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奥赛题库2(相对论2)


奥赛题库相对论 2 郑育坤 52042.宇宙飞船地地球出发沿直线飞向某恒星,恒星距地球 r=3×10 1.y.(光年) 。对每一瞬 间都与飞船连结在一起的坐标系来讲,前一半路程作匀加速直线运动,加速度 aˊ=10m/s2, 后一半路程以数值相同的加速度作匀减速运动。试问在飞船上测 量,整个旅程经历了多少时间?计算时只取一级近似。 分析:如图 52-46 所示,设与地球连结在一起的坐标系为 S,每一 S?
4

瞬时与飞船连结在一起的坐标系为 S ? ,因飞船相对地球的速度时 刻在变化,故 S ? 系应当看作是一系列的坐标系,每一瞬间在极短 时间内 S ? 可看作是相对地球作匀速直线运动。在此短时间内,S

S

u

du ?

图 52-46

和 S ? 均可看作惯性系,故狭义相对论可用。整个旅程是这些无限短的运动过程的组合。 设在飞船时间 t ? , 飞船相对地球的速度为 u, 即 S ? 相对 S 的运动速度为 u, 此时飞船相对 S ? 的速度 u ? ? 0 。经极短时间 dt ? 后,飞船相对原来的 S ? 系速度增量为 d u ? ,相应的加速度

a? ?

du ? ? 10m / s 2 dt ? 。对地球坐标系 S 而言,与 d u ? 相对应的速度增量设为 du。利用速度

合成法则可找到 du 与 d u ? 之间的关系, 进而确定飞船在 S 系中的加速度 a 与在 S ? 系中的加 速度 a ? 之间的关系。通过积分运算可求得全程所需的地球时间,利用时间膨胀公式进而可 得所需的飞船时间。 注意,狭义相对论只适用于惯性参考系,严格说来与飞船连结在一起的参考系是非惯性系。 但若把全旅程分割成无限小的单元,作上述处理后就可用狭义相对论的理论来求解了。 解:设在地球时间 t,飞船的速度为 u, S ? 系与此时的飞船相连结,故 S ? 系相对 S 系(地 球系)的运动速度为 u。经 dt 时间后,u 的增量为 du,在 S ? 系中的相应增量为 d u ? 。按速 度合成法则,有

u ? ud ?

u ? du ? u 1 ? 2 du ? c



?u ? du?? ?1 ?
?
略去高级无穷小,得

u ? du? ? ? u ? du ? 2 c ?

du? ?

1 du 1? ? 2

(1)

式中

??

u c 。由时间膨胀公式,S 系和 S ? 系中的对应时间间隔 dt 和 dt ? 。有如下关系
dt ? dt ? 1? ? 2
(2)

由(1) 、 (2)式,得

du ? 1 ? dt ? 1 ? ? 2

?

?

3

2

du dt

du ? du ? a? ?a 式中 dt ? , dt 分别是飞船在 S ? 系和 S 系中的加速度。上式可写为
a ? 1? ? 2

?

?

3

2

a?

此式即为这两个加速度之间的关系。需要注意的是, a ? 为常量,但 a 不是常量。把上式改 写为

du ? u ? ?1 ? c 2 ?
2

? ? ? ?

3

? a?dt
2

对上式积分,并利用初始条件:t=0 时,u=0,得

u 1?
进而可解出

u c2

2

? a ?t
(3)

u?

a ?t 1? a?2 2 t c2
(4)

再次积分,并簏初始条件:t=0 时, x ? 0 ,得

x?
解出

2 ? c2 ? ? 1 ? a? t 2 ?1? ? a? ? c2 ? ?

x 2c 2 t? 1? c a ?x

当飞船完成前半程飞行时,

x?

r 2 ,所需地球时为

r 4c 2 T? 1? 2c a ?r

(5)

