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排列组合练习题及答案


《排列组合》
一、排列与组合 1.从 9 人中选派 2 人参加某一活动,有多少种不同选法? 2.从 9 人中选派 2 人参加文艺活动, 人下乡演出, 人在本地演出, 1 1 有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女 8 名学生干部中选出 2 名男同学和 1 名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90 种不同的方案,那么男、女同学的人

数是 A.男同学 2 人,女同学 6 人 C. 男同学 5 人,女同学 3 人 B.男同学 3 人,女同学 5 人 D. 男同学 6 人,女同学 2 人

4.一条铁路原有 m 个车站,为了适应客运需要新增加 n 个车站(n>1),则客运车票增加了 58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.15 个

5.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个大于 3000,小于 5421 的数字不重复的四位数? 二、注意附加条件 1.6 人排成一列 (1)甲乙必须站两端,有多少种不同排法? (2)甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法? 2.由 1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且是 6 的倍数的五位数? 3.由数字 1,2,3,4,5,6,7 所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来, 第 379 个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157

1

4. 设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的五个杯盖,将五个杯盖 盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A.30 种 B.31 种 C.32 种 D.36 种

5.从编号为 1,2,?,10,11 的 11 个球中取 5 个,使这 5 个球中既有编号为偶数的球又有编 号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是 A.230 种 B.236 种 C.455 种 D.2640 种

6.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有 1 双同色的取法有 A.240 种 B.180 种 C.120 种 D.60 种

7. 用 0,1,2,3,4,5 这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列 起来,第 71 个数是 。 三、间接与直接 1.有 4 名女同学,6 名男同学,现选 3 名同学参加某一比赛,至少有 1 名女同学,由多少种不 同选法? 2. 6 名男生 4 名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种? 3.已知集合 A 和 B 各 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素,试求同时满足下列两个条件的集合 C 的 个数:(1) C ? ( A ? B) 且 C 中含有三个元素;(2) C ? A ? ? , ? 表示空集。 4. 从 5 门不同的文科学科和 4 门不同的理科学科中任选 4 门,组成一个综合高考科目组,若 要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数 A.60 种 B.80 种 C.120 种 D.140 种

5.四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,在其中取 4 个不共面的点不同取法有多少种? 6. 以正方体的 8 个顶点为顶点的四棱锥有多少个? 7. 对正方体的 8 个顶点两两连线,其中能成异面直线的有多少对? 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数. (1) M ? {( x, y) | x, y ? N , x ? y ? 6} ; (2) H ? {( x, y) | x, y ? N ,1 ? x ? 4,1 ? y ? 5} .
2

2.一个文艺团队有 9 名成员,有 7 人会唱歌,5 人会跳舞,现派 2 人参加演出,其中 1 名会唱 歌,1 名会跳舞,有多少种不同选派方法? 3.已知直线 l1 // l2 ,在 l1 上取 3 个点,在 l2 上取 4 个点,每两个点连成直线,那么这些直线在 l1 和
l2

之间的交点(不包括 l1 、 l2 上的点)最多

有 A. 18 个 B.20 个 C.24 个 D.36 个

4. 9 名翻译人员中,6 人懂英语,4 人懂日语,从中选拔 5 人参加外事活动,要求其中 3 人担 任英语翻译,2 人担任日语翻译,选拔的方法有 种(用数字作答)。 5.某博物馆要在 20 天内接待 8 所学校的学生参观,每天只安排一所学校,其中一所人数较多 的学校要连续参观 3 天,其余学校只参观 1 天,则在这 20 天内不同的安排方法为 A. C20 A17 种
3 7

B. A 20 种

8

C. C18 A17 种

1

7

D. A18 种

18

6. 从 10 种不同的作物种子选出 6 种放入 6 个不同的瓶子展出,如果甲乙两种种子不许放第一 号瓶内,那么不同的放法共有 A. C10 A8 种
2 4

B. C9 A 9 种

1

5

C. C8 A 9 种

1

5

D. C9 A 8 种

1

5

7. 在画廊要展出 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,要求排成一排,并且同一种的画摆放在一 起,还要求水彩画不能摆两端,那么不同的陈列方式有 A. A 4 A 5 种
1 5

B. A 3 A 4 A5 种

2

4

5

C. A 4 A 4 A5 种

1

4

5

D. A 2 A 4 A5 种

2

4

5

8. 把一个圆周 24 等分,过其中任意 3 个分点,可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的 个数是 A.122 B.132 C.264

9. 有三张纸片,正、反面分别写着数字 1、2、3 和 4、5、6 ,将这三张纸片上的数字排成三 位数,共能组不同三位数的个数是 A. 24 B.36 C.48 D.64

