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极化恒等式(学生版)


课题:极化恒等式在向量问题中的应用
学 习 目 标 重点 难点
目标 1:通过自主学习掌握极化恒等式两种模式,理解其几何意义; 目标 2-1:通过对例 1 的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值; 目标 2-2:通过对例 2 的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围; 目标 2-3:通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 掌握极化恒等式,利用它解决一类与数量积有关的向量问题 根据具体的问题情境,灵活运用极化恒等式

目标达成途径
目标 1:阅读材料,了解极化恒等式的由来过程,掌握极化恒等式 的两种模式,并理解其几何意义 阅读以下材料:

学习自我评价

引例:平行四边形是表 示向量加法和减法的几 何模型。 你能用向量方法证明: 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的 两倍.

证明:不妨设AB ? a, AD ? b,
则AC ? a ? b, DB ? a ? b,
AC ? AC ? a ? b ? a ? 2a ? b ? b DB ? DB
2 2 2 2 2

M

? ? ? ?a ? b?

2

2

2

图1 (1) (2)
2 2

? a ? 2a ? b ? b
2 2

2

2

(1) (2)两式相加得: AC ? DB ? 2? a ? b ? ? 2? AB ? AD ? 结论:平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考 1:如果将上面(1) (2)两式相减,能得到什么结论呢?
2 2 1 a ? b = ? a ? b ? a ? b ? ————极化恒等式 ? ? ? 4?

? ?

? ?

? ?

2

2

? ?

? ? ? ?

对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例,你觉得 极化恒等式的几何意义是什么? 几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的 即: a ? b ?

1 . 4

1 2 AC ? DB 4

?

2

?(平行四边形模式)
1

思考:在图 1 的三角形 ABD 中(M 为 BD 的中点) ,此恒等式如何表示呢? 因为 AC ? 2 AM ,所以 a ? b ? AM
2

?

1 2 DB (三角形模式) 4

目标 2-1:掌握用极化恒等式求数量积的值 例 1.(2012 年浙江文 15)在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3, BC ? 10 , A 则 AB ? AC ? ____ . B M C

解:因为 M 是 BC 的中点,由极化恒等式得:

AB ? AC ? AM

2

1 1 2 ? BC =9- ? 100 = -16 4 4

【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三 角形的中线,再写出极化恒等式。 目标检测

(2012 北京文13改编)已知正方形ABCD的边长为 1, 点E是AB边上的动点,则 DE ? DA 的值为 ______.

目标 2-2:掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

例2 (自编)已知正三角形 . ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点, 则PA ? PB的取值范围是________ . 解:取 AB 的中点 D,连结 CD,因为三角形 ABC 为 正三角形,所以 O 为三角形 ABC 的重心,O 在 CD 上,
且 OC ? 2OD ? 2 ,所以 CD ? 3 , AB ? 2 3 (也可用正弦定理求 AB) 又由极化恒等式得:

PA ? PB ? PD ?

2

1 2 2 AB ? PD ? 3 4

因为 P 在圆 O 上,所以当 P 在点 C 处时, | PD | max ? 3 当 P 在 CO 的延长线与圆 O 的交点处时, | PD | min ? 1 所以 PA? PB ?[?2,6] 【小结】 涉及数量积的范围或最值时, 可以利用极化恒等式将多变量转变为单变 量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 目标检测

(2010 福建文 11)若点O和点F分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1的中心和左焦点,点 P 4 3

为椭圆上的任意一点, 则OP ? FP 的最大值为(    ) A.  2  B.3   C.6  D.8

2

问题、疑惑、错解汇集

能力提升
目标 2-3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

AB 上一定点,满足 P0 B ? 例 3.(2013 浙江理 7)在 ?ABC 中, P 0 是边
且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 PB ? PC ? P 0 B ? PC 0 。则( A. )

1 AB , 4

?ABC ? 90

B. ?BAC ? 90 D. AC ? BC

C. AB ? AC

目标检测

(2008 浙江理9)已知a, b是平面内 2个互相垂直的单位向量 ,若向量c满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0, 则 c 的最大值是(    ) A.1  B.2  C. 2   D. 2 2

问题、疑惑汇集

知识、方法总结
本课的主要学习内容是什么? 极化恒等式: 平行四边形模型: 三角形模型: 极化恒等式在处理与_________________有关问题时,显得较有优越性。

3

课后检测
1.在 ?ABC 中, ?BAC ? 60 若 AB ? 2 , BC ? 3 , D 在线段 AC 上运动, DB ? DA 的最小值 为 2.已知 AB 是圆 O 的直径, AB 长为 2, C 是圆 O 上异于 A, B 的一点, P 是圆 O 所在平面上任意一点, 则 PA ? PB ? PC 的最小值为( A.

?

?

) D. ?1

?

1 4

B. ?

1 3

C. ?

1 2

3.在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 , ?BAC ? 60 ,若 P 是 ?ABC 所在平面内一点,且 AP ? 2 , 则 PB ? PC 的最大值为 4. 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 意一点则 OP ? FP 的取值范围是

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上任 a2
.

5.在 Rt ?ABC , AC ? BC ? 2 ,已知点 P 是 ?ABC 内一点,则 PC ? ( PA ? PB) 的最小 值是 .

6.已知 A、B 是单位圆上的两点, O 为圆心,且 ?AOB ? 120o , MN 是圆 O 的一条直径,点 C 在圆 内,且满足 OC ? ?OA ? (1 ? ?)OB(0 ? ? ? 1) ,则 CM ? CN 的取值范围是( A. ?? )

? 1 ? ,1? ? 2 ?

B. ?? 1,1?

C. ? ?

? 3 ? ,0 ? ? 4 ?

D. ?? 1,0?

7. 正 ?ABC 边长等于 3 ,点 P 在其外接圆上运动,则 AP ? PB 的取值范围是( A. ?? , ? ? 2 2?



? 3 3?

B. ?? , ? ? 2 2?

? 3 1?

C. ?? , ? ? 2 2?

? 1 3?

D. ?? , ? ? 2 2? .

? 1 1?

8.在锐角 ?ABC 中,已知 B ?

?
3

, AB ? AC ? 2 ,则 AB ? AC 的取值范围是

4


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