在每段微小运动单元中,S 系中的时间间隔 dt 与 S ? 系中对应时间间隔 dt ? 之间的关系满足 (2)式,再结合(3)式,得

dt ? ? 1 ?
用(4)式,有

u2 u dt ? dt a ?t c2

dt ? ? 1?
积分,有

dt a? 2 2 t c2

?0

T?

dt ? ? ?0

T

dt 1? a? 2 2 t c2

式中 T 和 T ? 分别是飞船走完半程所需的地球时间和飞船时间,得

c ? a? a? 2 2 ? ? T ? ? 1n T ? 1 ? 2 T ? ? a? ? c ?c ?
因加速过程与减速过程所需时间相同,故走完全程所需飞船时间为

2T ? ?

? 2c ? a? a? 2 1n? T ? 1 ? 2 T 2 ? ? a? ? c ?c ?

(6)

由r

2 ? 3 ?1041. y. (光年) , a? ? 10m / s ,得

4c 2 4 ? 3 ?108 ? ? 1.27 ?10?4 4 a?r 10 ? 3 ?10 ? 365? 24 ? 3600
代入(5)式,得

T?

r ? 1.5 ?104 a?年? 2c

a? T ? 1.58 ? 104 c
代入(6)式,得

2T ? ?

2c? ? 2a? ? 1n? T ? ? 19.7a?年? a? ? c ?

52043.μ 子的电量 q=-e(e=1.6×10-19C),静止质量 m0=100MeV/c2,静止时的寿命τ 0=10-6s。 设在地球赤道上空离地面高度为 h=104m 处有一μ 子以接近于真空中光速的速度垂直向下运 动。 北 z 1) 、试问此μ 子至少应有多大总能量才能到达地面?2) 、若 4 把赤道上空 10 m 高度范围内的地球磁场看作匀强磁场, 磁感 B -4 应强度 B=10 T,磁场方向与地面平行。试求具有第 1 问所得 x 能量的μ 子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。 西 y

O



分析: 利用时间膨胀公式可将地球上观测到的 ? 子的寿命 ? 与静止系中的寿命 ? 0 建立联系。 对地球上的观察者而言, ? 子为能达到地面,所具速度必须保证它在 ? 时间内走完全程。 利用质能公式可得 ? 子的相应能量。由于 ? 子的动能比重力势能大得多,重力影响可忽略。 又因地磁场引起的偏转较小,计算第 1 问时可不考虑洛伦兹力,因此,可把 ? 子近似看成 作匀速直线运动。 求解第 2 问时, 必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力, 此力使 ? 子产生偏转。 因洛伦兹力对 ? 子不做功,故其能量保持常值。根据动力学方程和质能公式可写出 ? 子坐标所遵从的微分 方程,解此微分方程即可求得偏转量。 ? 子除受洛伦兹力外,还受地球自转引起的科星奥 利力的作用,它对 ? 子偏转的影响应作一估算。 解: (1)近似地把 ? 子看成是作匀速直线运动,速度为 ? ,到达地面所需地球时间为

t?
为能到达地面,需满足

h

?

?

h c

t ??
式中 ? 为地球观察者测得的 ? 子寿命,它与 ? 0 的关系为

??

?0
1?

?2
c2

由质能公式, ? 子的能量为

E?

m0 c 2 1?

?2
c2

给合以上诸式,有

E ? m0 c 2

? t m ch ? m0 c 2 ? 0 ?0 t0 ?0

代人数据, ? 子至少应有能量

E?

m0 ch

?0

?

100 ? 10 4 MeV ? 3.3 ? 103 MeV 8 ?6 3 ? 10 ? 10

(2) 、如图所示,取直角坐标系 Oxyz,原点 O 在地面,x 轴指向西,y 轴垂直于地面向上 指向北。 ? 子的初始位置和初速度为

x?0? ? 0 y?0? ? h z ?0? ? 0

x?0? ? 0 y?0? ? ?? z ?0? ? 0

磁场 B 与 z 轴方向一致, ? 子所受洛伦兹力为

F ? ?e? ? B
? 子的动力学方程为

dp ? F ? ?e? ? B dt
其中

p ? m? ?

