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2008年福建省龙泉中学高二数学阶段测试(《解三角形》与《数列》)人教版必修5


2008 年福建省龙泉中学高二数学必修 5 阶段测试(《解三角形》与《数列》)
(满分:150 分 时间:120 分钟)

一、选择题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知数列 1, 3 , 5 , 7 ,3, 11 ,?, 2n ? 1 ,?, 21 是这个数列的( A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 12 项

D.第 21 项 2.已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? A. ? )

1 ,则公比 q =( 4
C.2 )

) D.

1 2
1 4

B. ? 2

1 2

3.若?ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. ? B.

1 2 2 C. ? D. 4 3 3 4.设数 {a n } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A.1 B.2 C.4 D.8
5.已知数列 ? an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p ? q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于(
*





A. ?165 B. ?33 C. ?30 6.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( 0 0 0 A. b=10, A=45 , C=60 B. a=6, c=5, B=60 0 0 C. a=7, b=5, A=60 D. a=14, b=16, A=45 7.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

D. ?21 )

1 n

) D. 1 ? n ? ln n )

8.在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形 )

9.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°,60°,则塔高为( A

王新敞
奎屯

新疆

400 m? 3

B

王新敞
奎屯

新疆

400 3 m? 3

C

王新敞
奎屯

新疆

200 3 m? 3

D

王新敞
奎屯

新疆

200 m 3

10.小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列 {a n } 有以下结论, ① a 5 ? 15 ; ② {a n } 是一个等差数列; ③数列 {a n } 是一个等比数列;
?

④数列 {a n } 的递堆公式 a n ?1 ? a n ? n ? 1(n ? N ),

其中正确的是(



用心

爱心

专心

A.①②④

B.①③④

C.①②

D.①④

11.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 .. .. ) a ? b ? c 的值为( 1 2 1

0.5

a
b

c
A.1 B.2 C.3 D.4
o 12.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那么 ) x 的值为(

A. 3

B. 2 3

C. 3 或 2 3

D.3

13. 已知-9, a1 , a2 ,-1 四个实数成等差数列,-9, b1 , b2 , b3 ,-1 五个实数成等比数列,则

b2 (a2 ? a1 ) ? (
A. 8

) B. -8 C.±8 D.

9 8 * 14.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和为 S n ,且点 P(an , an?1 )(n ? N ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,


1 1 1 1 ? ? ? ? ? =( ) S1 S2 S3 Sn 2 n(n ? 1) A. B. n( n ? 1) 2

C.

2n n ?1

D.

n 2( n ? 1)

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 15.设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 16.已知数列 {an } 满足 a1 ? a , an ?

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5

1 ? 1(n ? 2) ,若 a4 ? 0 ,则 a ? an ?1 3 ,则∠C= 2

17.在△ABC 中,若 a +b <c ,且 sinC=

2

2

2

用心

爱心

专心

18.已知数列{ a n }满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ), 则a 2008 的值为

19.△ABC 中,a、b、c 成等差数列,∠B=30°, S ?ABC =
2

3 ,那么 b= 2
项.

20.(文科做)若数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn=n -10n ,则数列 ?nan ? 中数值最小的项是第

(理科做)已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3, 1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),??,按规律,第 600 个数 对为 三、解答题:(本大题分 5 小题共 56 分) 21.(10 分)某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入使用后每年收益为 21 万元。 该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。 (1)求 an ; (2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
费用(万元)

an 4 2 1 2 n


22.(10 分)已知 ? an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ? an ? 的通项; (2)求 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n 的值。

23.(12 分)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航 行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海 里,问乙船每小时航行多少海里? 北
? ?

120? A 2
B2

105? A 1


B1

用心 爱心 专心

24.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.它的外接圆半径为 6. ∠B,∠C 和△ABC 的面积 S 满足条件: S ? a ? (b ? c) 且 sin B ? sin C ?
2 2

4 . 3

(1)求 sin A (2)求△ABC 面积 S 的最大值.

