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选修1-1常用逻辑用语教案


第一章常用逻辑用语

1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
(一)教学目标 1、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题,能判断命题的真假;能 把命题改写成“若 p,则 q”的形式; 2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的 能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 (二)教学重点与难点 重点:命题的概念、命题的构成 难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 (三)教学过程 学生探究过程: 1.复习回顾 初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题? 2.思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗? (1)若直线 a∥b,则直线 a 与直线 b 没有公共点 . (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. 2 (4)若 x =1,则 x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 3.讨论、判断 学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。其中(1) (5) (3) 的判断为真, (4) (2) (6)的判断为假。 教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。 4.抽象、归纳 定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 命题的定义的要点:能判断真假的陈述句. 在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子. 教师再与学生共同从命题的定义, 判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解. 5.练习、深化 判断下列语句是否为命题? (1)空集是任何集合的子集. (2)若整数 a 是素数,则是 a 奇数. (3)指数函数是增函数吗? (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行. (5)

(?2) 2

=-2.

(6)x>15.

让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结:判断一个语句是不是命题,关键看两点: 第一是“陈述句” ,第二是“可以判断真假” ,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不是命题. 解略。 引申:以前,同学们学习了很多定理、推论,这些定理、推论是否是命题?同学们可否举出一些定理、

推论的例子来看看? 通过对此问的思考,学生将清晰地认识到定理、推论都是命题. 过渡:同学们都知道,一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成(结合学生所举定理和推论的例 子,让学生分辨定理和推论条件和结论,明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成) 。紧接着 提出问题:命题是否也是由条件和结论两部分构成呢? 6.命题的构成――条件和结论 定义:从构成来看,所有的命题都具由条件和结论两部分构成.在数学中,命题常写成“若 p,则 q”或 者 “如果 p,那么 q”这种形式,通常,我们把这种形式的命题中的 p 叫做命题的条件,q 叫做命题结论. 7.练习、深化 指出下列命题中的条件 p 和结论 q,并判断各命题的真假. (1)若整数 a 能被2整除,则 a 是偶数. (2)若四边行是菱形,则它的对角线互相垂直平分. (3)若 a>0,b>0,则 a+b>0. (4)若 a>0,b>0,则 a+b<0. (5)垂直于同一条直线的两个平面平行. 此题中的(1) (2) (3) (4) ,较容易,估计学生较容易找出命题中的条件 p 和结论 q,并能判断 命题的真假。其中设置命题(3)与(4)的目的在于:通过这两个例子的比较,学更深刻地理解命题的 定义——能判断真假的陈述句,不管判断的结果是对的还是错的。 此例中的命题(5) ,不是“若 P,则 q”的形式,估计学生会有困难,此时,教师引导学生一起分析: 已知的事项为“条件” ,由已知推出的事项为“结论” . 解略。 过渡:从例2中,我们可以看到命题的两种情况,即有些命题的结论是正确的,而有些命题的结论是错误 的,那么我们就有了对命题的一种分类:真命题和假命题. 8.命题的分类――真命题、假命题的定义. 真命题:如果由命题的条件 P 通过推理一定可以得出命题的结论 q,那么这样的命题叫做真命题. 假命题:如果由命题的条件 P 通过推理不一定可以得出命题的结论 q,那么这样的命题叫做假命题. 强调: (1)注意命题与假命题的区别.如:“作直线 AB”.这本身不是命题.也更不是假命题. (2)命题是一个判断,判断的结果就有对错之分.因此就要引入真命题、假命题的的概念,强调真假命 题的大前提,首先是命题。 9.怎样判断一个数学命题的真假? (1)数学中判定一个命题是真命题,要经过证明. (2)要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可. 10.练习、深化 例3:把下列命题写成“若 P,则 q”的形式,并判断是真命题还是假命题: (1) 面积相等的两个三角形全等。 (2) 负数的立方是负数。 (3) 对顶角相等。 分析:要把一个命题写成“若 P,则 q”的形式,关键是要分清命题的条件和结论,然后写成“若条件, 则结论”即“若 P,则 q”的形式.解略。

11、巩固练习:P4

2、3

12.教学反思 师生共同回忆本节的学习内容. 1.什么叫命题?真命题?假命题? 2.命题是由哪两部分构成的? 3.怎样将命题写成“若 P,则 q”的形式. 4.如何判断真假命题. 教师提示应注意的问题: 1.命题与真、假命题的关系. 2.抓住命题的两个构成部分,判断一些语句是否为命题. 3.判断假命题,只需举一个反例,而判断真命题,要经过证明. 13.作业:P9:习题 1.1A组第 1 题