E ? c2
2

E=常量

i ? r? ? d? c e c e ? ?? ? ?B ? ? x dt E E 0
2

j ? y 0

k ? z B

成分量形式为

c 2 eB c 2 eB ? ?? ? ?, ? ?? ? x y y x E E
(1)式对 t 求导后再将(2)式代入,得

(1) (2)

? ?? ? ? 2 x ? ?0 x
式中

??
上述方程的解为

c 2 eB E

? ? ? ? cos??t ? ? ? x

?? x ? sin??t ? ? ? ? x ? ?
因此,有

? ?? x
故得

c 2 eB c 2 eB ? ? ? ??? ? sin??t ? ? ? ? ? y ? sin??t ? ? ? E E
? ? ? ? sin??t ? ? ? y

?? y ? ? cos??t ? ? ? ? y ? ?
初条件为

??0? ? ? ? cos? ? 0 x

x?0? ?

?? sin ? ? x ? ? 0 ?

? ?0? ? ? ? sin? ? ?? y

?? y?0? ? ? cos? ? h ?



? ? ? ? ,? ? ? ?
2

?? ? ? x ? ? ,y ?h ? ?
?

最后得 ? 子的坐标为

x?

? ? ?? ? ? sin??t ? ? ? ? ?1 ? cos?t ? ? ? 2? ? ?
? ?? ? ? cos??t ? ? ? h ? h ? sin?t ? ? 2? ?

y??

到达地面时,y=0,即有

sin ?t ?
因 ? ? c ,有

?h c 2 eBh ? ? E?

sin ?t ?

ceBh 3 ?108 ?10?4 ?104 ? ? 0.091 E 3.3 ?109
1

? ? ?h ? 2 ? 2 1 ? ?h ? 2 1 ? cos?t ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? 子到达地面时的 x 坐标为

? 1 ? ?h ? x地 ? ? ? ? ? 2? ? ?
朝 x 方向(向西)的偏转角为

2

??

x地 ?h 1 ? ? ? 0.091rad ? 0.046rad h 2? 2

落地点向西偏离的距离为

x地 ? ha ? 104 ? 0.046m ? 460m
? 子落地过程需时

t ?? ?

?0
1?

?

2

? 3.3 ? 10 ?5 s

c2
2? ? 3.3 ?10?5 m ? 0.015m 24 ? 3600

此阶段地球表面一点转过的距离为

s ? R? 地t ? 6.4 ?106 ?

可见,s?x地 ,即由地球自转引起的偏离可以忽略。 52045.一个静止质量为 M 的物理静止在实验室中,裂变为静止质量为 m1 和 m2 的两部分, 试求裂变产物的相对论动能 EK1 和 EK2。 解:根据相对论能量守恒有 MC 化简得:
2

? r1m1C 2 ?r 2 m2C 2 ,

r1 ?

1 ?M ? r2 m2 ? m1

(1)

根据相对论动量守恒有

O ? r1m1?1 ? r2 m2? 2


(2)

?? ? c 2 r ? 1/ 1 ? ? ? ?? r ?1 ?2? , r ,

2

?1 ?


c c 2 r22 ? 1 r ? 1 ?2 ? r2 r1 代入(2)式化简得:
m1 r12 ? 1 ? m2 r22 ? 1
(3)

由○ 1、○ 3两式可解得:

2 2 r1 ? M 2 ? m1 ? m2 / 2Mm1 ,

?

?

2 2 r2 ? M 2 ? m2 ? m1 / 2Mm2
2 EK1 ? ?r1 ? 1?m1C 2 ? C 2 ? ?M ? m1 ? ? m2 / 2M ; 2

?

?

?

?

EK 2 ? ?r2 ? 1?m2C 2 ? C 2 ? ?M ? m2 ? ? m12 / 2M .
2

?

?

