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第一章第2讲命题及其关系、充要条件


第 2 讲 命题及其关系、充要条件

1.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. ②两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)若 p

?q 且 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)若 p q 且 q?p,则 p 是 q 的必要不充分条件; (4)若 p?q,则 p 是 q 的充要条件; (5)若 p q且q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然 后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其 逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:即利用 A?B 与﹁B?﹁A;B?A 与﹁A?﹁B;A?B 与﹁B?﹁A 的等价关 系,特别对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. 3.利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若 A?B,则 p 是 q 的充 分条件或 q 是 p 的必要条件;若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件;若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. 1.(选修 2-1 P2 例 1 改编)下列语句中,其中是命题的个数有( ) ①??A;②x>1;③若 a 是素数,则 a 是偶数;④对数函数 y=logax 的定义域是{x|x> 0}吗?;⑤ ?-2?2=2;⑥|a|=a. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 解析:选 B.根据命题的定义可以判断真假的陈述句叫做命题,则①③⑤是命题,②④ ⑥不是命题,故选 B. 2.(选修 2-1 P8 A 组 T2(2)改编)命题:若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实数根的逆否 命题是( ) A.若方程 x2+x-m=0 无实数根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 无实数根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 有实数根,则 m>0

D.若方程 x2+x-m=0 有实数根,则 m≤0 解析:选 B.根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若﹁q,则﹁p”,故选 B. 3.(选修 2-1 P6 练习(3)改编)命题 p 的逆命题为:奇函数的图象关于原点对称,则 p 为 ) A.奇函数的图象不关于原点对称 B.若一个函数不是奇函数,则它的图象不关于原点对称 C.若一个函数的图象关于原点对称,则它是奇函数 D.若一个函数的图象不关于原点对称,则它不是奇函数 解析:选 C.命题 p 为:若一个函数的图象关于原点对称,则它是奇函数,故选 C. 4.(选修 2-1 P10 例 2 改编)下列判断正确的是( ) A.“x=y”是“x2=y2”的充分不必要条件 B.“a>b”是“ac>bc”的必要不充分条件 C.“x>y”是“x2>y2”的充分不必要条件 D.“a2=b2”是“a=b”的充要条件 答案:A 5. (选修 2-1 P12 练习 T2(1)改编)命题 p: x2=3x+4, 命题 q: x= 3x+4, 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.当 x2=3x+4 时,x=-1 或 4,当 x=-1 时,x= 3x+4不成立,即 p q. 2 当 x= 3x+4时,x≥0,3x+4≥0,则 x =3x+4,即 q?p, 所以 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B.

(

四种命题与真假性判断 (1)命题“若 a2+b2=0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是( ) A.若 a +b2≠0,则 a≠0 且 b≠0 B.若 a2+b2≠0,则 a≠0 或 b≠0 C.若 a=0 且 b=0,则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0 (2)命题 p:“矩形的对角线相等”的逆命题为 q,则 p 与 q 的真假性是( ) A.p 真 q 假 B.p 真 q 真 C.p 假 q 真 D.p 假 q 假 [解析] (1)“若 a2+b2=0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0,则 a2 +b2≠0”,故选 D. (2)q:对角线相等的四边形是矩形,根据矩形的性质可知,p 真,q 假. [答案] (1)D (2)A
2

(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个 命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (3)判断一个命题为假命题时举反例即可. 1.命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是( )

A.若 a>b,则 a-1≤b-1 B.若 a>b,则 a-1<b-1 C.若 a≤b,则 a-1≤b-1 D.若 a<b,则 a-1<b-1 解析: 选 C.根据否命题的定义可知, 命题“若 a>b, 则 a-1>b-1”的否命题应为“若 a≤b,则 a-1≤b-1”,故选 C. 2.命题“若 x2+3x-4=0,则 x=-4”的逆否命题及其真假性为( ) A.“若 x=-4,则 x2+3x-4=0”为真命题 B.“若 x≠-4,则 x2+3x-4≠0”为真命题 C.“若 x≠-4,则 x2+3x-4≠0”为假命题 D.“若 x=-4,则 x2+3x-4=0”为假命题 解析:选 C.根据逆否命题的定义可以排除 A,D,由 x2+3x-4=0,得 x=-4 或 1,故 选 C. 3.下列命题中为真命题的是( ) 2 A.命题“若 x>1,则 x >1”的否命题 B.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 1 D.命题“若 >1,则 x>1”的逆否命题 x 解析:选 B.对于 A,命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题为“若 x≤1,则 x2≤1”,易 知当 x=-2 时, x2=4>1, 故为假命题; 对于 B, 命题“若 x>y, 则 x>|y|”的逆命题为“若 x>|y|,则 x>y”,分析可知为真命题;对于 C,命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 为”若 x≠1,则 x2+x-2≠0”,易知当 x=-2 时,x2+x-2=0,故为假命题;对于 D, 1 1 命题“若 >1,则 x>1”的逆否命题为“若 x≤1,则 ≤1”,易知为假命题,故选 B. x x

