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高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结


线面角的求法 1.直接法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段, 垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段 的作用。 例 1 ( 如图 1 )四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45° , ∠SBC=60° , M 为 AB 的中点, 求(1)BC 与平面 SA

B 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成的角。
C

H

S M A

B

解:(1) ∵SC⊥SB,SC⊥SA, 图1 ∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60° 。 (2) 连结 SM,CM,则 SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM, ∴面 ABC⊥面 SCM 过 S 作 SH⊥CM 于 H, 则 SH⊥平面 ABC ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH/SC ∴SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为√7/7 ( “垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定 理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。 ) 2. 利用公式sinθ =h/ι 其中θ 是斜线与平面所成的角, h是 垂线段的长,ι 是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线 上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例 2 ( 如图 2) 长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ,求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。
D A 3 2 B C

4 D1 A1

H C1 B1

1

解: 设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1/3 S△AB1C1· h= 1/3 S△BB1C1· AB, 易得 h=12/5 , 设 AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ 3. 利用公式 cosθ =cosθ 1· cosθ
2

,则 sinθ

=h/AB=4/5,∴AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin0.8

(如图3) 若 OA为平面的一条斜线,O为斜足,OB为OA在面α 内的射影,OC为面α 内的一条直线,
A

O

B C

其中θ 为OA与OC所成的角,

α

图3

θ 1为OA与OB所成的角,即线面角,θ 2为OB与OC所成的角,那么 cosθ =cosθ 1· cosθ 2,它揭示了斜线和 平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角(常称为最小角定理) 1.平面的斜线和平面所成的角: 已知,如图, AO 是平面 ? 的斜线, A 是斜足, OB 垂直于平面 ? , B 为垂足,则直线 AB 是 斜线在平面 ? 内的射影。设 AC 是平面 ? 内的任意一条直线,且 BC ? AC ,垂足为 C ,又设 AO 与 AB 所成角为 ? 1 , AB 与 AC 所成角为 ?2 , AO 与 AC 所成角为 ? ,则易知:

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? O | AB |?| AO | cos?1 , | AC |?| AB | cos?2 ?| AO | cos?1 cos?2 ??? ? ???? 又∵ | AC |?| AO | cos ? , 可以得到: cos? ? cos?1 ? cos?2 , ? B ?1 ? ? ?2 A 注意: ? 2 ? (0, ) (若 ? 2 ? ,则由三垂线定理可知, 2 2 C ? ? OA ? AC ,即 ? ? ;与“ AC 是平面 ? 内的任意一条直线,且 BC ? AC ,垂足为 C ”不相符) 。 2 ? 易得: cos? ? cos ?1 又 ? , ?1 ? (0, ) 即可得: ?1 ? ? . 2

则可以得到: (1)平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角; (2)斜线和平面所成角:一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角,叫做斜线和平面所成角(或 叫斜线和平面的夹角) 。 说明:1.若 a ? ? ,则规定 a 与 ? 所成的角是直角; 2.若 a // ? 或 a ? ? ,则规定 a 与 ? 所成的角为 0 ;
?
? ?

3.直线和平面所成角的范围为: 0 ? ? ? 90 ; 4.直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值( cos? ? cos?1 ? cos?2 ) 。 例3 (如图 4) 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60° , , 求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。
A

B O C D

α

2

解: ∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面 OBC 内的射影在∠BOC 的平分线 OD 上, 则∠AOD 即为 OA 与 面 OBC 所成的角, 可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD· cos∠DOC, ∴cos60° =cos∠AOD· cos30° ∴ cos∠AOD= √3/3 ∴ OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为√3/3。

2.例题分析: 例 1.如图,已知 AB 是平面 ? 的一条斜线, B 为斜足, AO ? ? , O 为垂足, BC 为 ? 内的一条直线,

?ABC ? 60? , ?OBC ? 45? ,求斜线 AB 和平面 ? 所成角。

A

解:∵ AO ? ? ,由斜线和平面所成角的定义可知, ?ABO 为 AB 和 ? 所成角, B 又∵ cos? ? cos?1 ? cos?2 ,

O C

cos ?ABC cos 60? 1 2 2 ∴ cos ?ABO ? , ? ? ? ? ? cos ?CBO cos 45 2 2 2 ? ? ∴ ?BAO ? 45 ,即斜线 AB 和平面 ? 所成角为 45 .
例 2.如图,在正方体 AC1 中,求面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角。

?

D1
O ,连结 OB , 〖解〗 (法一)连结 AC 1 1 与 B1 D1 交于
∴ ?A 1BO 是 A 1 B 与对角面 BB 1D 1 D 所成的角, ∵ DD1 ? AC ? 平面 BB1D1D , 1 1, B 1D 1 ? AC 1 1 ,∴ AO 1

O

C1 B1

A1

1 A1 B ,∴ ?A1BO ? 30? . 2 BO (法二)由法一得 ?A 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角, 1
在 Rt ?A1BO 中, A1O ?

D A

C
B

2 BB 6 , cos ?B1BO ? 1 ? , 2 BO 3 2 cos ?A1 BB1 3 ? ? 2 ? ∴ cos ?A1 BO ? ,∴ ?A . 1BO ? 30 cos ?B1 BO 2 6 3
又∵ cos ?A1 BB1 ? cos 45 ?
?

说明:求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影,后求斜线与其射影的夹角。另外,在 条件允许的情况下,用公式 cos? ? cos?1 ? cos?2 求线面角显得更加方便。 例 3.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。
A

解:过 A 作 AO ? 平面 BCD 于点 O ,连接 CO, BO, DO , ∵ AB ? AC ? AD ,∴ O 是正三角形 BCD 的外心,

3 a, 3 ? ∵ ?AOC ? 90 ,∴ ?ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成角,
设四面体的边长为 a ,则 CO ?
3

C

O D

B

∴ cos ?ACO ?

3 3 ,所以, AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为 . 3 3

2.如图,已知 PA ? 正方形 ABCD 所在平面,且 PC ? 24, PB ? PD ? 6 10 ,求 PC 和平面 ABCD 所 P 成的角。 P

B A

A

D

?

C

B

C

4

5

6

7


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