52046.光子火箭的飞行目的地为银河系中心, 已知银河系中心离地球的距离为 R=3.4×1041.y. (光年) 。火箭在前一半旅程以加速度 aˊ=10m/s2(相对火箭的静止系)作匀加速运动,而 后一半旅程则以同样的加速度作减速运动。火箭到目的地的静止质量 M0ˊ=1.0×106kg。试 问火箭发动机在开始发射时至少需要多大功率? 分析:解本题需注意以下几点?首先,光子火箭发动机本质上是将“燃料”物质的质量转 化为光辐射能量。令光子束向后喷离火箭,从而使火箭获得向前的动量。在此需用相对论 的质能公式和动量守恒定律。其次 ,火箭质量随其速度变化的规律遵从本章题 11 中的(3) 式和(4)式,只要把 u

? ? c 代入即可。第三,弄清火箭静止系中加速度的含义(参看本

章题 10 分的分析) 。火箭速度随时间变化,不是惯性系,当用狭义相对论来解决此类问题 时, 可在任意时刻 t 建立坐标系依附于火箭上,S ? 系以 t 时刻的火箭速度? 作匀速运动,S ? 系便是惯性系。然后在 S ? 系中考察火箭各阶段的运动,若 dt 时间内火箭速度改变 d u ? ,则

加速度

a? ?

du ? dt 。解本题需要利用本章题 11 和题 10 的有关结果。

解:在火箭的静止系 S ? 系中测量,火箭作加速度力 a? 的加速度运动,根据动力学规律, 有

dp? ? Ma? dt ,式中各量均在 S ? 系中测量, dp ? 是 dt 时间内火箭动量的改变,M 近似为火箭
的静止质量(包括燃料) 。由动量守恒,火箭动量增量 dp ? 等于辐射光子束的动量,而后者 又与燃料能量改变率 dE 有关,即

1 dp? ? dE f ? ?cdm c
其中利用了质能公式 dE f

? c 2 dM 。由(1)式,上式为

Ma? ? ?c
火箭发动机功率为

dM dt

N ??

dE f dt

? ?c 2

dM ? cMa? dt

可见,对于给定的加速度 a ? ,火箭功率由其质量 M 决定。因此,只需求出火箭的初始质量 M0,即可得到初始功率。根据本章题 11 中(3)式,加速过程中 u=c,火箭质量 m0 用旅程 一半的质量 MH 代入,得

M H ?1? ? ?? M0 ? ?1? ?

?2 ? ? ?

1

式中 M0 为火箭初始质量,

??

?
c ,? 是加速阶段的终速度,也是减速阶段的初速度,即
。应用本题 11 的(4)式,有
1 1

全程中的最大速度。减速阶段中,

MH M0
由以上两式,得

?1? ? ?2 ?1? ? ?2 ?? ?1? ? ? ? ?? ?1? ? ? ? ? ? ? ?

M0 ?

1? ? ? M0 1? ?

为求旅程中的最大速度,即旅程一半处的 ? ,可应用本章题 10 的(4)式和(5)式。火箭 加速与减速阶段转折点的 ? 满足

a? t c ?? a? 2 1? 2 t 2 c

R 式中 t 是航程为 2 所需的地球时间,它由本章题 10 的(5)式给定,为
R 4c 2 t? 1? 2c a ?R
代入,得
1 2 ? ? 4 2 2 ? ? 4c 4c 2c 4 ? ? ? ? ? 1 ? 2 2 ?1 ? ? 1? 2 2 ? a? R ? a?R ? a? R ? ? ? ? ? ? 1

??