充分条件、必要条件的判定 (2015· 高考浙江卷)设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当 a=2,b=-1 时,a+b=1>0,但 ab=-2<0,所以充分性不成立;当 a =-1,b=-2 时,ab=2>0,但 a+b=-3<0,所以必要性不成立,故选 D. [答案] D 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q;二是由条 件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、 复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化 为判断它的等价命题. 1.已知向量 a=(m2,-9),b=(1,-1),则“a∥b”是“m=-3”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.当 m=-3 时,a=(9,-9),b=(1,-1),则 a=9b, 所以 a∥b,即“m=-3”?“a∥b”; 当 a∥b 时,m2=9,得 m=± 3, )

所以不能推得 m=-3,即“a∥b “m=-3”, 故“a∥b”是“m=-3”的必要不充分条件,故选 B. 2.设 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 N?M,则 a2=1 或 a2=2, 解得 a=± 1 或 a=± 2, 所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件,故选 A. ??3a-1?x+4a,x≤1 ? 3.使函数 f(x)=? 在(-∞,+∞)上是减函数的一个充分不必要条 ?logax,x>1 ? 件是( ) 1 1 1 A. ≤a< B.0<a< 7 3 3 1 1 1 C. <a< D.0<a< 7 3 7 3a-1<0, ? ? 解析:选 C.由 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数可得?0<a<1, ? ?7a-1≥0. 1 1 该是[ , )的真子集,故选 C. 7 3 1 1 解得 ≤a< ,所求应 7 3

充要条件的证明 (2015· 高考全国卷Ⅱ节选)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: a + b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. [证明] ①若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2,即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d, 所以 ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. ②若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d, 所以 ab>cd. 所以( a+ b)2>( c+ d)2, 因此 a+ b> c+ d. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明充要条件的步骤: ①先证充分性,即 p?q,也就是说“若 p,则 q”是真命题; ②再证必要性,即 q?p,也就是说“若 q,则 p”也是真命题,从而 p?q,即 p 是 q 的充要条件. 1.设直线 l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0,求证:l1∥l2 的充要条件是 m= 2. 证明:当 m=2 时,l1:2x-2y-1=0,

l2:x-y+1=0,易知 l1∥l2; 2 当 l1∥l2 时, =m-1?m=2 或 m=-1, m 而当 m=-1 时,l1:2x+y-1=0,l2:-2x-y+1=0, 两条直线重合.故 m=-1 舍去. 所以 l1∥l2 的充要条件是 m=2. 2.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c. 求证:a>b 的充要条件是 sin A>sin B. 证明:当 a>b 时,由正弦定理得, 2Rsin A>2Rsin B,(R 为△ABC 外接圆半径) 即 sin A>sin B, 当 sin A>sin B 时,由正弦定理得, a b > ,即 a>b, 2R 2R ∴a>b 的充要条件是 sin A>sin B.

充分条件、必要条件在求参数范围中的应用
?log2x,x>0, ? 函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) ? ?-2 +a,x≤0 1 A.a<0 B.0<a< 2 1 C. <a<1 D.a≤0 或 a>1 2 [解析] 因为函数 f(x)过点(1,0), 所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+a(x≤0) x 没有零点?函数 y=2 (x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察选项,根据集合间的关系{a|a<0}?{a|a≤0 或 a>1},故选 A. [答案] A

解决此类问题一般是把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根 据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解,在求解参数的取值范围时,一定要注意 区间端点值的检验, 尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时, 不等式是否能 够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 1.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p,则 a 的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-3] 解析:选 A.由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p, 可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故 a≥1. ? 1 ? x 2.已知集合 A=?x2<2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一 ? ? 个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( ) A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.m<2 ? 1 ? x 解析:选 C.∵A=?x2<2 <8,x∈R?={x|-1<x<3},x∈B 成立的一个充分不必要条 ? ? 件是 x∈A, ∴A?B,∴m+1>3,即 m>2.

