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成才之路北师大数学必修2-2.1.1


成才之路 · 数学
北师大版 · 必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
解析几何初步

第二章

解析几何初步

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第二章 §1 直线与直线的方程
1.1 直线的倾斜角和斜率

第二章

解析几何初步

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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课后强化作业

第二章

§1

1.1

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课前自主预习

第二章

§1

1.1

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意大利中部的比萨城内,有一座造型古朴而又秀巧的钟 塔,是罗马式建筑的范本,这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨 斜塔.每年有80万游客来到塔下,无不对它那“斜而不倒”的 塔身表示忧虑和焦急,同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的

奇迹而庆幸万分.那么经过 600 多年的风雨沧桑,比萨斜塔的
倾斜度又是多少呢?学完本节后,相信你一定能解决这个问 题.

第二章

§1

1.1

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第二章

§1

1.1

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1.直线的确定

在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件是:已知
一个点 和这条直线的________ 方向 . 直线上的________ 2.直线的倾斜角 (1) 定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直 逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l重 线l,把x轴(正方向)按________ 倾斜角 ,规定,与x轴平行或重合 合所成的角,叫作直线l的________ 0° 的直线的倾斜角为________ . [0°,180°) . (2)倾斜角的范围是______________
第二章 §1 1.1

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3.直线的斜率 (1) 定 义 : 倾 斜 角 不 是 90° 的 直 线 , 它 的 倾 斜 角 α 的 正切 值叫作这条直线的斜率,即k=________. tanα ________
(2)斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜 y2-y1 x2-x1 x1≠x2). 率公式是 k=________(

第二章

§1

1.1

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1.下列条件能确定一条直线的是(

)

①直线上的一点和它的方向
②直线上的一点和它的倾斜角 ③直线上的两点 ④与x轴垂直的直线 A.①②③ B.①③④

C.②③④
[答案] A

D.①②④

[解析] 根据确定直线的条件可知①②③正确,选A.
第二章 §1 1.1

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2.若直线x=3的倾斜角为α,则α( A.等于0° C.等于90° [答案] C D.不存在

)

B.等于45°

[解析] ∵x=3的斜率不存在,∴α=90°,选C.

第二章

§1

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3.已知点 A(-1, 3),B(1,3 3),则直线 AB 的倾斜角是 ( ) A.60° C.120° B.30° D.150°

[答案] A

3 3- 3 [解析] k= = 3,则直线 AB 的倾斜角是 60° . 1-?-1?

第二章

§1

1.1

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4.正三角形的一条高线在y轴上,则三边所在直线的倾斜 角分别为__________. [答案] 0°,60°,120° [ 解析 ] 根据正三角形 ( 高线、中线、角平分线 ) 合一的性

质可知两条腰所在直线的倾斜角分别为 60°和 120°,底边所
在直线与x轴平行或重合,故倾斜角为0°.

第二章

§1

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5.已知直线l经过A(5,-3)、B(4,y)、C(-1,9)三点,则l
的斜率为__________,y=__________. [答案] -2 -1

9-?-3? 12 [解析] kl=kAC= =- 6 =-2. -1-5 又∵A,B,C 三点共线,∴kAC=kBC, y-9 即 =-2,∴y=-1. 4-?-1?

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课堂典例讲练

第二章

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倾斜角的概念
已知直线 l 的倾斜角为 α,0° <α<90° ,若 l 绕着 它与 x 轴的交点 A 顺时针旋转 90° , 得到直线 l1, 那么 l1 的倾斜 角为多少?
[思路分析] 即指出倾斜角. 作出 l、l1 的图,通过图形直观地认识问题,

第二章

§1

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[规范解答] 如图所示,直线l1的倾斜角为90°+α.

第二章

§1

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[规律总结]

根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意

画出草图,然后根据定义找直线向上的方向与 x 轴的正方向的 夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论,讨论时要 做到不重不漏,讨论的分类主要有 0°角、锐角、直角和钝角

四类.

第二章

§1

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下图中标注的各条直线的倾斜角是否正确?为什么?

第二章

§1

1.1

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[解析]

题图(1)中的角α的一边取的是x轴的负方向,因此

标注不正确; 题图(2)中的角α的一边取的是直线向下的方向,因此标注 不正确;

题图(3)中的角α的两边分别取的是x轴的负方向和直线向下
的方向,因此标注不正确,但是它的大小等于直线的倾斜角; 题图(4)中的角α是y轴正方向与直线向上方向所成的角,因

此标注不正确.

第二章

§1

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求直线的斜率
(1)已知两条直线的倾斜角 α1 =30° ,α2=45° ,求这两条直线的斜率; (2)如图,已知 A(3,2),B(-4,1),C(0, -1),求直线 AB,BC,AC 的斜率; (3)求经过两点 A(a,2),B(3,6)的直线的斜率.
[思路分析] 解决.
第二章 §1 1.1

y2-y1 利用斜率公式 k=tanα 和 k= (x1≠x2)来 x2-x1

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[规范解答]

3 (1)k1=tan30° = 3 ,k2=tan45° =1.

