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广东省佛山市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


佛山一中 2015 学年度第一学期期中考试高二级理科数学试题
参考公式: S球表面积 ? 4?r 2 , S圆锥侧 ? ?rl , V球 ?

4 3 1 ?r , V圆锥 ? ?r 2 h 3 3

一、选择题: (共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题的四个选项中,只有一项符合题目要 求. ) 1、直线 3x ?

3 y ?1 ? 0 的倾斜角是( )

? 2? ? C、 D、 3 3 6 2、已知 A(2,4)与 B(3,3)关于直线 m 对称,则直线 m 的方程为( A、 x+y=0 B、 x-y=0 C、 x+y-6=0 D、 x-y+1=0
A、
5? 6

B、



3、如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( ) .. A、BD∥平面 CB1D1 C、AC1⊥平面 CB1D1 B、AC1⊥BD D、异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°

4、长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在 同一个球面上,则这个球的体积是( ) A、

50 ? 3

B、 50?

C、

125 2 ? 3

D、

1000 2 ? 3

5、如图是某实心几何体的三视图,其中主视图和侧视图是半径 为 1的半圆,俯视图是个圆,则该几何体的全面积是( ) A、 ? B、 2? C、 3? D、 4? 6、 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1, 则侧棱与底面所成的角 为( ) A、 45
?

B、 60

?

C、 75 ?

D、 30

?

7、如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方 形,则原平面图形的面积为( )

2 2 a A、 4

B、

a2

C、

2 2a 2

D、

2a 2

D1 A1 D A B M B1

C1 N C
1

8、在右图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面 直线 AC 和 MN 所成的角为( ) A、 30
?

B、 60

?

C、 90

?

D、 120

?

9、在下列条件中,可判断平面 ? 与 ? 平行的是( A、 ? ? ? ,且 ? ? ? B、 m ,n 是两条异面直线,且 m //



? ,n // ? ? ,n // ?

, m // ? ,n // ?

C、 m ,n 是 ? 内的两条直线,且 m //

D、 ? 内存在不共线的三点到 ? 的距离相等 10、 一个圆锥的表面积为 ? , 它的侧面展开图是圆心角为120 的扇形, 则该圆锥的高为 (
?



A、1

B、 2

C、2

D、 2 2

11、如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 AC1 上有两个动点 E,F,且 EF=

3 .给出下列四个结论: 3

①CE⊥BD; ②三棱锥 E—BCF 的体积为定值; ③△BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形; ④在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA1 平行的直线. 其中,正确结论的个数是( ) A、1 B、2 C、3
2

D、4 )

12、 设 P, Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 上的动点, 则 PQ 的最小值为 ( A、 2 2 B、 3 2 C、 4 2 D、 4

二、 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、 在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC , 垂足为

E ,则 ED ? _______.
2 2 14 、已知直线 m: x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 相交于 A, B 两点,则弦长

AB ? ________________.
15、如图,在△ABC 中,AB=AC,以 BC 为直径的半圆 O 与边 AB 相 交于点 D,切线 DE⊥AC,垂足为点 E.则

AE ? _______________. CE

16、已知光线经过点 A(-1,2) ,由镜面所在直线 y=x 反射后经过 点 B ( 1 , 4 ), 则 反 射 光 线 所 在 直 线 方 程 为
2

_______________________ . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 ?? 与圆相切于点 ? ,过 ? 作直线与圆交于 C 、 D 两点,点 ? 在圆上,且 ???C ? ?? CD . (1)证明: ?? //CD ; (2)若 PC ? 2 AC ,求

?? . ?C

18、 (本小题满分 12 分)已知圆心 C(1,2),且经过点? 0,1? (1)写出圆 C 的标准方程;

.

(2)过点 P ?2,?1? 作圆 C 的切线,求该切线的方程及切线的长.

19、 (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面,底面边长和侧棱长 均为 2, D, D1 分别是 BC, B1C1 的中点. (1)求证: AD ? C1 D; (2)求证: 平面ADC1 // 平面A1D1B.

? A B C D B C D为直角梯形, D / /B C 20、 (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P 中, 底面 A 且A , ? A B C ? ? P A D ? 9 0 ? B C D.若 PA ? AB ? BC ? ,侧面 P 底面 A A D?
(1)求证: CD ?平面 PAC ; (2)侧棱 P A 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ? 若存在,指出点 E 的位置并证明,若不存在,请说明理由.

1 AD ? 1. 2

3

21、 (本题满分 12 分)如图(1) ,在直角梯形 ABCD 中, , ,得到几何体 , ,如图所示(2). .将 ?ADC 沿 折起,使平面 ACD 平面

(1)求几何体 D ? ABC 的体积; (2)求二面角 D ? AB ? C 的正切值; (3)求几何体 D ? ABC 的外接球的表面积.

22、 (本题满分 12 分) 如图 1, 直角梯形 ABCD 中,AB // CD, ?ABC ? 90? , CD ? 2 AB ? 4 ,

BC ? 2 . AE // BC 交 CD 于点 E ,点 G , H 分别在线段 DA , DE 上,且 GH // AE .将图 1 中的 ?AED 沿 AE 翻折, 使平面 ADE ⊥平面 ABCE (如图 2 所示) , 连结 BD 、CD ,AC 、 BE . (1)求证:平面 DAC ? 平面 DEB ; (2)当三棱锥 B ? GHE 的体积最大时,求直线 BG 与平面 BCD 所成角的正弦值.

4

2015 学年度第一学期期中考试高二级理科数学答卷 座位号: 一、选择题(每小题 5 分,12 小题,共 60 分)请把答案涂在答题卡 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13、 试室号: ;14、 ;



15、 ;16、 ; 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分)

姓名:



班级:

18、 (本小题满分 12 分)

线

考号:

19、(本小题满分 12 分)
5

20、(本小题满分 12 分)

21、(本小题满分 12 分)
6

22、(本小题满分 12 分)
7

?

一、选择题 ADDC 二、填空题

佛山一中 2015 学年度第一学期期中考试高二级理科数学答案 ? CACB ?? DBBA

13、

21 2

14、 2

15、

1 3

16、 y=-5x+9

三、解答题 17、(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 直线 ?? 与圆相切于点 , 过 ? 作直线与圆交于 C 、D 两点, 点? 在圆上,且 ???C ? ?? CD. (1)证明:?? //CD ; (2)若 PC ? 2 AC ,求 (1)证明:? 直线

?? . ?C
与圆相切于点

?

,过 ? 作直线与圆交于 C 、D 两点

?PAC ? ?ABC

------------------------------------2 分

? ???C ? ??CD ?
-----------------------------------------3 分

?BCD ? ?ABC

? ?? //CD

-------------------------------------5 分

(4)解:由(1)得 ?? //CD , ?PAC ? ?ABC

?
---------------------------------------------------------7 分

?BAC ? ?ACP ?PAC ~ ?CBA

?
--------------------------------------------------------9 分

?
------------------------------------------------------10 分 18、 (本题满分 12 分)已知圆心 C(1,2),且经过点? 0,1? (1)写出圆 C 的标准方程; (2)过点 P?2,?1? 作圆 C 的切线,求切线的方程及切线的长.

AP PC ? ?2 BC CA

8

解: (1)

圆 C 的半径 r ?

?1 ? 0? ? ? 2 ?1?
2
2

2

? 2 ------------------------------------2 分
2

所以圆 C 的标准方程: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 2

------------------------------4 分

(2)由题意知切线斜率存在,故设过点 P(2, ?1) 的切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) -----------------6 分 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ,有:

?k ? 3 1? k 2

? 2 ,

? k 2 ? 6k ? 7 ? 0 ,解得 k ? 7或k ? ?1 ,------------------------------------------8 分
? 所求切线的方程为 7 x ? y ? 15 ? 0或x ? y ? 1 ? 0 -----------------------------------10 分
由圆的性质可知:PA=PB= PC 2 ? AC 2 ? (本题 12 分)如图,三棱柱 ABC ?

