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1.5.1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章 三角函数

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第一章
1. 5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第一章 三角函数

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第一章
1.5.1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第一章 三角函数

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第一章

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课前自主预习

第一章

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温故知新 1.“五点法”作图是正余弦函数作图中一种非常重要的方 法,通常在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用 π 3 的“五点”为 (0,0)、(2,1)、(π,0)、(2π,-1)、(2π,1) ;在余 弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的“五点”为 π 3 (0,1)、(2,0)、(π-1)、(2π,0)、(2π,1) .

第一章

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2.函数

?π ? y=tan?4-x?的定义域为( ? ?

)

π A.{x|x≠4,x∈R} π B.{x|x≠-4,x∈R} π C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z} 4 3π D.{x|x≠kπ+ 4 ,k∈Z}
[答案] D
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[解析]

?π ? ? π? 由tan?4-x?=-tan?x-4?, ? ? ? ?

π π 3π ∴x-4≠kπ+2,从而x≠kπ+ 4 ,k∈Z. 故选D.

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3.比较大小 tan1________tan4.

[答案]

>

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[解析]

由正切函数的图象易知tan1>0,tan4=tan(4-

π π),而0<4-π<1< , 2
? π π? 函数y=tanx在?-2,2?上为增函数, ? ?

∴tan1>tan(4-π)=tan4.

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1 4.求函数 y= 2 的值域. tan x-2tanx+2
[解析] 1 y= , ?tanx-1?2+1

∵(tanx-1)2≥0, ∴(tanx-1)2+1≥1,即y∈(0,1].

第一章

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新课引入 电在人类社会中起着非常重要的作用,交流电中电流强度 I 与时间 t 的关系,物理学中波的传播等,都可以用函数 y= Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数)来表示.由于图象是函数最直观 的模型,那么如何作这类函数的图象,这类函数的图象与正弦 曲线有什么关系?

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自主预习 认真阅读教材 P49-53 回答下列问题. 1.φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响 如图所示,对于函数 y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0 时)或向右(当 φ<0 时)平行移动| φ |个单位长度得到的.

第一章

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[拓展]将函数y=f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度 后,得到函数y=f(x+a)(a≠0)的图象.当a>0时,向左平移, 当a<0时,向右平移,简记为“左加右减”.

第一章

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π 将函数y=sinx的图象向左平移 3 个单位长度后所得图象的 解析式为( ) π B.y=sinx+3
? π? D.y=sin?x+3? ? ?

π A.y=sinx-3
? π? C.y=sin?x-3? ? ?

[答案]

D

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2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响 如图所示,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y= sin(x+φ)的图象上所有点的 横 坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当 1 0<ω<1时)到原来的 ω 倍(纵坐标不变)而得到.

第一章

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[拓展]函数y=f(ωx)(ω>0)的图象,可以看作是把函数y= f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 1 到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的. ω

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π π 把函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度,再把 4 8 1 所得图象上各点横坐标缩短到原来的 ,则所得图象的解析式 2 是( ) 3π A.y=sin(4x+ 8 ) C.y=sin4x
[答案] C
第一章 1.5 1.5.1

π B.y=sin(4x+8) D.y=sinx

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[解析]

分清对横坐标还是纵坐标所作的变换,左、右平

π 移是对 x 变化,并且是对单个的 x 进行变化,把 y=sin(2x+ ) 4 π π 的图象向右平移8个单位长度,用(x-8)代换原解析式中的 x, π π 即得函数式 y=sin[2(x-8)+4],即 y=sin2x,再把 y=sin2x 的 1 图象上的各点的横坐标缩短到原来的 ,就得到解析式 y = 2 sin2(2x),即 y=sin4x 的图象.

第一章

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3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响 如图所示,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y =sin(ωx+φ)的图象上的所有点的纵 坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.

第一章

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[拓展]函数y=Af(x)(A>0,且A≠1)的图象,可以看作是把 函数y=f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到 原来的A倍(横坐标不变)而得到的.

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1 把函数 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 (横 4 坐标不变),所得图象的解析式为( A.y=4sinx C.y=sin4x
[答案] B

)

1 B.y=4sinx 1 D.y=sin4x

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[解析]

1 由于各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的4,所

1 以应当对 sinx 的系数进化变化,即 y= sinx. 4

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4.函数y=Asin(ωx+φ)的图象常见画法 π 3π (1)五点法:①列表(ωx+φ通常取0, ,π, ,2π这五个 2 2 值);②描点;③ 连线 . (2)变换法: ①(相位变换)先把y=sinx的图象上所有的点 向左 (当φ>0时)

sin(x+φ) 或 向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度,得函数y=
的图象;

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②(周期变换)再把函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横 坐标缩短(当ω>1时)或伸长(0<ω<1时)到原来的 变),得函数y= sin(ωx+φ)的图象; ③(振幅变换)再把函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵 坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不 变),得函数y= Asin(ωx+φ) 的图象. 1 倍(纵坐标不 ω

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? π? 1 函数y=sinx的图象经过怎样的变换得函数y= 2 sin ?2x-4? ? ?

的图象?

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[解析]

步骤:

π ①将函数y=sinx的图象向右平移 个单位长度,得到函数 4
? π? y=sin?x-4?的图象; ? ?

②再把函数y=sin

? π? ?x- ? 4? ?

的图象上所有点的横坐标缩短到

? π? 1 原来的 ,纵坐标不变,得函数y=sin?2x-4?的图象. 2 ? ?

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? π? ③把函数y=sin ?2x-4? 图象上所有点的纵坐标缩短到原来 ? ?