10.在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 11. 如下图,共有多少个不同的三角形?
3

解:所有不同的三角形可分为三类: 第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有 5 个 第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有 5×4=20 个 第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有 5+5=10 个 由分类计数原理得,不同的三角形共有 5+20+10=35 个. 12.从 5 部不同的影片中选出 4 部,在 3 个影院放映,每个影院至少放映一部,每部影片只放 映一场,共有 种不同的放映方法(用数字作答)。 五、元素与位置——位置分析 1.7 人争夺 5 项冠军,结果有多少种情况? 2. 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 解:75600 的约数就是能整除 75600 的整数,所以本题就是分别求能整除 75600 的整数和奇约数 的个数. 由于 75600=24×33×52×7
l j k l (1) 75600 的每个约数都可以写成 2 ? 3 ? 5 ? 7 的形式,其中 0 ? i ? 4 , 0 ? j ? 3 , 0 ? k ? 2 , 0 ? l ? 1

于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j, k , l 分别在各自的范围内任取一个值,这样
i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数的个数为 5

×4×3×2=120 个.
j k l (2)奇约数中步不含有 2 的因数,因此 75600 的每个奇约数都可以写成 3 ? 5 ? 7 的形式,同上奇

约数的个数为 4×3×2=24 个. 3. 2 名医生和 4 名护士被分配到两所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同分 配方法有多少种? 4.有四位同学参加三项不同的比赛, (1)每位同学必须参加一项竞赛,有多少种不同的结果? (2)每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果? 解:(1)每位学生有三种选择,四位学生共有参赛方法: 3? 3? 3? 3 ? 81种;
4

(2)每项竞赛被选择的方法有四种,三项竞赛共有参赛方法: 4 ? 4 ? 4 ? 64 种. 六、染色问题 1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96
① ③ ② 图二 ④ ②

D. 60

王新敞
奎屯

新疆

② ① ③ 图一



① ③ ④

图三

若变为图二,图三呢?(240 种,5×4×4×4=320 种) 2. 某班宣传小组一期国庆专刊,现有红、 黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用, 要求在黑板中 A、B、C、D(如图)每一
A B

C
部分只写一种颜色,相邻两块颜色不同, 则不同颜色粉笔书写的方法共有 七、消序 种(用具体数字作答)。

D

1. 有 4 名男生,3 名女生。现将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排 法? 2. 书架上有 6 本书,现再放入 3 本书,要求不改变原来 6 本书前后的相对顺序,有多少种不 同排法? 八、分组分配 1.某校高中一年级有 6 个班,分派 3 名教师任教,每名教师任教二个班,不同的安排方法有多 少种? 2. 高三级 8 个班, 分派 4 名数学老师任教, 每位教师任教 2 个班, 则不同安排方法有多少种? 3. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人一本、二本、三本的不同分法有多少种? 4.8 项工程,甲承包三项,乙承包一项,丙、丁各承包二项,不同的承包方案有
5



5..六人住 A、B、C 三间房,每房最多住三人, (1)每间住两人,有 种不同的住法, 种不同的住宿方案。

(2)一间住三人,一间住二人,一间住一人,有

6. 8 人住 ABC 三个房间,每间最多住 3 人,有多少种不同住宿方案? 7.有 4 个不同小球放入四个不同盒子,其中有且只有一个盒子留空,有多少种不同放法? 7. 把标有 a,b,c,d,?的 8 件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学,其中 a、b 不赠给同一 个人,则不同的赠送方法有 种(用数字作答)。 九、捆绑 1. A、B、C、D、E 五个人并排站成一列,若 A、B 必相邻,则有多少种不同排法? 2. 有 8 本不同的书, 其中科技书 3 本,文艺书 2 本,其它书 3 本,将这些书竖排在书架上, 则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数与这 8 本书的不同排法之比为 A.1:14 十、插空 1.要排一个有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多 少种不同排法? 2、4 名男生和 4 名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有( A.2880 B.1152 C.48 D.144 ) B.1:28 C.1:140 D.1:336

3. 要排一个有 5 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目的演出节目单,如果舞蹈节目不相邻,则有多少 种不同排法? 4. 5 人排成一排,要求甲、乙之间至少有 1 人,共有多少种不同排法? 5..把 5 本不同的书排列在书架的同一层上,其中某 3 本书要排在中间位置,有多少种不同排 法? 6.1 到 7 七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中偶数不相邻的个数有 7.排成一排的 8 个空位上,坐 3 人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法? 8.8 张椅子放成一排,4 人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种? 9. 排成一排的 9 个空位上,坐 3 人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法? 个.