1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题的相互关系

(一)教学目标 ◆知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念,掌握四种命题的形式和四种 命题间的相互关系,会用等价命题判断四种命题的真假. ◆过程与方法:多让学生举命题的例子,并写出四种命题,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有 创造性地解决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力. ◆情感、态度与价值观:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及 培养他们的分析问题和解决问题的能力. (二)教学重点与难点 重点: (1)会写四种命题并会判断命题的真假; (2)四种命题之间的相互关系. 难点: (1)命题的否定与否命题的区别; (2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题; (3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假. 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培养他们的分 析问题和解决问题的能力. (三)教学过程 学生探究过程: 1.复习引入 初中已学过命题与逆命题的知识,请同学回顾:什么叫做命题的逆命题? 2.思考、分析 问题 1:下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件与结论之间分别有什么关系? 、 、 (1)若 f(x)是正弦函数,则 f(x)是周期函数. (2)若 f(x)是周期函数,则 f(x)是正弦函数. (3)若 f(x)不是正弦函数,则 f(x)不是周期函数. (4)若 f(x)不是周期函数,则 f(x)不是正弦函数. 3.归纳总结 问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论.紧接结合此例给出四个命题的概念, (1)和(2) 这样的两个命题叫做互逆命题, (1)和(3)这样的两个命题叫做互否命题, (1)和(4)这样的两个 命题叫做互为逆否命题。 4.抽象概括 定义1:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题. 让学生举一些互逆命题的例子。 定义2:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论 的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的 否命题. 让学生举一些互否命题的例子。 定义3:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件 的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命 题的逆否命题. 让学生举一些互为逆否命题的例子。 小结: (1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题就是它的逆命题: (2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题就是它的否命题; (3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题就是它的逆否命题. 强调:原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 5.四种命题的形式 让学生结合所举例子,思考:

若原命题为“若 P,则 q”的形式,则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式? 学生通过思考、分析、比较,总结如下: 原命题:若 P,则 q.则: 逆命题:若 q,则 P. 否命题:若¬P,则¬q. (说明符号“¬”的含义:符号“¬”叫做否定符号. “¬p”表示 p 的否定;即 不是 p;非 p) 逆否命题:若¬q,则¬P. 6.巩固练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假: (1) 若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (2) 若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; 2 (3) 若 x =1,则 x=1; (4) 若整数 a 是素数,则是 a 奇数。 7.思考、分析 结合以上练习思考:原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系? 通过此问,学生将发现: ①原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③原命题为真,它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。 结合以上练习完成下列表格: 原 真 假 假 命 题 逆 真 假 真 假 真 命 题 否 命 题 逆 否 命 题

由表格学生可以发现:原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,逆命题与否命题也总是具有相同的 真假性. 由此会引起我们的思考: 一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢? 让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系. 学生通过分析,将发现四种命题间的关系如下图所示: 8.总结归纳 若 P,则 q. 若 q,则 P. 原命题 互 互 否 互 否命题 互 若¬P,则¬q. 逆 若¬q,则¬P. 为 为 逆 逆 否 逆否命题 互 逆 否 互 否 逆命题

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通 过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题. 9.例题分析 2 2 例 4: 证明:若 p + q =2,则 p + q ≤ 2. 分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。 2 2 将“若 p + q =2,则 p + q ≤ 2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否 2 2 命题“若 p + q >2,则 p + q ≠2”为真命题,从而达到证明原命题为真命题的目的. 证明:若 p + q >2,则 p + q
2 2 2


2

1 1 1 2 2 2 2 [ -q) +(p +q) ]≥ (p +q) > ×2 =2 (p 2 2 2

所以 p + q ≠2. 这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。 2 2 练习巩固:证明:若 a -b +2a-4b-3≠0,则 a-b≠1. 10:教学反思 (1)逆命题、否命题与逆否命题的概念; (2)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性; (3)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系; (4)原命题与它的逆否命题等价;否命题与逆命题等价. 11:作业 P9:习题 1.1A组第2、3、4题

1.2

充分条件和必要条件(1)

【教学目标】 1.从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义; 2.结合具体命题,初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法; 3.培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识. 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义; 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断. 【教学过程】 一、复习回顾 1.命题:可以判断真假的语句,可写成:若 p 则 q. 2.四种命题及相互关系: 3.请判断下列命题的真假:
2 2 2 2 (1)若 x ? y ,则 x ? y ; (2)若 x ? y ,则 x ? y ;

