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等差数列前n项和性质


等差数列前n项和性质

一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n( n ? 1)d S n ? na1 ? 2

2.等差数列前n项和的性质(1)

n(n ? 1)d 由Sn ? na1 ? 2
d 2 d 可化成 S

n ? n ? (a1 ? )n 2 2
当d≠0时,是一个常数项为零的二次式.

结论:
等差数列前n项和的最值问题有两种方法:

d 2 d (1) 由 S n ? n ? (a1 ? )n 利用二次函 2 2 数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1>0,d<0,前n项和有最大值. 可由an≥0,且an+1 < 0,求得n的值; 当a1<0,d>0,前n项和有最小值. 可由an≤0,且an+1 > 0,求得n的值.

3.等差数列前n项和的性质(2)

已知等差数列的前n项和Sn,如何求a n ? 利用Sn与a n的关系: ? S1 , n ? 1 an = ? ? Sn ? S n ?1 , n ? 2

二.巩固练习
1.已知数列{an }的前项和Sn =2n -23n,
2

(1)求其通项公式a n;

(2)求Sn的最值。

2.在等差数列{an }中,a1 =25,S17 =S9 , 求Sn的最值。

1.已知数列{an }的前项和Sn =2n -23n,

2

(1)求其通项公式a n;
1.解:(1)由题意可知: 当n ? 2时,a n ? Sn ? S n ?1 ? 2n 2 ? 23n ? [2(n ? 1) 2 ? 23(n ? 1)] ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 23n ? 23(n ? 1) ? 4n ? 25 当n ? 1时,a1 ? ?21 ? S1 ? an ? 4n ? 25(n ? N ? ) 23 23 2 529 (2) ? Sn ? 2n ? 23n ? 2(n ? n) ? 2(n ? ) ? 2 4 8 由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn ) min ? ?66
2 2

(2)求Sn的最值。

17 ? (17 ? 1) 2.解 : (法一)由S17 =S9 , 得25 ?17 ? d 2 9 ? (9 ? 1) ? 25 ? 9 ? d 解得d ? ?2 2 n ? (n ? 1) ? (?2) ? Sn ? 25n ? ? ?n 2 ? 26n ? ?(n ? 13) 2 ? 169 2 ?由二次函数的性质知,当n ? 13, (Sn ) max ? 169 (法二)先求出d=-2(同法一) ?an ? 25 ? (n ? 1) ? (?2) ? 0 ?n ? 13.5 ? a1 ? 25 ? 0,由 ? 得? ?n ? 12.5 ?an ?1 ? 25 ? n ? (?2) ? 0 ?当n ? 13, (Sn ) max ? 169

3. 已知数列{an}是正数数列,且

1 2 ? Sn ? (an ? 2) (n ? N ) 8 (1)求证{an}是等差数列 ;
1 (2)若 bn = an -30,则数列{bn }的前n项和有最什么值, 2 并求该最值;

(3)求数列{ bn }的前n项和Tn

1 1 2 2 (1)证明 : 当n ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? (an ? 2) ? (an ?1 ? 2) 8 8 1 2 ? (an ? 4an ? 4 ? an ?12 ? 4an ?1 ? 4) 8 2 2 2 2 ? 8an ? an ? an ?1 ? 4an ? 4an ?1即an ? an ?1 ? 4an ? 4an ?1 ? 0 ? (an 2 ? an ?12 ) ? 4(an ? an ?1 ) ? 0 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 4) ? 0 ?{an }是正数数列,? an ? an ?1 ? 0 ? an ? an ?1 ? 4 ? 0即an ? an ?1 ? 4 由等差数列的定义,?{an }是等差数列

1 (2)由(1)知d=4,a1 =S1 = (a1 ? 2) 2 解得a1 ? 2 8 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 1 ? bn ? an ? 30 ? 2n ? 31 2 易知数列{bn }是以为b1 =-29首项,以b2 -b1 =2为公差的等差数列, n(n ? 1) ? 其前n项和Sn ? ?29n ? ? 2 ? n 2 ? 30n ? (n ? 15) 2 ? 225 2 由二次函数的性质可知当n ? 15时,(Sn ) min ? ?225

(3)由(2)bn ? 2n ? 31, 首项b1 ? ?29, 公差d ? 2, 当n ? 15时,bn ? 0;当n ? 16时,bn ? 0, ?当n ? 15时,Tn = b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? ? S n ? 30n ? n 2 当n ? 16时, Tn ? b1 ? b2 ? ... ? b15 ? b16 ? ... ? bn ? ?(b1 ? b2 ? ... ? b15 ) ? b16 ? b17 ? ... ? bn ? ?2(b1 ? b2 ? ... ? b15 ) ? (b1 ? b2 ? ... ? b15 ? b16 ? b17 ? ... ? bn ) ? ?2 S15 ? S n ? ?2 ? (?225) ? n 2 ? 30n ? n 2 ? 30n ? 250
2 ? 3 0 n ? n , n ? 15 ? ? Tn ? ? 2 ? ?n ? 30n ? 450, n ? 16