6

10. 排成一排的 9 个空位上,坐 3 人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、 有一处连续三个空位,有多少种不同坐法? 11. 某城市修建的一条道路上有 12 只路灯,为了节省用电而又不影响正常的照明,可以熄灭 其中三只灯,但不能熄灭两端的灯,也不能熄灭相邻的两只灯,那么熄灯的方法共有 种 A. C8
3

B. A 8

3

C. C 9

3

D. A 9

3

12. 在一次文艺演出中,需给舞台上方安装一排彩灯共 15 只,以不同的点灯方式增加舞台效 果,要求设计者按照每次点亮时,必需有 6 只灯是关的,且相邻的灯不能同时被关掉,两端的 灯必需点亮的要求进行设计,那么不同的点亮方式是 A.28 种 B.84 种 C.180 种 D.360 种

13. 一排长椅上共有 10 个座位,现有 4 人就座,恰有五个连续空位的坐法种数 为 。(用数字作答) 十一、隔板法 1. 不定方程
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 7

的正整数解的组数是

,非负整数解的组数是



2.某运输公司有 7 个车队,每个车队的车多于 4 辆,现从这 7 个车队中抽出 10 辆车,且每个 车队至少抽一辆组成运输队,则不同的抽法有 A.84 种 B.120 种 C.63 种 D.301 种

3. 要从 7 所学校选出 10 人参加素质教育研讨班,每所学校至少参加 1 人,则这 10 个名额共 有 种分配方法。 4.有编号为 1、2、3 的 3 个盒子和 10 个相同的小球,现把 10 个小球全部装入 3 个盒子中,使 得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数,这种装法共有 A.9 种 B.12 种 C.15 种 D.18 种

5.将 7 只相同的小球全部放入 4 个不同盒子,每盒至少 1 球的方法有多少种? 6.某中学从高中 7 个班中选出 12 名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,使 代表中每班至少有 1 人参加的选法有多少种? 十二、对应的思想 1.在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军, 问要举行几场? 十三、找规律
7

1.在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和大于 20 的不同取法共有多少种? 解:分类标准一,固定小加数.小加数为 1 时,大加数只有 20 这 1 种取法;小加数为 2 时,大加数 有 19 或 20 两种取法;小加数为 3 时,大加数为 18,19 或 20 共 3 种取法?小加数为 10 时,大加 数为 11,12,?,20 共 10 种取法;小加数为 11 时,大加数有 9 种取法?小加数取 19 时,大加数有 1 种取法.由分类计数原理,得不同取法共有 1+2+?+9+10+9+?+2+1=100 种. 分类标准二:固定和的值.有和为 21,22,?,39 这几类,依次有取法 10,9,9,8,8, ?,2,2,1,1 种. 由分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+?+2+2+1+1=100 种. 2.从 1 到 100 的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于一百,则不同的取法有 A.50 种 B.100 种 C.1275 种 D.2500 种

十四、实验——写出所有的排列或组合 1.将数字 1,2,3,4 填入标号 1,2,3,4 的四个方格中,每个格填一个,则每一个方格的标号与所 填的数字均不同的填法有 种. A.6 B.9 C.11 D.23

解:列表排出所有的分配方案,共有 3+3+3=9 种,或 3? 3?1?1 ? 9 种. 未归类几道题 1.从数字 0,1,3,5,7 中取出不同的三位数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程 ax+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个? 变式:若直线 Ax+By+C=0 的系数 A、B 可以从 0,1,2,3,6,7 这六个数字中取不同的数值, 则这些方程所表示的直线条数是( A) A.18 B.20 C.12 D.22

2.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件不合格品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种? 3.10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意抽取 4 只,试求各有多少种情况出现如下 结果 (1)4 只鞋子没有成双;(2) 4 只鞋子恰好成双;

8

(3) 4 只鞋子有 2 只成双,另 2 只不成双 4.f 是集合 M={a,b,c,d}到 N{0,1,2}的映射,且 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少 个? 解:根据 a,b,c,d 对应的象为 2 的个数分类,可分为三类: 第一类,没有一个元素的象为 2,其和又为 4,则集合 M 所有元素的象都为 1,这样的映射只有 1个 第二类,有一个元素的象为 2,其和又为 4,则其余 3 个元素的象为 0,1,1,这样的映射有 C41C3 1C22 个 第三类,有两个元素的象为 2,其和又为 4,则其余 2 个元素的象必为 0,这样的映射有 C42C22 个 根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19 个

5.四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的方法共有多少种? 6.由 12 个人组成的课外文娱小组,其中 5 个人只会跳舞,5 个人只会唱歌,2 个人既会跳舞又 会唱歌,若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去排演节目,共有多少种不同选法?

排列、组合练习题参考答案: 1.
C92 ? 36

2.

A92 ? 72

3.解析:设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意得
n ? n ? 1? 2

2 1 3 Cn ? C8? n ? A3 ?