1 c2 1? 2 2 a? t

取上述近似是因为 a?R ? c2。因此,火箭的起始功率为

?1? ? ? R 2 a? 2 ?? ? ? ? N ? cM 0 a ? ? ca ?M 0 ? c a M 0 ?1? ? ? c4 ? ?
? ? R2 a?3 M 0 ? 3.8 ?1024 J / s c3
?6

第一颗原子弹爆炸时,在10

s 内释放了约 5 ?1023 J 的能量,功率约为 5 ?1029 J / s 。

52044.如图 52-47 所示,光源静止于 S 系中,某色散介质相 S S? 对 S 系沿 x 方向以速度 v 运动。试问,对 S 系中的观察者而 言,光在介质中的传播速度是多少?已知光在静止介质中的 波长为λ ,相应的折射率为 n,介质的色散率为 dn/dλ 。计 光源 算时只取一级近似。 分析: 在 S ? 系中介质静止, 只需算出光在静止介质中的传播 速度 u ? , 根据相对论速度合成公式, 便可算出相对 S 系的传

?
介质

x?

x
图 52-47

播速度。计算 u ? 时必须考虑是色散介质, u ? 与光波频率(或波长)有关,而介质相对光源 有运动,因而必须考虑多普勒效应。 解:首先是 S ? 系中考察,此时光在静止介质中传播。由多普勒效应,光波的波长为

?0 ?

1? ? ?0 1? ?

式中 写为

??

?

c ,下标“0”表示真空中的波长, ?0 是 S 系中静止光源发出的波长。上式可改
1

? ? ? 2? ? 2 ? ?2 ? ? ?0 ? ?0 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1? ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? 2?1 ? ? ? ?

? ? ? ? ?2 ?2 ?1 ?2 ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ?0 ?1 ? ? ? ? ?? ? ?0 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
略去 ? 和更高级的小量,得
2

? ? ?1 ? ? ??0 ?0
故由于多普勒效应引起的波长改变为

? ? ?0 ? ??0 ? ??0 ? ?0

?
c

?0

已知介质中的波长 ? 与真空中的波长 ?0 之间的关系为

?0 ?
代入,得

?0
n

??0 ?

?n
c

?

? 的折射率为 静止介质中波长为 ?0
? ? ? n ? ?0 ? ??0 ? ? n ? n ? ?0
静止介质中的传播速度为

dn dn ? ??0 ? n ? n? ? d? d? c

c c n u? ? ? dn ? ?? n??0 1? ? d? c
c? dn ? ? ? ?1 ? ? ? n? d? n ?
?1

?

c dn ? ?? n d? n
?1

据速度合成公式,S 系中的传播速度为

u? ? ? ? c dn ? ?? ? ? u? ?? ?? ? ? ??1 ? ? ?u ? n d? n ?? cn ? 1? 2 ? c

dn ? 1 ? dn ? ?c ?? ? ? c ? ? ? ?? ? ? ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? d? n n d? ? ?n ?? cn ? n ? n
可见,上述结果比菲涅耳导出的公式多了一个色散项。 52048.太空火箭(包括燃料)的初始质量为 M0,从静止起飞,向后喷出的气体相对火箭的 速度 u 为常量。任意时刻火箭速度(相对地球)为 v 时火箭的静止质量为 m0。忽略引力影 响。试求比值 m0/M0 与速度 v 之间的关系。 分析:以地球为参考系,设任意时刻火箭速度为? ,质量为 m,在 dt 时间喷出气体的质量 为

dm ? ?dm ,火箭速度增量为 d? 。取火箭及喷出气体为物体系,忽略引力时,物体系

总动量守恒。利用相对论速度合成法则,可得火箭静止质量的变化与速度增量之间的关系。 通过积分即可求得任意时刻火箭静止质量与速度之间的关系。 解:设在地球参考系中,时刻 t 火箭的质量为 m,火箭的速度为? ,m 与相应静止质量 m0 之间的关系为

m?

m0 1? ? 2

式中

??

?
c ,火箭动量为 m? ,在时间间隔 dt 内喷出气体的质量为

? m 0 dm ? ? dm ? ? d ? 2 ? ? 1? ?

? ? ? ?