1-2 1 (2)直线 AB 的斜率 kAB= =7; -4-3 -1-1 -2 1 直线 BC 的斜率 kBC= = 4 =-2; 0-?-4? 2-?-1? 3 直线 AC 的斜率 kAC= =3=1. 3-0 (3)当 a=3 时,斜率不存在. 4 当 a≠3 时,直线的斜率 k= . 3-a
第二章 §1 1.1

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[规律总结]

1.求直线的斜率通常有两种方法: 一是已知直

线的倾斜角 α 时,可根据斜率的定义,利用 k=tanα 求得;二 是已知直线上经过的两点时,可利用两点连线的斜率公式计算 求得. y 2 -y 1 2.使用斜率公式 k= 时,要注意前提条件 x1≠x2.若 x2-x1 x1=x2,则斜率不存在.当两点的横坐标含有字母时,要先讨论 横坐标是否相等再确定直线的斜率.

第二章

§1

1.1

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(1) 若 直 线 l 的 倾 斜 角 为 60° , 则 该 直 线 的 斜 率 为
________; (2)经过两点A(3,2),B(4,7)的直线的斜率是________.
[答案] (1) 3 (2)5

[解析] (1)直线 l 的斜率为 k=tan60° = 3. 7-2 (2)直线 AB 的斜率为 kAB= =5. 4-3

第二章

§1

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直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时,过点 A(2a,3),B(2,-1)的直线的 倾斜角是锐角?钝角?直角?
[思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线

的倾斜角是锐角,则k>0,若为钝角,则k<0,若为直角,则斜

率不存在.

第二章

§1

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[规范解答] kAB>0,

当过点 A,B 的直线的倾斜角是锐角时,

3+1 2 根据斜率公式得 kAB= = >0, 2a-2 a-1 ∴a>1; 2 同理,当倾斜角为钝角时,kAB<0,即 <0, a-1 ∴a<1. 当倾斜角为直角时,A,B 两点的横坐标相等. 即 2a=2,∴a=1.
第二章 §1 1.1

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[规律总结]

根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角

0° ≤α<90° 时,斜率是非负的;当倾斜角 90° <α<180° 时,斜率 是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题.

第二章

§1

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已知直线l经过点P(5,10),Q(m,12),若l的倾斜角θ≥90°,
则实数m的取值范围是________. [答案] m≤5
[解析] 当 θ=90° 时,直线 l 的斜率不存在,故 m=5;当 2 θ>90° 时,倾斜角为钝角,l 的斜率 k<0,即 <0,解得 m<5. m-5 综上 m 的取值范围是 m≤5.

第二章

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利用斜率解决三点共线问题

求证 A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.
[思路分析] 根据过同一点的两条直线,若它们的斜率相

等,则两直线必重合,证明三点共线.

第二章

§1

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[规范解答]

yB-yA 2-5 kAB= = =3, xB-xA 0-1

yC-yA 8-5 kAC= = =3. xC-xA 2-1 ∴kAB=kAC,又过同一点 A, ∴A,B,C 三点共线.

第二章

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[规律总结]

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度

的,直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任何 不同的两点所确定的斜率相等,这正是利用斜率可证三点共线

的原因.

第二章

§1

1.1

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分别判断下列三点是否在同一直线上.
(1)(0,2),(2,5),(3,7); (2)(-1,4),(2,1),(-2,5).

5-2 3 7-2 5 [解析] (1)∵ = , = . 2-0 2 3-0 3 ∴上述三点不在同一直线上. 1-4 5-4 (2)∵ =-1, =-1. 2-?-1? -2-?-1? ∴上述三点在同一直线上.
第二章 §1 1.1

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易错疑难辨析

第二章

§1

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已知直线 l 过点 A(1,2),B(m,3),求直线 l 的斜 率.

3-2 1 [错解] 设直线 l 的斜率为 k,则 k= = . m-1 m-1
[辨析] 上述解答错误之处在于忽视了直线平行于 y 轴即 m=1 的情况.

[正解] 当 m=1 时, l⊥x 轴, 倾斜角 α=90° , 斜率不存在; 3-2 1 当 m≠1 时,k= = . m-1 m-1

第二章

§1

1.1

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[ 方法总结 ]

y2-y1 直线的斜率公式 k = 的成立条件是 x2-x1

x1≠x2, 即只有两点连线不平行于 y 轴时, 才可以用上式求斜率, 而平行于 y 轴的直线斜率是不存在的,同时应注意:有变量要 讨论.

第二章

§1

1.1

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课后强化作业
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第二章

§1

1.1


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