(3)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ;

(4)若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

二、讲授新课 1.推断符号“ ? ”的含义: 一般地,如果“若 p ,则 q ”为真, 即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作:“ p ? q ”; 如果“若 p ,则 q ”为假, 即如果 p 成立,那么 q 不一定成立,记作:“ p ? q ”. ? 用推断符号“ ? 和 ? ”写出下列命题:⑴若 a ? b ,则 ac ? bc ;⑵若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ? 2.充分条件与必要条件 一般地,如果 p ? q ,那么称 p 是 q 的充分条件;同时称 q 是 p 的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢? 由上述定义知“ p ? q ”表示有 p 必有 q ,所以 p 是 q 的充分条件,这点容易理解.但同时说 q 是 p 的必要条件是为什么呢?q 是 p 的必要条件说明没有 q 就没有 p , q 是 p 成立的必不可少的条件,但有 q 未 必一定有 p . 充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它符合上述的“若 p 则 q”为真(即 p ? q )的形式. “有之必成立,无之未必不成立” . 必要性:必要就是必须,必不可少.它满足上述的“若非 q 则非 p”为真(即 ? q ? ? p )的形式. “有之 未必成立,无之必不成立” . 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类: (1)充分必要条件(充要条件) ,即 p ? q 且 q ? p ; (2)充分不必要条件,即 p ? q 且 q ? p ; ? (3)必要不充分条件,即 p ? q 且 q ? p ; ? (4)既不充分又不必要条件,即 p ? q 且 q ? p . ? ? 3.从不同角度理解充分条件、必要条件的意义 (1)借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设 A, B 为两个集合,集合 A ? B 是指

x ? A ? x ? B 。这就是说, x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件, x ? B ”是“ x ? A ”的必要条件。 “ “
对于真命题“若 p 则 q” ,即 p ? q ,若把 p 看做集合 A ,把 q 看做集合 B , p ? q ”相当于“ A ? B ” “ 。 (2)借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关 A 闭合”为条件 A , “灯泡 B 亮” 为结论 B ,可用图 1、图 2 来表示 A 是 B 的充分条件, A 是 B 的必要条件。

A C

B

A

C

B 3

图1

A

图2
C

A

B 3 图3

B

图4

(3)回答下列问题中的条件与结论之间的关系: ⑴若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ⑵若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ; ⑶若两三角形全等,则两三角形的面积相等. 三、例题 例 1:指出下列命题中,p 是 q 的什么条件. ⑴p: x ? 1 ? 0 ,q: ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ; ⑵p:两直线平行,q:内错角相等; ⑶p: a ? b ,q: a 2 ? b 2 ; ⑷p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形. 四、课堂练习 课本 P8 练习 1、2、3 五、课堂小结 1.充分条件的意义; 2.必要条件的意义. 六、课后作业:

1.2

充分条件和必要条件(2)

[教学目标]: 1.进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念; 2.掌握判断命题的条件的充要性的方法; [教学重点、难点]: 理解充要条件的意义,掌握命题条件的充要性判断. [教学过程]: 一、复习回顾 一般地,如果已知 p ? q ,那么我们就说 p 是 q 成立的充分条件,q 是 p 的必要条件 ⑴“ a ? b ? c ”是“ ? a ? b ??b ? c ?? c ? a ? ? 0 ”的 充分不必要 条件.

⑵若 a、b 都是实数,从① ab ? 0 ;② a ? b ? 0 ;③ ab ? 0 ;④ a ? b ? 0 ;⑤ a 2 ? b2 ? 0 ;⑥ a 2 ? b2 ? 0 中选 出使 a、b 都不为 0 的充分条件是 ①②⑤ . 二、例题分析 条件充要性的判定结果有四种,判定的方法很多,但针对各种具体情况,应采取不同的策略,灵活判 断.下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题. 1.要注意转换命题判定,培养思维的灵活性 例 1:已知 p: x ? y ? ?2 ;q:x、y 不都是 ?1 ,p 是 q 的什么条件? 分析:要考虑 p 是 q 的什么条件,就是判断“若 p 则 q”及“若 q 则 p”的真假性 从正面很难判断是,我们从它们的逆否命题来判断其真假性 “若 p 则 q”的逆否命题是“若 x、y 都是 ?1 ,则 x ? y ? ?2 ”真的 “若 q 则 p”的逆否命题是“若 x ? y ? ?2 ,则 x、y 都是 ?1 ”假的 故 p 是 q 的充分不必要条件 注:当一个命题很难判断其真假性时,我们可以从其逆否命题来着手. 练习:已知 p: x ? 2 或 x ? 方法一: ?p :

