当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年高中数学解题思维一点通:-巧构造 妙解题


巧构造 妙解题

1. 直接构造 例 1. 求函数 f ( x) ? 分析:由于 f ( x) ?

3 ? sin x 的值域。 2 ? cos x

3 ? sin x 可以看作定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)连线的斜率, 2 ? cos x 故 f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解:令 ? ? ? cos x,? ? sin x ,则 ? 2 ? ? 2 ? 1 表示单位圆

3?? ? k 表示连接定点 P(2,3)与单位圆上任一点( ? , ? )所得直线 2?? ? ? k? ? (3 ? 2 k ) ? 0 的斜率。 f ( x) ?
显然该直线与圆相切时,k 取得最值,此时,圆心(0,0)到这条直线的距离为 1,即

|3 ? 2 k| 1? k2

?1

所以 k ? 2 ? 故2 ?

2 3 3

2 3 2 3 ? f ( x) ? 2 ? 3 3

例 2. 已 知 三 条 不 同 的 直 线 x sin 3? ? y sin ? ? a , x sin 3? ? y sin ? ? a ,

x sin 3? ? y sin ? ? a 共点,求 sin ? ? sin ? ? sin ? 的值。
分析: 由条件知 sin ?, sin ?, sin ? 为某一元方程的根, 于是想法构造出这个一元方程, 然后用韦达定理求值。 解:设(m,n)是三条直线的交点,则可构造方程 m sin 3? ? n sin ? ? a ,即

4 m sin 3 ? ? ( n ? 3m) sin ? ? a ? 0 (*)
由条件知, sin ?, sin ?, sin ? 均为关于 sin ? 的一元三次方程(*)的根。 由韦达定理知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0

第 1 页 共 3 页

2. 由条件入手构造 例 3. 已知实数 x,y,z 满足 x ? 6 ? y,z 2 ? xy ? 9 ,求证: x ? y 分析:由已知得 x ? y ? 6,xy ? z 2 ? 9 ,以 x,y 为根构造一元二次方程,再由判别式 非负证得结论。 解:构造一元二次方程 p 2 ? 6p ? z 2 ? 9 ? 0 其中 x,y 为方程的两实根 所以 ? ? 36 ? 4( z 2 ? 9) ? 0

即 z2 ? 9 ? 9

z 2 ? 0,z ? 0
故△=0,即 x ? y 3. 由结论入手构造 例 4. 求证:若 n ? 3 , n ? N ,则

1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ??? 3 ? 3 12 3 4 5 n

分析:待证式的左边求和的分母是三次式,为降低分母次数,构造一个恒不等式。

1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] 3 ( k ? 1) k ( k ? 1) 2 ( k ? 1) k k ( k ? 1) k
所以左边 ?

1 1 1 ? ??? 2 ? 3? 4 3? 4 ?5 ( n ? 1) n( n ? 1)

? ?

1 1 1 1 1 1 1 [ ? ? ? ??? ? ] 2 2 ? 3 3? 4 3? 4 4 ?5 ( n ? 1) n n( n ? 1) 1 1 1 1 [ ? ]? 2 2 ? 3 n( n ? 1) 12

故原式得证。

例 5. 已知实数 x,y 满足 0 ? x ? y ? z ?

?
2

,求证:

?
2

? 2 sin x cos y ? 2 sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

第 2 页 共 3 页

分析:要证原式成立,即证

?
4

? sin x cos y ? sin y cos z ? sin x cos x ? sin y cos y ? sin z cos z

即证

?
4

? sin x(cos x ? cos y) ? sin y(cos y ? cos z) ? sin z cos z

由三角函数线知可构造下图, 此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和 S1 ? S 2 ? S 3 , 而

1 ? 单位圆的面积为 ,所以 4 4

?
4

? sin x(cos x ? cos y) ? sin y(cos y ? cos z) ? sin z cos z

故结论成立。

第 3 页 共 3 页


相关文章:
2013年高中数学解题思维一点通:注重结论 巧妙应用
2013年高中数学解题思维一点通:注重结论 巧妙应用 隐藏>> 注重结论 巧妙应用祁正...?1(不 ,即 1 x0 x1 ? x 2 x 0 x 0 2 符合题意舍去)或 k ? 2 ...
2013年高中数学解题思维一点通:再谈解题切入点的找寻
2013年高中数学解题思维一点通:再谈解题切入点的找寻 隐藏>> 再谈解题切入点的找寻 求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点,那么,如何寻找解题的切入点 ...
2013年高中数学解题思维一点通:浅谈数学填空题的解题方法
2013年高中数学解题思维一点通:浅谈数学填空题的解题方法_高三数学_数学_高中教育...合理的解题方案,要不断提高解题过程中合理性、简 捷性的意识,以达到巧解妙算...
2013年高中数学解题思维一点通:用几何模型 解概率问题
数学小题训练90 2页 1财富值 江苏省泰兴市2013届...2013年高中数学解题思维一点通:用几何模型 解概率问题...? 2? 4 图3 解决问题的关键是要构造出随机事件...
2013年高中数学解题思维一点通:组合问题的解决方案
2013年高中数学解题思维一点通:组合问题的解决方案_数学_高中教育_教育专区。组合...解:此题为“至多至少组合问题” ,计算出满足要求的 2 字母和 2 数字的组合...
2013年高中数学解题思维一点通:空间向量与立体几何解答...
2013年高中数学解题思维一点通:空间向量与立体几何解答题精选 隐藏>> 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com (数学选修 2-1)第三章 空间向量与立体几何解答题精选 1...
2013年高中数学解题思维一点通:均值不等式求最值策略
2013年高中数学解题思维一点通:均值不等式求最值策略...b ? 1 2 ,满足 (2)引入参数,巧渡难关 例 10...16 说明:请读者用三角换元解此题,可令 (3)利用...
2013年高中数学解题思维一点通:绝对值不等式解法指导
2013年高中数学解题思维一点通:绝对值不等式解法指导_数学_高中教育_教育专区。2013...3| ? 3x ? 1 解:由题意知 3x ? 1 ? 0 ,原不等式转化为 ? (3x ?...
2013年高中数学解题思维一点通:解排列组合应用题的21种...
2013年高中数学解题思维一点通:解排列组合应用题的21种策略 隐藏>> 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解排列组合应用题的 21 种策略排列组合问题是高考的必考题,...
2013年高中数学解题思维一点通:空间向量与立体几何解答...
2013年高中数学解题思维一点通:空间向量与立体几何解答题精选_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。(数学选修 2-1)第三章 空间向量与立体几何解答题精选 1 已知...
更多相关标签: