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幂函数的性质与图像


幂函数的性质与图象

问题引入
y?x
y?

x

2

y?x

3

y?x

1 2

y?x

?1

y?

x

r />K

以上问题中的函数具有什么共同特征?

一、幂函数的定义
一般地,函数y = xK叫做幂函数,其中x 是自变量,k是常数。(k∈Q)

注 意

1、幂函数的解析式必须是y = xK 的形式, 其特征可归纳为两个1: “系数为1,只有1项”. 2、定义域与k的值有关系.

例1、下列函数中,哪几个函 数是幂函数?
1 (1)y = 2 x

答案:(1)(4) (2)y=2x2 (4)y=1

(3)y=2x

(5) y=x2 +2

(6) y=-x3

例2研究幂函数 y ? x 的定义域、奇偶性 和单调性,并作出图象
解:
y?x
? 1 2

?

1 2

?

1 x
? 1 2

它的定义域是(0,+∞)

(1)奇偶性:∵定义域不关于原点对称, ∴为非奇非偶函数. (2)单调性:

令f ( x ) ? x 设任意x1、x2∈(0,+∞),且0<x1<x2,
由不等式性质,得

0<

x1 <

X2

于是

1 > X1

1 X2

即f(x1)>f(x2)

所以

y?x

?

1 2 在(0,+∞)上是减函数

y
3

x 1/4 1/2 1
y2 1.4 1
-4

2

3

4

2

0.7 0.6 0.5
-2

1

o
-1

2

4

x

-2

-3

y
3 2

1 ( ,2) 4 ( 1 2 ,1.4) (1,1) (2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)

1

-4

-2

o
-1

2

4

x

-2

-3

y
3 2

1 ( ,2) 4 ( 1 2 ,1.4) (1,1) (2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)

1

-4

-2

o
-1

2

4

x

-2

-3

探 作出它的图象,并根据图象说明函数的单调 究 性、及值域。 与 定义域:(-∞,+∞) 发 现

例3:讨论函数 y

?x

2 3

的定义域、奇偶性,

奇偶性:偶函数

10

8

x y

0 0

1 1

2

4

6

8

6

1.6 2.5 3.3 4
4

2

-10

-5

o

5

10

x

-2

10

y
8

x y

0 0

1 1

2

4

6

8
6

1.6 2.5 3.3 4
4

(8.4)
2

(4,2.5) (1,1)

-10

-5

o

5

10

x

-2

10

y
8

x y

0 0

1 1

2

4

6

8
6

1.6 2.5 3.3 4
4

(8.4)
2

(4,2.5) (1,1)

-10

-5

o

5

10

x

-2

10

y
8

x y

0 0

1 1

2

4

6

8
6

1.6 2.5 3.3 4
4

(8.4)
2

(4,2.5) (1,1)

-10

-5

o

5

10

x

-2

例2:讨论函数 y ? x 的定义域,作出

2 3

探 究 与 发 现

它的图象,并根据图象说明函数的单调
性、奇偶性及值域。

(? ?, ??) 定义域:
奇偶性:偶函数 值 域: [0, ??) 单调性: 在(-?,0]上是减函数 在 [0, ??) 上是增函数

作出下列函数的图象 : 1
y=x x

y?x

2

y ? x3
-2 -2

y?x

2

y ? x ?1
3 3

y=x0



-3 -3

-1 0 -1 0

1 1

2 2

… …

y?x …

y ? x2 …
1 2…

9

4
-8 \

1

0

1
1 1 1

4
8

9
27




y ? x3 … -27

-1 0 \ 0

y?x

\

2

3 …

y ? x … -1/3 -1/2 -1 \

?1

1/2 1/3 …

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

0
1 2

1

2

4

-3

y?x

0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x -3 -2 -1 1 2 3 y ? x?1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当k>0时,图象随x增大而上升。 当k<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当k>0时,图象随x增大而上升。 当k<0时,图象随x增大而下降。 图象都经过点(1,1) K>0时,图象还都过点(0,0)点

-3

-4

幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式 中k的不同而各异. 1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1); 2.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) k>1 并在(0,+∞)上为增函数;
0<k<1

3.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 K<0 (0,+∞)上为减函数;

练习: 如果函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2 m 2 ? 2 m ?3

是幂函数,且在区间( 0,+∞) 内是减函数,求满足条件的实数 m的集合。

m?2
舍去m ? ?1

例5. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3)

2.5

5

与 2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 2) 5.09
1 4

3) ?1.79 > ?1.81 4)

1 4

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

第 一 象 限

k<0时
k<0 y 双曲线型 O K=1 K=0,直线型 X

k>0时
y k>1开口向上型抛物线
0<k<1开口 向右抛物线型

O

X

画出函数在第一象限的图象后,再根据函数 的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象

练习: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象限
1 内的图象,已知 k分别取 ?1,1, , 2 四个值, 2

则相应图象依次为:________ C4 C2 C3 C1

1

一般地,幂函数的图象在直线x=1 的右侧,大指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间正好相反。

y ? x 练 习 I 5
y

1 ? 2

y?x
G H
3 2

2 3

y?x
E

4 3

y?x
B

?3

y?x
C

?2

y ? x3 y ? x
A
O X

y?x
J
X y

y?x
D
X

1 3

y?x
Fy
O X

1 2

y O

y

O

O

X

(A)
y O X

(B)
y O
X

(C) y
y

(D)

(E)
y O X

O

X

O

X

(F)

(G)

(H)

(I )

(J )

小结
k(k∈Q) 形如y=x 1、幂函数的定义 的函数叫做幂函数. 及图象特征?

在第一象限内 2、幂函数的性质 k>0时图象呈上升趋势;

k<0时图象呈下降趋势. 3、思想与方法
过定点(1,1) y y K<0
k>1 0<k<1

o

x

o

x

小结
1、幂函数的定义 及图象特征? k>0,在(0,+∞)上为增函数; 2、幂函数的性质 k<0,在(0,+∞)上为减函数 3、思想与方法 图象过定点(1,1)

小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 2、幂函数的性质
运用函数性质解决问题时,要想到数形结 合的思想方法,寓数于形,赋形于数,互相利 用,相得溢彰.

3、思想与方法


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