2 ;q: x ? 2 或 x ? ?1 ,则 ?p 是 ?q 的什么条件? 3

2 ?q : ?1 ? x ? 2 ?x?2 3 显然 ?p 是 ?q 的的充分不必要条件 方法二:要考虑 ?p 是 ?q 的什么条件,就是判断“若 ?p 则 ?q ”及“若 ?q 则 ?p ”的真假性 “若 ?p 则 ?q ”等价于“若 q 则 p”真的 “若 ?q 则 ?p ”等价于“若 p 则 q”假的 故 ?p 是 ?q 的的充分不必要条件
2.要注意充要条件的传递性,培养思维的敏捷性 例 2:若 M 是 N 的充分不必要条件,N 是 P 的充要条件,Q 是 P 的必要不充分条件,则 M 是 Q 的什么条 件? 分析:命题的充分必要性具有传递性 M ? N ? P ? Q 显然 M 是 Q 的充分不必要条件 3.充要性的求解是一种等价的转化 例 3:求关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? 1 ? ax 于一切实数 x 都成立的充要条件 分析:求一个问题的充要条件,就是把这个问题进行等价转化
?a ? 0 ? 由题可知等价于 a ? 0 或 ?a ? 0 ? a ? 0 或 0 ? a ? 4 ? 0 ? a ? 4 ?? ? 0 ?

4.充要性的证明,关键是理清题意,特别要认清条件与结论分别是什么

例 4:证明:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件. 分析:要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件 必要性:对于 x、y ? R,如果 x2 ? y 2 ? 0 则x?0,y?0 即 xy ? 0

故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要条件 不充分性:对于 x、y ? R,如果 xy ? 0 ,如 x ? 0 , y ? 1 ,此时 x2 ? y 2 ? 0 故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的不充分条件 综上所述:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件. 例 5:p: ?2 ? x ? 10 ;q: 1 ? m ? x ? 1 ? m ? m ? 0? .若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值 范围. 解:由于 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件
?1 ? m ? ?2 ?m ? 9 于是有 ? ?10 ? 1 ? m

三、练习: 1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙的充要条 件,那么:命题丁是命题甲的什么条件. (必要不充分的条件) 2.对于实数 x、y,判断“x+y≠8”是“x≠2 或 y≠6”的什么条件. (充分不必要条件) 3 3 2 2 3.已知 ab ? 0 ,求证: a ? b ? 1 的充要条件是: a ? b ? ab ? a ? b ? 0 .

简单的逻辑联结词(二)复合命题 教学目标:加深对“或” “且” “非”的含义的理解,能利用真值表判断含有复合命题的真假; 教学重点:判断复合命题真假的方法; 教学难点:对“p 或 q”复合命题真假判断的方法 课 型:新授课 教学手段:多媒体 一、创设情境 1.什么叫做命题?(可以判断真假的语句叫命题 正确的叫真命题,错误的叫假命题 ) 2.逻辑联结词是什么?( “或”的符号是“∨”“且”的符号是“∧”“非”的符号是“┑” 、 、 ,这些词叫 做逻辑联结词) 3. 什么叫做简单命题和复合命题? (不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词 “或” 、 “且”“非”构成的命题是复合命题 ) 、 4.复合命题的构成形式是什么? p 或 q(记作“p∨q” ); p 且 q(记作“p∨q” );非 p(记作“┑q” ) 二、活动尝试 问题 1: 判断下列复合命题的真假 (1)8≥7 (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) ? 不是整数; 解: (1)真; (2)真; (3)真; 命题的真假结果与命题的结构中的 p 和 q 的真假有什么联系吗?这中间是否存在规律? 三、师生探究 1. “非 p”形式的复合命题真假: 例 1:写出下列命题的非,并判断真假: 2 (1)p:方程 x +1=0 有实数根 2 (2)p:存在一个实数 x,使得 x -9=0. 2 (3)p:对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0; (4)p:等腰三角形两底角相等 显然,当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. 2. 且 q”形式的复合命题真假: “p 例 2:判断下列命题的真假: (1)正方形 ABCD 是矩形,且是菱形; (2)5 是 10 的约数且是 15 的约数 (3)5 是 10 的约数且是 8 的约数 (4)x2-5x=0 的根是自然数 所以得:当 p、q 为真时,p 且 q 为真;当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。 3. 或 q”形式的复合命题真假: “p 例 3:判断下列命题的真假: (1)5 是 10 的约数或是 15 的约数; (2)5 是 12 的约数或是 8 的约数; (3)5 是 12 的约数或是 15 的约数; (4)方程 x2-3x-4=0 的判别式大于或等于零 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。 四、数学理论
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

