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2013年高中数学解题思维一点通:-巧构造 妙解题


巧构造 妙解题

1. 直接构造 例 1. 求函数 f ( x) ? 分析:由于 f ( x) ?

3 ? sin x 的值域。 2 ? cos x

3 ? sin x 可以看作定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)连线的斜率, 2 ? cos x 故 f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解:令

? ? ? cos x,? ? sin x ,则 ? 2 ? ? 2 ? 1 表示单位圆

3?? ? k 表示连接定点 P(2,3)与单位圆上任一点( ? , ? )所得直线 2?? ? ? k? ? (3 ? 2 k ) ? 0 的斜率。 f ( x) ?
显然该直线与圆相切时,k 取得最值,此时,圆心(0,0)到这条直线的距离为 1,即

|3 ? 2 k| 1? k2

?1

所以 k ? 2 ? 故2 ?

2 3 3

2 3 2 3 ? f ( x) ? 2 ? 3 3

例 2. 已 知 三 条 不 同 的 直 线 x sin 3? ? y sin ? ? a , x sin 3? ? y sin ? ? a ,

x sin 3? ? y sin ? ? a 共点,求 sin ? ? sin ? ? sin ? 的值。
分析: 由条件知 sin ?, sin ?, sin ? 为某一元方程的根, 于是想法构造出这个一元方程, 然后用韦达定理求值。 解:设(m,n)是三条直线的交点,则可构造方程 m sin 3? ? n sin ? ? a ,即

4 m sin 3 ? ? ( n ? 3m) sin ? ? a ? 0 (*)
由条件知, sin ?, sin ?, sin ? 均为关于 sin ? 的一元三次方程(*)的根。 由韦达定理知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0

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2. 由条件入手构造 例 3. 已知实数 x,y,z 满足 x ? 6 ? y,z 2 ? xy ? 9 ,求证: x ? y 分析:由已知得 x ? y ? 6,xy ? z 2 ? 9 ,以 x,y 为根构造一元二次方程,再由判别式 非负证得结论。 解:构造一元二次方程 p 2 ? 6p ? z 2 ? 9 ? 0 其中 x,y 为方程的两实根 所以 ? ? 36 ? 4( z 2 ? 9) ? 0

即 z2 ? 9 ? 9

z 2 ? 0,z ? 0
故△=0,即 x ? y 3. 由结论入手构造 例 4. 求证:若 n ? 3 , n ? N ,则

1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ??? 3 ? 3 12 3 4 5 n

分析:待证式的左边求和的分母是三次式,为降低分母次数,构造一个恒不等式。

1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] 3 ( k ? 1) k ( k ? 1) 2 ( k ? 1) k k ( k ? 1) k
所以左边 ?

1 1 1 ? ??? 2 ? 3? 4 3? 4 ?5 ( n ? 1) n( n ? 1)

? ?

1 1 1 1 1 1 1 [ ? ? ? ??? ? ] 2 2 ? 3 3? 4 3? 4 4 ?5 ( n ? 1) n n( n ? 1) 1 1 1 1 [ ? ]? 2 2 ? 3 n( n ? 1) 12

故原式得证。

例 5. 已知实数 x,y 满足 0 ? x ? y ? z ?

?
2

,求证:

?
2

? 2 sin x cos y ? 2 sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

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分析:要证原式成立,即证

?
4

? sin x cos y ? sin y cos z ? sin x cos x ? sin y cos y ? sin z cos z

即证

?
4

? sin x(cos x ? cos y) ? sin y(cos y ? cos z) ? sin z cos z

由三角函数线知可构造下图, 此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和 S1 ? S 2 ? S 3 , 而

1 ? 单位圆的面积为 ,所以 4 4

?
4

? sin x(cos x ? cos y) ? sin y(cos y ? cos z) ? sin z cos z

故结论成立。

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