? (8 ? n) ? 6 ? 90



n ? n ? 1? (8 ? n) ? 30

用选支验证选(B) 4.分类:①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
3 C5 ? 10

C52 ? 2 ? 20

种;

②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有

种;

③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法, 只有五个杯盖和茶杯的编号完全相同的盖法 1 种。 故选(B)31 种。
9

5 .分类:①1 奇 4 偶:

1 C6C54 ? 30

②3 奇 2 偶:

3 C6 C52 ? 200

选(A)

6.分步:

1 C6 ? C52 ? 22 ? 240

选(A)

7.间接法:

3 3 C10 ? C6

或分类:

2 2 C1 C6 +C4C1 +C3 4 6 4

B A

4
8

8. 间接法:

10 4 7 A10 ? A4 A7

8

9. 间接法:

3 C20 ? C83

C 2C 2 ? 18 l l 10.对应:一交点对应 1 、 2 上各两点: 3 4 个选(A)
3 2 C5 C4 ? 60

11. 分类:①英语翻译从单会英语中选派:

②英语翻译选派中一人既会英语又会日语: 填 90

C52C32 ? 30

懂日语 懂英语
2 4 5 A2 A4 A5

1
6

12. 分步: 选(D)

5

13.元素与位置:以冠军为位置,选人: 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7

5

4 3 2 14. 75600 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ① 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 120 ;② 4 ? 3? 2 ? 24

15. 分步: 5 ? 4 ? 3? 3 ? 180
9 A9 ? 7 ?8? 9 6 16.消序: A6 =504

填 180

或分步插空: 7 ? 8 ? 9 =504
10



A93

2 2 C62C4 C2 3 ? A3 3 A3 17.先分组后分配:

或位置分析:

2 2 C62C4 C2

18. 先分组后分配:

3 1 3 C6 C32C1 A3

19. 位置分析:

1 2 2 C83C5C4 C2

20.(1)仿 17 题;(2)先分组后分配:
3 2 C83C5 C2 3 ? A3 2 A2 21. 先分组后分配:

3 1 3 C6 C32C1 A3

或分类,先确定住两人的房间——位置分析:
2 3 C4 A3

1 3 3 C3C82C6 C3

重复题目: 先分组后分配:
5 3 2 A5 A3 A2 1 ? 8 28 22.捆绑: A8

或分类——位置分析:3

2 1 1 C4 C2C1

选(B)
3 A4 4 A4 A52 3 3 A3 C4

23. 插空:

4 3 A4 A5

24. 插空:
C83

25. 插空:

26. 插空:

27. 插空:

3 3 A3 A4

28.(A)

29. 隔板法:

3 C96 ? C9 ?

9?8? 7 ? 84 3 ? 2 ?1 选(A)

30. 1 先在编号为 2、3 的 2 个盒子分别放入 1 个小球、2 个小球;
2 2? 对余下 7 个小球用隔板法 C6 ? 15 。选(C)

?

31.对应的思想:100 名选手之间进行单循环淘汰赛,最后产生一名冠军,要环淘 99 名选手, 每淘汰 1 名选手,对应一场比赛。故要举行 99 场比赛。

11

32.[ 解法一]:找规律:固定小加数.小加数为 1 时,大加数只有 20 这 1 种取法;小加数为 2 时, 大加数有 19 或 20 两种取法;小加数为 3 时,大加数为 18,19 或 20 共 3 种取法?小加数为 10 时, 大加数为 11,12,?,20 共 10 种取法;小加数为 11 时,大加数有 9 种取法?小加数取 19 时,大加 数有 1 种取法.由分类计数原理,得不同取法共有 1+2+?+9+10+9+?+2+1=100 种. [法二]:固定和的值.有和为 21,22,?,39 这几类,依次有取法 10,9,9,8,8, ?,2,2,1,1 种.由 分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+?+2+2+1+1=100 种. 以上两种方法是两种不同的分类。 33. 解:列表排出所有的分配方案,共有 3+3+3=9 种,或 3? 3?1?1 ? 9 种.
4 C10 ? 24
1 C10 ? C92 ? 22

34.(1)

(2)

2 C10

(3)

35. 解:根据 a,b,c,d 对应的象为 2 的个数分类,可分为三类: 第一类,没有一个元素的象为 2,其和又为 4,则集合 M 所有元素的象都为 1,这样的映射只有 1个 第二类,有一个元素的象为 2,其和又为 4,则其余 3 个元素的象为 0,1,1,这样的映射有
1 1 2 C4C3C2

=12 个
2 2 C4 C2

第三类, 有两个元素的象为 2, 其和又为 4,则其余 2 个元素的象必为 0,这样的映射有 个 根据加法原理共有 1+
1 1 2 2 2 C4C3C2 C4 C2 + =1+12+6=19 个

=6

12


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