3.已知 p:(x+1)(2-x)<0,q:x≥k,如果 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 k 的取 值范围是________. 解析:由 p:(x+1)(2-x)<0,得 x<-1 或 x>2,又 p 是 q 的必要不充分条件, 所以 k>2,即实数 k 的取值范围是 k>2. 答案:k>2

一、选择题 1. (选修 2-1 P10 练习 T2(2)改编)若 x>5 是 x>a 的充分条件, 则实数 a 的取值范围为( ) A.a>5 B.a≥5 C.a<5 D.a≤5 解析:选 D.由 x>5 是 x>a 的充分条件知, {x|x>5}?{x|x>a}. ∴a≤5,故选 D. 2.(选修 2-1 P10 练习 T4 改编)下列命题中真命题的个数是( ) ①x=2 是 x2-4x+4=0 的充要条件; ②α=β 是 sin α=sin β 的充分条件; ③a>b 既不是 a2>b2 的充分条件也不是必要条件. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 D.①真,②真,③真.故选 D. 3. (选修 2-1 P12 练习 T2(3)改编)方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是( ) A.a≤1 B.a<1 C.a≥1 D.a>1 解析:选 A.法一:因为方程的二次项系数含有字母, 所以首先要判断方程 ax2+2x+1=0 是一元一次方程还是一元二次方程, 求充要条件时, 要保证推理过程的可逆性. 当 a=0 时,方程变为 2x+1=0, 1 解得 x=- 符合题意; 2 当 a≠0 时,一元二次方程 ax2 + 2x + 1 = 0 至少有一个负根的充要条件为 a<0 或 a>0, ? ? 2 ?-2a<0, ? ?Δ≥0, 所以 0<a≤1 或 a<0. 综上,满足题意的 a 的范围是 a≤1. 法二:方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根?方程 ax2+2x+1=0 在(-∞,0)上有解, 2 1 1 -a= + 2, x∈(-∞, 0), 令 =t∈(-∞, 0), 则-a=2t+t2≥-1, t∈(-∞, 0), 解得 a≤1. x x x 二、填空题 4.(选修 2-1 P12 A 组 T3(2)改编)若|x-2|≤3 是 m≤x≤n(m≤n)的必要不充分条件,则点 集{(m,n)}在坐标系 mOn 表示的平面区域的面积为________. 解析:由|x-2|≤3,得-1≤x≤5,由题意得 {x|m≤x≤n}?{x|-1≤x≤5}, ∴-1≤m≤n≤5. 点集{(m,n)}在坐标系 mOn 表示的平面区域如图阴影部分所示.

1 其面积 S= ×6×6=18. 2 答案:18 5. (选修 2-1 P7 例 4 改编)若 x=y=0, 则 x2+y2=0 的逆否命题是___________________. 答案:若 x2+y2≠0,则 x≠0 或 y≠0 三、解答题 6.(选修 2-1 P12 A 组 T4 改编)求证:圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的充要条件 2 是 D =4F,E≠0. 证明:必要性.当圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切, D E? 因为圆心为? ?- 2 ,- 2 ?. 1 半径 r= D2+E2-4F, 2 E 2 ? 1 2 2 则? ?- 2?=2 D +E -4F,即 D =4F. 充分性.当 D2=4F 时, D2 x2+y2+Dx+Ey+ =0, 4 D E E x+ ?2+?y+ ?2=? ?2, 即? 2 2 ? ? ? ? ? 2? 2 2 由 D +E -4F=E2>0 知, D E? 圆是以点? ?- 2 ,- 2?为圆心, ?E?为半径的圆,圆心到 x 轴的距离为?E?,此时圆与 x 轴相切. ?2? ?2? 2 2 所以圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的充要条件是 4D2=4F,E≠0.

一、选择题 1.设 m∈R,命题“若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m>0”的否命题是( ) 2 A.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m≥0 D.若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m≤0 [导学号 03350017] 解析:选 B.由原命题和否命题的关系可知 B 正确. 2.命题“若 x>1,则 x>0”的逆否命题是( ) A.若 x≤0,则 x≤1 B.若 x≤0,则 x>1 C.若 x>0,则 x≤1 D.若 x<0,则 x<1 [导学号 03350018] 解析:选 A.依题意,命题“若 x>1,则 x>0”的逆否命题是“若 x≤0,则 x≤1”,故选 A. 3.“0≤m≤1”是“函数 f(x)=sin x+m-1 有零点”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [导学号 03350019] 解析:选 A.要使函数 f(x)=sin x+m-1 有零点,则 m-1=-sin x ∈[-1,1],可知 0≤m≤2.当 0≤m≤1 时,显然能得到 0≤m≤2,即函数 f(x)=sin x+m-1 有零点,但反之不一定成立,故选 A. 4.下列命题是真命题的是( ) 1 1 A.若 = ,则 x=y x y B.若 x2=1,则 x=1 C.若 x=y,则 x= y D.若 x<y,则 x2<y2 1 1 [导学号 03350020] 解析:选 A.由 = 得 x=y,A 正确;由 x2=1 得 x=± 1,B 错误; x y 由 x=y, x, y不一定有意义,C 错误;由 x<y 不一定能得到 x2<y2,如 x=-2,y =-1,D 错误,故选 A. 5.已知 p:x≤1,q:x2-x>0,则 p 是﹁q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