1. “非 p”形式的复合命题真假: 当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. p 非p

(真假相反)

真 假

假 真

2. 且 q”形式的复合命题真假: “p 当 p、q 为真时,p 且 q 为真; 当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。

(一假必假)

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p且q 真 假 假 假

3. 或 q”形式的复合命题真假: “p 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。

(一真必真)

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

P或q 真 真 真 假

注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表; 2°由真值表得: “非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反; “p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真,其他情况为假; “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况为真; 3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的 复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。如:p 表示“圆周率π 是无理数” 表示“△ ,q ABC 是直角三角形” ,尽管 p 与 q 的内容毫无关系,但并不妨碍我们利用真值表判断其命题 p 或 q 的真假。 4°介绍“或门电路” “与门电路” 。

或门电路(或) 与门电路(且) 五、巩固运用 例 4:判断下列命题的真假: (1)4≥3 (2)4≥4 (3)4≥5 (4)对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 分析: (4)为例: 第一步:把命题写成“对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 或 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”是 p 或 q 形式 第二步:其中 p 是“对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”为真命题;q 是“对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”是假命 第三步:因为 p 真 q 假, 由真值表得: “对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”是真命题。

例 5:分别指出由下列各组命题构成的 p 或 q、p 且 q、非 p 形式的复合命题的真假: (1)p:2+2=5; q:3>2 (2)p:9 是质数; q:8 是 12 的约数; (3)p:1∈{1,2}; q:{1} ? {1,2} (4)p: ? ? {0}; q: ? ? {0} 解:①p 或 q:2+2=5 或 3>2 ;p 且 q:2+2=5 且 3>2 ;非 p:2+2 ? 5. ∵p 假 q 真,∴“p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为真. ②p 或 q:9 是质数或 8 是 12 的约数;p 且 q:9 是质数且 8 是 12 的约数;非 p:9 不是质数. ∵p 假 q 假,∴“p 或 q”为假, 且 q”为假, “p “非 p”为真. ③p 或 q:1∈{1,2}或{1} ? {1,2};p 且 q:1∈{1,2}且{1} ? {1,2};非 p:1 ? {1,2}. ∵p 真 q 真,∴“p 或 q”为真, 且 q”为真, “p “非 p”为假.

④p 或 q:φ ? {0}或φ ={0};p 且 q:φ ? {0}且φ ={0} ;非 p:φ ? {0}. ∵p 真 q 假,∴“p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为假. 七、课后练习 1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是( D ) A.简单命题 B.非 p 形式的命题 C.p 或 q 形式的命题 D.p 且 q 的命题 2.如果命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,则下列错误的是( D ) A. 且 q”是假命题 “p B. 或 q”是真命题 “p C. “非 p”是真命题 D. “非 q”是真命题 3. (1)如果命题“p 或 q”和“非 p”都是真命题,则命题 q 的真假是___真______。 (2)如果命题“p 且 q”和“非 p”都是假命题,则命题 q 的真假是_____假____。 4.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假. (1)5 和 7 是 30 的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x-5<2 无自然数解. 5.判断下列命题真假: (1)10≤8; (2)π 为无理数且为实数; (3)2+2=5 或 3>2. (4)若 A∩B= ? ,则 A= ? 或 B= ? . 6.已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围。 八、参考答案: 4.(1)是“p 或 q”的形式.其中 p:5 是 30 的约数;q:7 是 30 的约数,为真命题. (2) “p 且 q” .其中 p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分;为真命题. (3)是“┐p”的形式.其中 p:8x-5<2 有自然数解.∵p:8x-5<2 有自然数解.如 x=0,则为真命题.故 “┐p”为假命题. 5. (1)假命题; (2)真命题; (3)真命题. (4)真命题. 6.由 p 命题可解得 m>2,由 q 命题可解得 1<m<3; 由命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以命题 p 或 q 中有一个是真,另一个是假 (1)若命题 p 真而 q 为假则有 ?

?m ? 2 ?m?3 ?m ? 1, 或m ? 3 ?m ? 2 ?1? m ? 2 ?1 ? m ? 3
所以 m≥3 或 1<m≤2

(2)若命题 p 真而 q 为假,则有 ?

1.4.1 全称量词与存在量词(一)量词
教学目标:了解量词在日常生活中和数学命题中的作用,正确区分全称量词和存在量词的概念,并能准确 使用和理解两类量词。 教学重点:理解全称量词、存在量词的概念区别; 教学难点:正确使用全称命题、存在性命题; 课 型:新授课 教学手段:多媒体 教学过程: 一、创设情境 在前面的学习过程中,我们曾经遇到过一类重要的问题:给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词 的命题进行否定,确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助,今天我们将专门学习和讨论这类问题, 以解心中的郁结。 问题 1:请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一 纸;②一 牛;③一 狗;④一 马;⑤一 人家;⑥一 小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂,又有兼表形象 特征的作用,选用时主要应该讲求形象性,同时要遵从习惯性,并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原 则,就会闹出“一匹牛” “一头狗” “一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化,即使是那些没有完整的数字系统的语言,量词是人们相互交往的重要 词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题,而是更多的给予它数学的意境。 问题 2:下列命题中含有哪些量词? (1)对所有的实数 x,都有 x2≥0; (2)存在实数 x,满足 x2≥0; (3)至少有一个实数 x,使得 x2-2=0 成立; (4)存在有理数 x,使得 x2-2=0 成立; (5)对于任何自然数 n,有一个自然数 s 使得 s = n × n; (6)有一个自然数 s 使得对于所有自然数 n,有 s = n × n; 上述命题中含有: “所有的”“存在”“至少”“任何”等表示全体和部分的量词。 、 、 、 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外,还有量词。命题的量词,表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑 中,量词被分为两类:一类是全称量词,另一类是存在量词。 全称量词:如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为:“对宇宙间的所有事物 x 来说,x 都是 F。” 例句:“所有的鱼都会游泳。” 存在量词:如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为:“宇宙间至少有一个事物 x,x 是 F。”例句:“有 的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题:其公式为“(这个)S 是 P”。例句:“这件事是我经办的。”单称命题表示个体,一般不需要量 词标志,有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。 全称命题:其公式为“所有 S 是 P”。例句:“所有产品都是一等品”。全称命题,可以用全称量词,也可以 用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量词标志,如“人类是有智慧 的。” 特称命题:其公式为“有的 S 是 P”。例句:“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词,如“有些”、 “很少”等,也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。 问题 3:判断下列命题是全称命题,还是存在性命题?

(1)方程 2x=5 只有一解; (2)凡是质数都是奇数; (3)方程 2x2+1=0 有实数根; (4)没有一个无理数不是实数; (5)如果两直线不相交,则这两条直线平行; (6)集合 A∩B 是集合 A 的子集; 分析: (1)存在性命题; (2)全称命题; (3)存在性命题; (4)全称命题; (5)全称命题; (6)全称命题; 四、数学理论
1.开语句:语句中含有变量 x 或 y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这种含有变量的 语句叫做开语句。如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.

2.表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种: (1) 全称量词 日常生活和数学中所用的“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等词可统称为全称量 , , , , , 词,记作 ?x 、 ?y 等,表示个体域里的所有个体。 (2) 存在量词 日常生活和数学中所用的“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等词统称为存在量词,记作 ?x ,?y , , , 等,表示个体域里有的个体。 3.含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式:“对 M 中的所有 x,p(x)”的命题,记为: ?x ? M , p( x) 存在性命题的格式:“存在集合 M 中的元素 x,q(x)”的命题,记为: ?x ? M , q ( x)
注:全称量词就是“任意”,写成上下颠倒过来的大写字母 A,实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词

就是“存在”、“有”,写成左右反过来的大写字母 E,实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就 是全称量词。 五、巩固运用 例 1 判断以下命题的真假: (1) ?x ? R, x ? x
2