喷出气体的速度(相对地球)为 ? 气 ,火箭速度增了为 d? ,在 量为

?t ? dt ? 时刻,系统的总动

??m ? dm ??? ? d? ? ??气 dm ?。由动量守恒,有
m? ? ?m ? dm ??? ? d? ? ? ?气 dm



md? ? ??气 ?? ? dm ? 0


m0 1? ?
由速度合成公式

d? ? ?? ? ? 气 ?d ? 2

?

? ??0 2 ? ? 1 ? ? ? ? m0

?气 ?
代入(1)式,得

1?

? ?u u?
c2

? ? ? 2 m0 2 d? ? u 1 ? ? ? ? ? m0 dm0 c d? ? ? ?0 ? 3 ? 2 2 u 2 2 2 1? ? 1 ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?
化简后,得

m0 d? ? u ? 2 ?1 dm0


?

?

m0cd? ? u ? 2 ?1 dm0
分离变量,得

?

?

dm0 c d? ? m0 u ? 2 ?1
积分,得

1nm0 ?
初条件为 t=0 时, ?

c 1? ? 1n ?c 2u 1 ? ?

? 0 , m0 ? M 0 ,故

C ? 1nM 0
代入(2) ,得

m ?1? ? ? 1n 0 ? 1n? ?1? ? ? ? M0 ? ?


c 2u

m0 ? 1 ? ? ? ? ?? ? M0 ? ?1? ? ?

c 2u

上述结果是瞬间关系,即火箭的瞬时静止质量 m0 与同一瞬间的速度? 火箭加速时,向后喷气,式中的 u 量为 M0(2)式中积分常量 C

? ?c 之间的关系。

? 0 。火箭减速时,若速度变为零(即 ? ? 0 )时的终质

? ,于是有 ? 1nM 0
c 2u

m0 ? 1 ? ? ? ? ?? ? M0 ? ?1? ? ?
式中 u ? 0 (因向前喷气) 。

52049.如图 52-48 所示,惯性系 S 和 Sˊ的对应坐标轴互相平行,Sˊ系相对 S 系以速度 v x x? 沿+z 方向运动。 S 系与某星体连结在一起, 两坐标系的原点 O 和 Oˊ的间距小于到全体星体的距离。假定在 O 处的观察者 ? S S? 看到的其他星体的光数各向同性分布, 即在任何方向上单位立 体角内测得的星体光数 N 为常量。试求在 Oˊ处的观察者看 O O? 到的星体个数的分布。 x, x? 分析:要求的是在 S ? 系中任何方向单位立体角内观察到的星 体个数 N ? ,它与观察方位有关,为了描述方位,以 z

y

y?

? z ?? 轴

图 52-48

为极轴建立球面极坐标系,纬度以? (或? ? )表示,经度以 ? (或 ? ? )表示,某方位就可 用

?? ,? ? 或 ?? ?,? ?? 描述。本题是已知 S 系中的 N,要求出 S ? 系中的 N ??? ?,? ?? ,利用光线 ?? ?,? ?? 方向的立方体角元可表为
d? ? sin ?d?d?

传播方向盘的变换式即可求解。 解:在 S 系中,

在 S ? 系中,对应的立方体角元则为

d?? ? sin ? ?d? ?d? ?
星体个数不因变换而改变,即 S ? 系中立体角元 d?? 内的星体个数与 S 系中对应立体角元

d? 内的星体个数应相等,即有

N ??? ?,? ??d?? ? N ?? ,? ?d?


N ??? ?,? ??sin ? ?d? ?d? ? ? N ?? ,? ?sin ?d?d?
因经度 ? 是 xy 平面内的角度,S 系和 S ? 系的相对运动方向与 xy 平面垂直,故

? ? ? ? , d? ? ? d?
代入,得

N ??? ?,? ?? ? N
光线传播的变换关系式为

sin?d? d ?cos? ? ?N sin? ?d? ? d ?cos? ??

(2)

? cos ? ? ? cos? ? ? 1 ? ? cos? ?
式中带 ? 号的方位角是光的传播方向与 z 播,故

?z ??轴的夹角。本题中光从各星体向原点 O?O?? 传

? ? ? ? ?? ,? ? ? ? ?? ?
上述变换关系式可写为

cos? ? ?
其逆变换关系为

cos? ? ? 1 ? ? cos? cos? ? ? ? 1 ? ? cos? ?
1? ? 2 d ?cos? ??

cos? ?
上式两边取微分,得

d ?cos? ? ?


?1 ? ? cos? ??2

d ?cos? ? 1? ? 2 ? d ?cos? ?? ?1 ? ? cos? ??2
代入(1)式,得

N ??? ?? ? N

?1 ? ? cos? ??2

1? ? 2

可见,星体个数的分布与经度 ? ? 无关,即对 z ? 轴具有轴对称性。 当 ? ? c 时, ?

? 1 ,则有

N ??0? ? 1im

? ?1

?1 ? ? ?2
? ?1

1? ? 2

1? ? 2 ? 1im ?? ? ?1 1 ? ? ?0

N ??? ? ? 1im

?1 ? ? ?2

1? ? 2

由此可见,在 S 系中星体分布将向 S ? 系的运动方向聚集,在? ? c 的极限情形下,所有星 体将集中到运动方向上。 52051.仔细阅读下面的试题并回答后面所有的问题。 超声技术在化学工程中的应用主要是用于测量和探测封闭在容器或管道内的液面高度,下

面举这种应用的两个例子。 基本原理: 影响一束超声进入容器内液体并返回的基本因素有下列几个: 容器壁的厚度和材料成份决定容器壁对超声能量的吸收量。对超声来说, 金属容器即使几 厘米厚的壁也是完全“透明”的,但许多材料,如防火砖等,则是很“不透明”的。 在超声应用中,另一个更重要的因素是当一束超声遇到两种材 料的分界面时,该能量的透射率,能量透射率取决于分界面两 边材料的“声阻抗” ( Z) ,一种材料的声阻抗等于这种材料的 密度与超声在其中速度的乘积,一种简单情况就是一束超声垂 直 穿 向 分 界 面 , 其 能 量 透 射 率 为 4Z1 Z 2 /(Z 1?Z 2 ) , 其 中
2

Z1 , Z 2 是声阻抗。
换能器 脉冲回声技术: 在这个技术装置中,脉冲通过测试液体,通过对反射脉冲读数 图 52-49 就可计算反射面的位置(见图 52-49) 在这种用途中最普遍的超声源是一个利用压电效应的换能 换能器 器,即用一薄圆片压电材料来接受反应两相对面之间电压 的迅捷变化,产生的电脉冲就使换能器按其固有频率(通 常在 2 ~ 10 MHz 之间) 很快降低至小值的振幅振荡, 超声 的方向取决于超声波长和压电片直径的相对大小关系,一 个非常小的换能器就是一个“点源” 。 反射信号也可用类似于产生脉冲的换能器来接收——实用 中为了方便,常常是用一个换能器来产生和接收的,仅须 图 52-50 让反射脉冲在反射脉冲的“死时间”内返回就可。常常是 用一个高增益、低噪声的放大器来放大这个反射信号,超声在液体中的传输时间可用譬如 50MHz 振荡器来决定。计数电路利用初始脉冲来启动,返回脉冲关闭。记下的振荡次数就 是间隔的时间,假如超声在液体中的速度已知,那么就能计算液面的位置。 近壁衰减: 这种技术不依赖于超声在测试媒介中的传输,而是取决于超声在“近壁”的反射,即容器 和媒质本身之间的分界面的反射(见 52-50) 。 有人也许会认为这种技术难以区别 88%、100%的反射,实际上,只要超声是脉冲,并允许 其在壁内来回反射是很容易解决这个困难的,在每次反射中,88%、100%的差别将变得越 来越大,然后不断重复,如 50 次,就能用测信号值或累积反射能量等精确区别它们,这就 为控测一个容器内有无液体提供了一条很有用的途径。

1. (1)①根据以上已知的信息,估计超声在密度为 8.0 ?10 kgm 的钢中的速度。
3

?3

②如超声频率 10MHz,估计钢中超声的波长。 (2)在这节曾指出:在钢和空气分界面上几乎 100%的能量是反射的,你能说出理由吗? 2. (1)用一组数分别来标记时间和位移,画一张超声换能器发射的接收脉冲的示意图,该 换能器利用脉冲回声测量深度为 0.75 m 的水面。指出该图的重要特征,并尽可能多说明几
3 ?1 个数值(超声在水中的速度 ? 1.5 ? 10 ms ) 。

(2)估计上述测脉冲回声系统能探测的最小变化。 3. (1)在该节曾指出一个高增益、低噪声的放大器是必需的,为什么合适的放大器必须具 有这样的性质。 (2)画图说明由大小不同的压电片产生超声波的波前形状的区别,从而来解释以下结论: 超声波的方向取决于其波长与压电片直径的相对大小关系。 (3)讨论如果想用脉冲回声方法获得精确结果时,为什么压电片直径不能比超声波长小。 4. (1)指出能解释本节描述方法的两个超声特性。 (2)有时候,我们必须在脉冲回声和近壁衰减这两种方法选择一个,请用少量句子总结各 种方法的优缺点,并给出有指导意义的选择方法。 [解答 ] 1.(1) ①已知

Z1 ? 45?106 kgm?2 s ?1

?1 ? 8.0 ?103 kgm?3


?1 ? ?
45? 106 ?1 ? ? ? 5.6 ? 103 (m / s) 3 ?1 8.0 ? 10 Z1





5.6 ?103 ?? ? ? 0.56 ?10?3 (m) ? 0.56(mm) 6 f 10 ?10
I? 4Z1 Z 2 ? (Z1 ? Z 2 ) 2 ? Z ? 2 2 ? ?1 ? Z ? ? 1 ? ? 4 Z2 Z1

?1

(2)

Z2 ? 0,? T ? 0 当 Z1 ?Z 2 时, Z1 。
2. (1)

D(表面位移)

d1 d2 d3
t ( s)

?t ? t 2 ? t1 ? t 3 ? t 2
0.75m ? ? 0.5ms 1.5 ? 10 3 m / s
当? 〉 〉? ,
?t (时间)

t1

t2

t3

d1 d 2 ? ?T2 d2 d3

?t ?
(2)

1 1 ? s 2 f 2 ? 107

l ? ? (t1 ? t 2 )

?l ? ?? (t1 ? t 2 ) ? ? (?t ? ?t )

?? ? 0.1?103 m / s


?l ? 0.1? 103 ? 0.5 ? 10?3 ? 1.5 ? 105 ? 1 / 107

? 0.05(m) ? 50(mm)
3. (1) ∵ 在钢水分界处,透射率约为 12%。 ∴

T 2 ? 1.4%

考虑到其他损耗(如超声波在水中的吸收等因素) ,换能器与钢壳间的透射率

d2 ?1.4% d1
所以,放大器的增益应较大,由于输入信号较弱,为了保持一定的信噪比,放大器的噪音 信号也必须小。 (2)

?~?

? ?? ?

? ?? ?

1 2 (3)当 ? ~ ? 时,压电片可以视为点源,声强信号按 r 分布,此时的声信号的成分很复
杂,有的是从水面返回的信号,有的则是从外壳处返回的信号,这些信号的振幅也相差不 多,故无法测出水面位置,若 ? ?? ,由于此时超声波传播的方向较好,压强也均匀,故返 回信号就是由水面处发出的。 4. (1)由于波长很短,可以直线传播;反射率、透射率因材料而异。 (2)回声式:仪器要求高(如高增益、噪声、响应快)但测量误差小,可以及时测量(专 门装置) 。 近壁式:装置简单,安装方便,可以用于临时测量,但测量误差大(探头尺寸不可能很小) , 需多次测量(测量时间长) 。


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