25.(12 分,第 3 步仅理科做,文科不需做)若有穷数列 a1 , a2 ...an ( n 是正整数),满足

a1 ? an , a2 ? an ?1 ....an ? a1 即 ai ? an ?i ?1( i 是正整数, 1 ? i ? n ) 就称该数列为 且 , “对称数列” 。
例如,数列 1,,,, 与数列 8,,,,, 都是“对称数列”. 2 5 21 4 2 2 4 8 (1)已知数列 ?bn ? 是项数为 9 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 成等差数列, b1 ? 2 , b4 ? 11 , 试求 b6 , b7 , b8 , b9 ,并求前 9 项和 s9 . (2) 已知 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ? 1? 的对称数列, ck , ck ?1 ...c2 k ?1 构成首项为 31, 且 公差为 ?2 的 等差数列,数列 ?cn ? 的前 2k ? 1 项和为 S 2 k ?1 ,则当 k 为何值时, S 2 k ?1 取到最大值?最大值为多 少? (3)设 ? d n ? 是 100 项的“对称数列”,其中 d51,52, ,100 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.求 d ?d

? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,, , ) . 2 ? 100

用心

爱心

专心

参考答案: 一、选择题:B D A B C D A, D A D A C B C
二、填空题:15、 1 16、 ?

2 3

17、

2? 3

18、 0

19、 3 ? 1

20、 3 、 (5,31)

三、解答题: 21.解:(1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

??4 分

f ( n) ? 21n ? [2n ?

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
??10 分

由于 f(1)<0,f(2)>0 所以从第 2 年该公司开始获利 22.解:(1)? a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3 (2)? 28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

? an ? 2 8? 3 n

??4 分

1 3

∴数列 ? an ? 从第 10 项开始小于 0 ∴ a n ? 28 ? 3n ? ?

?28 ? 3n, (n ? 9) ?3n ? 28, (n ? 10 )

当 n ? 9 时, a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

a1 ? a n 2

?n ?

25 ? 28 ? 3n 53n ? 3n 2 ?n ? , 2 2

当 n ? 10 时, a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ( a1 ? a 2 ? ? ? a9 ) ? ( a10 ? a11 ? ? ? a n )

?

a1 ? a9 2

?9?

a10 ? a n 2

? (n ? 9)

25 ? 1 2 ? 3n ? 28 ?9? ? (n ? 9) 2 2 (3n ? 26)( n ? 9) ? 117 ? 2 ?
? 3n 2 ? 53n ? 468 2

? 53n ? 3n 2 , ( n ? 9) ? ? 2 ∴ a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2 ? 3n ? 53n ? 468 , (n ? 10 ) ? 2 ?

??10 分

用心

爱心

专心

23.解法一:如图,连结 A1 B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60


? A1 A2 ? A2 B1 , 又∠A1 A2 B2 ? 180? ? 120? ? 60? , ?△ A1 A2 B2 是等边三角形,
? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A1 B1 ? 20 ,
? ∠B1 A1 B2? 1 0 5 ? 6 ?0 ? 4? 5 ????6 分 ,

????4 分

120? A 2
B2

105?

A1

B1
乙 甲

在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ?A1B2 ? 45? ? 202 ? (10 2) 2 ? 2 ? 20 ?10 2 ? cos

2 ? 200 . 2

? B1 B2 ? 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为

????10 分

10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20
????12 分

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

解法二:如图,连结 A2 B1 ,由已知 A1B2 ? 20 , A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 ,∠B1 A1 A2 ? 105? , 60
2(1 ? 3) , 北 4 2(1 ? 3) . 4

cos105? ? cos(45? ? 60? ) ? cos 45? cos 60? ? sin 45? sin 60? ?

sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ?
在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理,

120? A 2
B2

105? A 1


B1
?

