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2.2.1综合法和分析法


2.2.1

综合法和分析法

例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2 ≥2ac,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q 2
Q2 ? Q3



Qn ? Q

特点:“由因导果”

例1:在△ABC中,三个内角A、B、C对 应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等 差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
0 A ? C ? 2 B ? B ? 60 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?

由a,b,c成等比数列可得什么? b 2 ? ac

怎样把边,角联系起来?

余弦定理 : b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
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找出隐含条件

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a+b ? 回顾基本不等式: 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
证明: 因为;( a ? b ) ? 0
2

a+b 证明:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 成立 所以 2

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
2 ( a ? b ) ?0 只需证;

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab成立

一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求推证过程中,使每一步结论成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的 方法叫做分析法.

特点:执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

例2 求证 3 ? 7 ? 2 5
解:要证 3 ? 7 ? 2 5 只需证 ( 3 ? 7 )2 ? (2 5 )2 展开,只需证 只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 ? 7 ? 2 5 成立.

21 ? 5

π 例3. 已知α, β≠ kπ+ (k ? Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθ? cosθ= sin β
2

1 - tan α 1 - tan β 求证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)

2

2

用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为 :P89

小结

1.在数学证明中,综合法和分析法是 两种最常用的数学方法,若从已知入手 能找到证明的途径,则用综合法,否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件,分析法的每步推理都是寻找充分条 件,在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.

3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式,在证明某些较复杂的问题时,常 采用分析综合法,用综合法拓展条件, 用分析法转化结论,找出已知与结论的 连结点.

作业:P25

2,3


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