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2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷文数)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5? ,则 M ? N ( A. ?0,2? B. )zxxk

?2,3?

C. ?3

,4? )

D. ?3,5?

(2)已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? ( A. ? 3 ? 4i

B. ? 3 ? 4i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i ? ? ? ? (3)已知向量 a ? (1,2), b ? (3,1) ,则 b ? a ? ( ) A. (?2,1) B. (2,?1) C. ( 2,0) D. (4,3) ?x ? 2 y ? 8 ? (4)若变量 x , y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 则 z ? 2 x ? y 的学科网最大值等于( ?0? y?3 ? A. 7 B. 8 C. 10 5.下列函数为奇函数的是( ) A. 2 ?
x



D. 11 D. x ? 2
2 x

1 2x

B. x sin x

3

C. 2cos x ? 1

6.学科网为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的 间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20 7.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a ? b ”是 zxxk “ sinA ? sin B ”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 8.若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 16 5 ? k 16 ? k 5



A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 9.若空间中四条两两不同的 学科网直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2∥l3, l3 ? l4, 则下列结论一定正确的是 ( ) A. l1 ? l4 B. l1∥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定

10.对任意复数 w1 , w2 , 定义 ?1 ??2 ? ?1?2 , 其中 ?2 是 ?2 的共轭复数, 对任意复数 z1, z2 , z3 有如下四个 命题: ① ( z1 ? z2 ) ? z3 ? ( z1 ? z3 ) ? ( z2 ? z3 ); ② z1 ? ( z2 ? z3 ) ? ( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z3 ) ; ③ ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ); ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11—13 题) 11.曲线 y ? ?5e ? 3 在点 ? 0, ?2? 处的切线方程为________.
x

12.从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同字母,则取字母 a 的概率为________. 13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 +log2 a4 +log2 a5 = ________.
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2? cos2 ? ? sin ? 与 ? cos? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,学科网极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则 曲线 C1 与 C2 的直角坐标为________ 交于点 F 则 15.(几何证明选讲选做题) 如图 1, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE, AC 与 DE

?CDF的周长 ? ______ ?AEF的周长

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1) 求 A 的值; (2) 若 f (? ) ? f ( ?? ) ? 3, ? ? (0, 17(本小题满分 13 分) 某车间 20 名工人年龄数据如下表:

?
3

), x ? R ,学科网且 f (

5? 3 2 )? 12 2

?

) ,求 zxxk f ( ? ? ) 2 6

?

(1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3) 求这 20 名工人年龄的方差. 学科网 18(本小题满分 13 分) 如图 2,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图 3 折叠,折痕 EF∥DC.其中点 E, F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF. (1) 证明:CF⊥平面 MDF (2) 求三棱锥 M-CDE 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足
2 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? .zxxk (1)求 a1 的值;学科网 (2)求数列 ?an ?的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n ,有 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

?

?

?

?

20(本小题满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的一个焦点为 a b

?

5,0 ,离心率为

?

5 。 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P?x0 , y0 ?为椭圆 C 外一点,学科网且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方 程.

21.(本小题满分 14 分)

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 3 (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间;
已知函数 f ( x) ? (2) 当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, )

1 2

1 1 ( ,1) ,学科网使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2


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