4.等差数列前n项和的性质(3)

等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k ,......也成等差数列。 (公差为k ? d)
2

证明:设首项为a1,公差为d, 2k ? (2k ? 1) ? d k ? (k ? 1) ? d ? S2 k ? Sk ? 2k ? a1 ? ? [k ? a1 ? ] 2 2 (4k 2 ? 2k ? k 2 ? k ) 3k 2 ? k ? ka1 ? d ? ka1 ? d 2 2 k ? (k ? 1) ? d 3k ? (3k ? 1) ? d 又? Sk ? ( S3k ? S2 k ) ? k ? a1 ? ? [3k ? a1 ? 2 2 2k ? (2k ? 1) ? d k 2 ? k ? 9k 2 ? 3k ? 4k 2 ? 2k ?2k ? a1 ? ] ? 2ka1 ? d 2 2 6k 2 ? 2k ? 2ka1 ? d ? 2ka1 ? (3k 2 ? k )d 2 3k 2 ? k 而2(S2 k ? Sk)=2(ka1 ? d) ? 2ka1 ? (3k 2 ? k )d 2 ? S k ? ( S3 k ? S 2 k ) ?结论成立。

例 1 :在等差数列{an }中,S10 =10,S20 =40,求S30

解:由等差数列前n项和性质知S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 也成等差数列,即10,30,S30 -40成等差数列, ? 2 ? 30 ? 10 ? (S30 -40) 解得S30 ? 90

课堂练习1:见课堂作业第13页第9题

课堂练习2:等差数列{an }中,若S2 =2,S6 =24,求S4

5.等差数列前n项和的性质(4) 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论: S奇 ? S偶 ? S所有
1.当项数为2n(偶数)时: an ?1 (1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2) ? S奇 an 2.当项数为2n-1(奇数)时: S奇 n (1)S奇 ? S偶 ? an (an是中间项)(2) ? S偶 n ? 1 S偶

1.当项数为2n(偶数)时: S偶 an?1 (1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2) ? S奇 an
n(a2 ? a2 n ) n ? (2 ? an ?1 ) 证明: ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? ? 2 2 ? n ? an ?1

n(a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? ? n ? an 2 2 ? (1) S偶 ? S奇 ? n ? an ?1 ? n ? an ? n ? (an ?1 ? an ) ? n ? d n ? an ?1 an ?1 (2) ? ? S奇 n ? an an S偶

2.当项数为2n-1(奇数)时: (1)S奇 ? S偶 S奇 n ? a中 (中间项,即an )(2) ? S偶 n ?1

证明 : ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? 2

(n ? 1) ? (a2 ? a2 n ? 2 ) ? 2

(n ? 1) ? (2 ? an ) ? ? (n ? 1) ? an ? (n ? 1) ? a中 2 n ? (a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? 2 2 ? n ? an ? n ? a中 ? (1) S奇 ? S偶 ? n ? an ? (n ? 1) ? an ? an ? a中 S奇 n ? an n (2) ? ? S偶 (n ? 1) ? an n ? 1

例2:已知等差数列{an }中,共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。 例3:已知等差数列{an }中,共有2n-1项,S奇 =290, S偶 = 261, 求项数与中间项。

例2:已知等差数列{an }中,共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。

解: ? 该等差数列的项数为10项, 1 ? S偶 ? S奇 =n ? d即15-12.5=5 ? d,解得d ? 2 又 ? S偶 ? S奇 1 10 ? 9 ? 2 ? S10即15 ? 12.5 ? 10a1 ? 2

1 解得a1 ? 2 1 1 ? a1 ? , d ? 2 2

例3:已知等差数列{an }中,共有2n-1项,S奇 =290, S偶 =261. 求项数与中间项。

解: ? 该等差数列的项数为2n ? 1项, ? S奇 ? S偶 ? a中即 290 ? 261 ? a中 ,? a中 ? 29 S奇 n 290 n 又? ? 即 ? , 解得n ? 10 S偶 n ? 1 261 n ? 1 ? 项数为2 ?10 ? 1 ? 19

课堂练习:已知等差数列{an }中,共有2n+1项,S奇 =51, S偶 =42.5, a1 ? 1, 求项数及通项公式。

课外作业: 设其前项和为Sn ,求Sn的最值。

()等差数列 1 {an }中,已知3a 8 =5a13 , a1 ? ?39,

(2)等差数列{an }中,已知S3 ? 5, S9 ? 18, 求S6


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