A2 B ? A2 B ? A1 A ? 2 A1 B1 ?A1 A2 ? cos105
2 1 2 2 2 2



? (10 2) 2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?
? A1 B1 ? 10(1 ? 3) .
由正弦定理

2(1 ? 3) ? 100(4 ? 2 3) . 4

sin ∠A1 A2 B1 ?

A1 B1 20 2(1 ? 3) 2 ? ∠B1 A1 A2 ? sin ? ? , A2 B2 4 2 10(1 ? 3)

用心

爱心

专心

?∠A1 A2 B1 ? 45? ,即∠B1 A2 B1 ? 60? ? 45? ? 15? ,
在 △B1 A1 B2 中,由已知 A1 B2 ? 10 2 ,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 ?A2 B2 ? cos15?

c o s 1? 5 ?

2 (1 ? s i n? 1 0 5 ? 4

3)



? 102 (1 ? 3) 2 ? (10 2) 2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ?
? B1 B2 ? 10 2 ,
乙船的速度的大小为

2(1 ? 3) ? 200 . 4

10 2 ? 60 ? 30 2 海里/小时. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

24.解:(1) S ? a ? b ? c ? 2bc ? 2bc ? 2bc cos A ? 2bc(1 ? cos A).
2 2 2

又S ?

1 bc sin A 2

? 2bc(1 ? cos A) ?

1 bc sin A ? sin A ? 4(1 ? cos A) 2
??????3 分

联立得: ?

?sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ?sin A ? 4(1 ? cos A)
2 2

得: 16(1 ? cos A) ? cos A ? 1

? (17 cos2 A ? 15)(cos A ? 1) ? 0

?0 ? A ? ?

? cos A ? 1 ? 1
??????6 分 ??????8 分

15 8 从而得 : sin A ? 17 17 1 4 (2) S ? bc sin A ? bc 2 17 4 b c 4 ? sin B ? sin C ? ? ? ? 3 2R 2R 3 ?R ? 6 ? b ? c ? 16 ? cos A ? ?S ?

??????9 分

25.解:(1)设 ? bn ?前 5 项的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11 , 解得 d ? 3 ,

4 4 4 4 256 bc ? b(16 ? b) ? ? (b 2 ? 16b) ? ? (b ? 8) 2 ? 17 17 17 17 17 256 ??????12 分 . ?当 b=c=8 时, S 最大 ? 17
????1 分

∴ b6 ? b4 =11, b7 ? b3 ? 2+2×3=8, b8 ? b2 ? 2 ? 3 ? 5 , b9 ? b1 ? 2 ∴ s9 =2(2+5+8+11+14)-14=66 ????4 分

用心

爱心

专心

(2) S 2 k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2 k ?1

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2 k ?1 ) ? ck k (k ? 1) ? ? ∴ S2 k ?1 ? 2 ? k ? 31 ? ? (?2) ? ? 31 ? ?2( k ? 16 ) 2 ? 2 ?162 ? 31 ????6 分 2 ? ? ? 当 k ? 16 时, S 2 k ?1 取得最大值. S 2 k ?1 的最大值为 481.
(3) d51 ? 1, d100 ? 1? 2 ? 2 .
49 49

????8 分

由题意得 d1, 2, ,50 是首项为 249 ,公比为 d ?d

当 n ≤ 50 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

1 的等比数列. 2 1 249 (1 ? n ) 2 ? 250 ? 250?n . ? 1 1? 2

????10 分

当 51≤ n ≤100 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

? S 50 ? ?d 51 ? d 52 ? ? ? d n ? ? 250 ? 1 ?

1 ? 2n ?50 ? 250 ? 2n ?50 ? 2 1? 2

?250 ? 250 ? n , 1 ≤ n ≤ 50, 综上所述, Sn ? ? 50 n ? 50 ? 2, 51 ≤ n ≤ 100. ? 2 ?2

????12 分

用心

爱心

专心


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