[导学号 03350021] 解析:选 B.依题意,﹁q:x2-x≤0,即 0≤x≤1;由 x≤1 不能得 知 0≤x≤1;反过来,由 0≤x≤1 可得 x≤1.因此,p 是﹁q 成立的必要不充分条件,故选 B. 6.命题 p:“若 x2<1,则 x<1”的逆命题为 q,则 p 与 q 的真假性为( ) A.p 真 q 真 B.p 真 q 假 C.p 假 q 真 D.p 假 q 假 [导学号 03350022] 解析:选 B.q:若 x<1,则 x2<1. ∵p:x2<1,则-1<x<1.∴p 真, 当 x<1 时,x2<1 不成立, ∴q 假,故选 B. 7.若 x,y∈R,则 x>y 的一个充分不必要条件是( ) 2 2 A.|x|>|y| B.x >y C. x> y D.x3>y3 [导学号 03350023] 解析:选 C.由|x|>|y|,x2>y2 未必能推出 x>y,排除 A,B;由 x> y可推出 x>y,反之,未必成立,而 x3>y3 是 x>y 的充要条件,故选 C. 8.若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补,记 φ(a,b)= a2+b2- a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a 与 b 互补”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [导学号 03350024] 解析:选 C.若 φ(a,b)=0,即 a2+b2=a+b,两边平方得 ab=0, 故具备充分性.若 a≥0,b≥0,ab=0,则不妨设 a=0,φ(a,b)= a2+b2-a-b= b2-b =0,故具备必要性, 所以“φ(a,b)=0”是“a 与 b 互补”的充要条件. 9.设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 [导学号 03350025] 解析:选 D.当等比数列{an}的首项 a1<0,公比 q>1 时,如 an= -2n 是递减数列, ?a1<0, ?a1>0, ? ? 所以充分性不成立;反之,若等比数列{an}为递增数列,则? 或? 所以 ?0<q<1 ?q>1 ? ? 必要性不成立,即“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 10.若 p:|x|≤2,q:x≤a,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( ) A.a≥2 B.a≤2 C.a≥-2 D.a≤-2 [导学号 03350026] 解析:选 A.p:|x|≤2,即-2≤x≤2,因为 q:x≤a,且 p 是 q 的 充分不必要条件, 所以 a≥2,故选 A. 11.已知 a,b∈R,下列四个条件中,使“a>b”成立的必要而不充分的条件是( ) A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.2a>2b [导学号 03350027] 解析:选 A.对于选项 A,a>b-1 不能推出 a>b,但 a>b 可以推 出 a>b-1,故选 A. 12.“a≤-2”是“函数 f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [导学号 03350028] 解析:选 A.结合图象可知函数 f(x)=|x-a|在[a,+∞)上单调递增, 易知当 a≤-2 时,函数 f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增,但反之不一定成立,故选 A. 二、填空题 13.命题“正数 a 的平方等于 0”的否命题为________. [导学号 03350029] 答案:若 a 不是正数,则它的平方不等于 0 14.命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是________. [导学号 03350030] 答案:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 15.对于原命题:“已知 a、b、c∈R,若 ac2>bc2,则 a>b”,以及它的逆命题、否 命题、逆否命题,真命题的个数为________. [导学号 03350031] 解析:原命题为真命题,故逆否命题为真; 逆命题:若 a>b,则 ac2>bc2 为假命题,故否命题为假命题, 所以真命题个数为 2. 答案:2 x-1 16.已知命题 p:|1- |≤2,q:(x-1+m)(x-1-m)≤0(m>0),且 q 是 p 的必要不 3 充分条件,则实数 m 的取值范围是________. x-1 x-1 [导学号 03350032] 解析:由|1- |≤2?-2≤ -1≤2?-2≤x≤10,由(x-1 3 3 +m)(x-1-m)≤0,得 x∈[1-m,1+m],又 q 是 p 的必要不充分条件,即 p?q,q?/ p, ? ?1-m≤-2 所以? ,(等号不同时成立) ?1+m≥10 ? 得 m≥9,即实数 m 的取值范围为[9,+∞). 答案:[9,+∞)


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