(2) ?x ? R, x ? x
2

(3) ?x ? Q, x 2 ? 8 ? 0

(4) ?x ? R, x ? 2 ? 0
2

分析: (1)真; (2)假; (3)假; (4)真; 例 2 指出下述推理过程的逻辑上的错误: 第一步:设 a=b,则有 a2=ab 第二步:等式两边都减去 b2,得 a2-b2=ab-b2 第三步:因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步:等式两边都除以 a-b 得,a+b=b 第五步:由 a=b 代人得,2b=b 第六步:两边都除以 b 得,2=1 分析:第四步错:因 a-b=0,等式两边不能除以 a-b 第六步错:因 b 可能为 0,两边不能立即除以 b,需讨论。 心得:(a+b)(a-b)=b(a-b) ? a+b=b 是存在性命题,不是全称命题,由此得到的结论不可靠。 同理,由 2b=b ? 2=1 是存在性命题,不是全称命题。 例 3 判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量词符号表达出来。 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0 不能作除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个向量都有方向; 分析: (1)全称命题, ? 河流 x∈{中国的河流},河流 x 注入太平洋; (2)存在性命题, ? 0∈R,0 不能作除数;

(3)全称命题, ? x∈R,

x 1

? x;

(4)全称命题, ? a , a 有方向; 六、回顾反思 要判断一个存在性命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 p(x)为真;要判断一个存 在性命题为假,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题 p(x)为假。 要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题 p(x)为真;但要判断一个全称命题 为假时,只要在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 p(x)为假。 即全称命题与存在性命题之间有可能转化,它们之间并不是对立的关系。 七、课后练习 1.判断下列全称命题的真假,其中真命题为(B ) A.所有奇数都是质数 B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

?

?

C.对每个无理数 x,则 x2 也是无理数 D.每个函数都有反函数 2 2 2.将“x +y ≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( A ) A. ?x, y ? R ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy C. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy 3.判断下列命题的真假,其中为真命题的是 D A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

B. ?x, y ? R ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy D. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy

B. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, sin x ? tan x

D. ?x ? R, sin x ? tan x

4.下列命题中的假命题是( B ) A.存在实数α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对任意α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β ,使 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ 5.对于下列语句 (1) ?x ? Z , x ? 3
2

(2) ?x ? R, x ? 2
2

(3) ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(4) ?x ? R, x ? x ? 5 ? 0
2

其中正确的命题序号是 6.命题
(a ? b) b ?1
2

2\3

。 (全部填上)

?

a?b b ?1

是全称命题吗?如果是全称命题,请给予证明,如果不是全称命题,请补充必要

的条件,使之成为全称命题。 参考答案: 6.不是全称命题,补充条件: a ? ?b ? 1 (答案不惟一) 当 a ? ?b ? 1 时, a ? b ? 0 , b ? 1 ? 0

( a ? b) 2 ? ( a ? b) a ? b ? ? b ?1 b ?1 b ?1

1.4.2 全称量词与存在量词(二)量词否定
教学目标:利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定,使学生进一步理解全称量词、存 在量词的作用. 教学重点:全称量词与存在量词命题间的转化; 教学难点:隐蔽性否定命题的确定; 课 型:新授课 教学手段:多媒体 教学过程: 一、创设情境 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某 个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ? ”与“ ? ”来表 示) ;由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中, p ? q, p ? q 都容易判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题 1:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x?R,x2-2x+1≥0 分析: (1)? x ? M,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形; ?x ? M,?p(x) (2) ?x ? M,p(x),否定:存在一个素数不是奇数; ?x ? M,?p(x) (3) ?x ? M,p(x),否定:?x?R,x2-2x+1<0; ?x ? M,?p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 结论:从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究? 问题 2:写出命题的否定 2 (1)p:? x∈R,x +2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有些函数没有反函数; (4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分; 分析: (1)? x?R,x2+2x+2>0; (2)任何三角形都不是等边三角形; (3)任何函数都有反函数; (4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分; 从集合的运算观点剖析: 痧( A ? B) ? U
U

A ? U B , 痧( A ? B) ? U

U

A? U B

四、数学理论 1.全称命题、存在性命题的否定 一般地,全称命题 P:? x?M,有 P(x)成立;其否定命题┓P 为:?x∈M,使 P(x)不成立。存在性 命题 P:?x?M,使 P(x)成立;其否定命题┓P 为:? x?M,有 P(x)不成立。 用符号语言表示: P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) 在具体操作中就是从命题 P 把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并 把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否 定否定得肯定.