π? 1 1 ? 的 ,得函数y= sin?2x-4?的图象. 2 2 ? ?

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[拓展]y=sinx的图象变换成y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象一 般有两个途径: 途径一:先相位变换,再周期变换 先将y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长 1 度,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 ω 倍(纵坐标 不变),得y=sin(ωx+φ)的图象.

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途径二:先周期变换,再相位变换 1 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐 ω |φ| 标不变),再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位 ω 长度,便得y=sin(ωx+φ)的图象.

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课堂典例讲练

第一章

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思路方法技巧
命题方向 1 函数 y=Asin(ωx+φ)图象的作法

π 作出函数 y=3sin(2x+ )的图象. 3 [分析] 五点法 解析式 ――→ 图象 或变换法

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[解析] 列表:

法一:(五点法):

π 2x+ 3 x π 3sin(2x+3)

0 π -6 0

π 2 π 12 3

π π 3 0

3π 2 7π 12 -3

2π 5π 6 0

第一章

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描点连线得到函数在一个周期内的简图,利用函数的周期 π 性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到 y=3sin(2x+ ),x 3 ∈R 的简图.

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法二:(图象变换法): π y=3sin(2x+ )的图象,可用下面方法得到的. 3 π π 方法①:(x―→x+3―→2x+3)

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π π 方法②:(x→2x→2(x+6)=2x+3)

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规律总结:(1)用五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象, 五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的 点. (2)用五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)图象的步骤是: 第一步:列表 ωx+φ x y 0 φ -ω 0 π 2 π φ 2ω - ω A π π φ ω -ω 0 3 π 2 3π φ 2ω-ω -A 2π 2π φ ω -ω 0

第一章

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第二步:在同一坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,而成图象. (3)图象变换法有两种方法,方法一是先平移,后伸缩;方 法二是先伸缩,后平移,表面上看,两种变换方法中平移的单 φ 位数分别是|φ|和|ω|.是不同的, 但由于平移时平移的对象已有变 化,所以得到的结果都是一致的.

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1 将函数 y=sinx 依次进行怎样的变换可得到 y=3sin(2x+ π )+1 的图象? 10 [分析] 移即可. 先相位变换,再周期变换,再振幅变换,最后平

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[解析]

π ①将函数 y=sinx 的图象向左平移10个单位, 得函

π 数 y=sin(x+10)的图象; π 1 ②将所得 y=sin(x+10)图象上各点横坐标缩短到原来的2 π 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(2x+ )的图象; 10

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π 1 ③将所得 y=sin(2x+ )图象上各点纵坐标缩短到原来的 10 3 1 π 倍(横坐标不变),得到 y=3sin(2x+10)的图象; 1 π ④将所得图象向上平移 1 个单位长度, 得到 y=3sin(2x+10) +1 的图象.

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命题方向 2

函数图象的变换
π 为得到函数 y=cos(2x+ )的图象,只需将 y=sin2x 3

的图象(

)

5 A.向左平移12π 个长度单位 5 B.向右平移12π 个长度单位 5 C.向左平移6π 个长度单位 5 D.向右平移6π 个长度单位
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[解析]

π 先将函数化为同名函数,y=cos(2x+ )=sin(2x+ 3

π π 5 5 3+2)=sin(2x+6π)=sin2(x+12π).故只需将 y=sin2x 的图象 5 π 向左平移12π 个长度单位,即可得到 y=cos(2x+3)的图象.
[答案] A

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?1 π? 1 要得到函数 y=sin x 的图象, 只需将函数 y=sin?2x+4?的 2 ? ?

图象(

)

π A.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移4个单位长度

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π C.向左平移 个单位长度 2 π D.向右平移 个单位长度 2

[答案] D

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[解析]

?1? π? π? 1 ? ? ∵y=sin2x=sin?2 x-2?+4? ?, ? ? ? ? ?1 π? π y=sin?2x+4?向右平移 个单位长度. 2 ? ?

∴只需将函数

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为了得到函数 图象( )

? x π? y=cos?2-4?的图象, 可以将函数 ? ?

x y=sin 的 2

π A.向左平移2个单位长度 π B.向左平移4个单位长度 π C.向右平移2个单位长度 π D.向右平移4个单位长度 [答案] A
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[解析]

?π ? x π?? ? x π? ? ? ? - + y=cos?2-4?=sin? ?2 ?2 4?? ? ? ? ?

? 1? ? x π? π?? ? =sin?2+4?=sin?2?x+2?? ,故选 ?? ? ? ? ? ?

A.

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名师辨误作答
平移变换错误 π π 把函数 y=sin(5x-2)的图象向右平移4个单位长度, 1 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍,所得函数的解 析式为________.

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[错解]

对解答本题时易犯的错误具体分析如下: 常见错误 错误原因

π 右移4个单位得 y= 平移交换时, 把 5x 看作变换 对象.实际上解答本题问题 3π sin(5x- 4 )的图象, 时,弄清一条原则:平移是 再伸缩后得 y= 针对 x 而言的,而不是针对 3π sin(10x- 4 ). x 及系数一个整体来说的.

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[错因分析]

此类问题的解决,应按三角函数图象平移、

伸缩变换的要求,按部就班,但要弄清变换对象,平移方向及 伸缩幅度.

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[正解]

π 将原函数的图象向右平移 个单位长度,得到 y= 4

π π 7π sin[5(x-4)-2]=sin(5x- 4 )的图象, 再将所得图象上各点的横 1 7π 坐标缩短为原来的2倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=sin(10x- 4 ) 的图象. [答案] 7π y=sin(10x- ) 4

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