1 A 1 所成角为 ,
则 sin ? ?| cos ? AD, BE ?|?

???? ??? ?

4 2 ? . 2?3 3

(2) A 1 (0,0, 2) , E (0, 2,1) , ∴ BE ? (?2, 2,1) , A AE 1 E ? (0, 2, ?1) .

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ? ?n ? BE ? 0, 设 n ? ( x, y, z) 为平面 A 1BE 的一个法向量,则 ? ? ???? ? ?n ? A1 E ? 0,
即?

? ??2 x ? 2 y ? z ? 0, ? x ? 2 y, 整理得 ? 令 y ? 1 ,得 n ? (2,1, 2) . ?2 y ? z ? 0, ? z ? 2 y,

设 F ( x, 2, 2) ,则 B1F ? ( x ? 2, 2,0) ,∴ B1F ? n ? 2( x ? 2) ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 , 即 F 是棱 C1D1 中点时, B1F / / 平面 A 1BE . B 组提高选做题 (1)证明 如图,以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系, 设 AD=a,则 D(0,0,0)、

???? ?

???? ? ?

A(a,0,0)、B(a,a,0)、

? a ? C(0,a,0)、E?a, ,0?、 ?
2

?

?a a a? P(0,0,a)、F? , , ?. ?2 2 2?
2? →

a? → ? a EF=?- ,0, ?,DC=(0,a,0).

? 2

→ → → → ∵EF·DC=0,∴EF⊥DC,即 EF⊥CD.

a a? → ? a (2)解 设 G(x,0,z),则FG=?x- ,- ,z- ?, 2 2? ? 2
若使 GF⊥平面 PCB,则

a a? → → ? a 由FG·CB=?x- ,- ,z- ?·(a,0,0) 2 2? ? 2
=a?x- ?=0,得 x= ; 2 ? 2?

?

a?

a

a a? → → ? a 由FG·CP=?x- ,- ,z- ?·(0,-a,a) 2 2? ? 2
= +a?z- ?=0,得 z=0. 2 ? 2?
10

a2

?

a?

? ? ∴G 点坐标为? ,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ?2 ?
a

11



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