2.关键量词的否定 词语 词语的否 定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且

不是

一定不是

不都是 至多有一 个

小于或等于

大于或等于 所有 x 不成 立



必有一个 至少有 n 个

所有 x 成立

词语的否 一个也没 至多有 n-1 至少有两 存在一个 x 不 存在有一个 定 有 个 个 成立 成立 五、巩固运用 例 1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有人都晨练; (2)p:?x?R,x2+x+1>0; (3)p:平行四边形的对边相等; 2 (4)p:? x∈R,x -x+1=0; 分析: (1)? P:有的人不晨练; (2)? x∈R,x2+x+1≤0; (3)存在平行四边形,它的的对边不相等; (4) 2 ?x?R,x -x+1≠0; 例 2 写出下列命题的否定。 (1) 所有自然数的平方是正数。 (2) 任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根。 (3) 对任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0. (4) 有些质数是奇数。 解: (1)的否定:有些自然数的平方不是正数。 (2)的否定:存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根。 (3)的否定:存在实数 x,对所有实数 y,有 x+y≤0。 (4)的否定:所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若 x>3,则 x2>9”。在求解中极易误 当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。 例 3 写出下列命题的否定。 (1) 若 x2>4 则 x>2.。 (2) 若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根。 (3) 可以被 5 整除的整数,末位是 0。 (4) 被 8 整除的数能被 4 整除。 (5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
2 2 解(1)否定:存在实数 x0 ,虽然满足 x0 >4,但 x0 ≤2。或者说:存在小于或等于 2 的数 x0 ,满足 x0 >4。

(完整表达为对任意的实数 x, 若 x2>4 则 x>2)
2 (2)否定:虽然实数 m≥0,但存在一个 x0 ,使 x0 + x0 -m=0 无实数根。 (原意表达:对任意实数 m,若 m≥0,

则 x2+x-m=0 有实数根。 ) (3)否定:存在一个可以被 5 整除的整数,其末位不是 0。 (4)否定:存在一个数能被 8 整除,但不能被 4 整除.(原意表达为所有能被 8 整除的数都能被 4 整除) (5)否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。 (原意表达为无论哪个四 边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。 )

例 4 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。 (1)p:若 x>y,则 5x>5y; (2)p:若 x2+x﹤2,则 x2-x﹤2; (3)p:正方形的四条边相等; (4)p:已知 a,b 为实数,若 x2+ax+b≤0 有非空实解集,则 a2-4b≥0。 解: (1)? P:若 x>y,则 5x≤5y; 假命题 否命题:若 x≤y,则 5x≤5y;真命题 (2)? P:若 x2+x﹤2,则 x2-x≥2;真命题 否命题:若 x2+x≥2,则 x2-x≥2) ;假命题。 (3)? P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。 (4)? P:存在两个实数 a,b,虽然满足 x2+ax+b≤0 有非空实解集,但使 a2-4b﹤0。假命题。 否命题:已知 a,b 为实数,若 x2+ax+b≤0 没有非空实解集,则 a2-4b﹤0。真命题。 评注:命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由: 1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若 P 则 q”提出来的。2.命题的 否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同 真同假,也可能是一真一假。 3. 原命题“若 P 则 q” 的形式,它的非命题“若 p,则?q” ;而它的否命题为 “若┓p,则┓q”,既否定条 件又否定结论。 六、回顾反思 在教学中,务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才 能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。 七、课后练习 2 1.命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的命题是( ) 2 A.存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 无实根; 2 B.不存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2 C.对任意的实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2 D.至多有一个实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数”结论显然是错误 的,是因为( A.大前提错误 ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

3.命题“?x?R,x2-x+3>0”的否定是 4. “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 5.写出下列命题的否定,并判断其真假: 2 (1)p:?m∈R,方程 x +x-m=0 必有实根; (2)q:??R,使得 x2+x+1≤0; 6.写出下列命题的“非 P”命题,并判断其真假: (1)若 m>1,则方程 x2-2x+m=0 有实数根. (2)平方和为 0 的两个实数都为 0. (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角. (4)若 abc=0,则 a,b,c 中至少有一为 0.

(5)若(x-1)(x-2)=0 ,则 x≠1,x≠2. 八、参考答案: 1. B 2.C 3.? x?R,x2-x+3≤0 4.否定形式:末位数是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 否命题:末位数不是 0 且不是 5 的整数,不能被 5 整除 2 5. (1)?p:?m∈R,方程 x +x-m=0 无实根;真命题。 (2)?q:??R,使得 x2+x+1>0;真命题。 2 6. ⑴ 若 m>1,则方程 x -2x+m=0 无实数根,(真); ⑵平方和为 0 的两个实数不都为 0(假); ⑶若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角不都是锐角(假); ⑷若 abc=0,则 a,b,c 中没有一个为 0(假); ⑸若(x-1)(x-2)=0,则 x ? 1 或 x ? 2 ,(真).


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