? 2 ?1? ? ? ?1 ? 2?
2

2

?2 ? 2 2

-----------12 分

A1B 1C 1 的侧棱垂直于底面,底面边长

和侧棱长均为 2, D, D1 分别是 BC, B1C1 的中点, 求证: AD ? C1D ; (2)求证: 平面ADC1 // 平面A1D1B. (1)证明:

? 底面边长均为 2,D 是 BC 中点
? AD
? BC
----------------------------1 分

? 三棱柱 ABC
? AD
? BB 1

? A1B 1C 1 的侧棱垂直于底面,AD ? 面ABC
-----------------------------------------2 分

? BC
? AD

? 面B1BCC 1 , BB 1 ? 面B1BCC 1 , BC ? BB 1 ? B ? 面B 1BCC 1
1

-----------------------------------------------------3 分

? DC

? 面B1BCC1
----------------------------------4 分

? AD ? DC1

(2)证明:连结 A1C 交 A C 1 于 O,连结 DO

? O 是正方形 ACC
? O 为 A1C 中点

1 1 对角线的交点

A

?

D 是 BC 的中点

? OD// A1B ,且 OD

? 面ADC 1,A1B ? 面ADC 1

--------------6 分
9

? A1B

// 面ADC 1
1

---------------------------7 分

? D, D 分别是 BC, B C 的中点,
1 1

? AA1 // DD1, AA1 ? DD1 ? 四边形 AA1D1D 是平行四边形 ?
AD // A1D1
-----------------------------------------------------------9 分

? A D ? 面ADB,AD ? 面ADB
1 1 1

1

?

A1D1//面ADB1

-------------------------------------------------10 分

? AD ?AB? A
1 1 1

1

? 平面ADC1 // 平面A1D1B.


----------------------------------------12

20 、 ( 本 题 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 且 AD // BC ,

?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD .若 PA ? AB ? BC ?
(1)求证:CD ? 平面 PAC ; (2)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得BE // 平面 PCD?若存在, 指出点 E 的位置并证明,若不存在,请说明理由;

1 AD . 2

(1)证明:因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . -----------------------------------------------2 分 而 CD ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD. -----------------------------------------------3 分 在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90?, AB ? BC ?

1 AD , 2

所以 AC ? CD ? 又

2 AD , 所以 AC ? CD. 2
CD ,? PAC 所

-------------------------------------5 分 以 平 面 , P

? AC ? A 因PA为

. ------------------------------------6 分 / 使得 ( 2 ) PA 在 上 存 E 在 中 点 BE / , 平 面 PCD ----------------------------------7 分

E A

F
10 D

B

C

证明如下:设 PD的中点是 F , 连结 BE , EF , FC ,

1 AD .------------------------8 分 2 由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? , 所以 BC // AD. --------------------------------9 分 1 又 BC ? AD , 2 所以 BC // EF ,且 BC ? EF , 所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE // CF .--------11 分 因为 BE ? 平面 PCD ,CF ? 平面 PCD , 所以 BE // 平面 PCD . -------------------12 分
则 EF // AD ,且 EF ?

21、 (本题满分 12 分)如图(1) ,在直角梯形 ABCD 中,

?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ACD ? 平面 ABC ,得到
几何体 D ? ABC ,如图所示(2). 求几何体 D ? ABC 的体积; 求二面角 D ? AB ? C 的正切值; 求几何体 D ? ABC 外接球的表面积.

ABCD
(1) 解: 在直角梯形 中,
2 2 2 ∴ AC ? BC ? AB , ∴ ?ACB ? 90?

AC ? 2 2, BC ? 2 2.
即 BC ? AC.

∵平面 ACD ? 底面 ABC ,且交线为 AC , BC ? 平面 ACD ∴ BC ? 平面 ACD . BC ? 2 2. --------------------------------2 分 在 Rt ?ADC 中, ∴ VD ? ABC ? VB ? ACD ?

S ?ADC ?

1 1 AD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 2. 2 2

--------------

1 1 4 2 S?ACD ? BC ? ? 2 ? 2 2 ? . 3 3 3
4 2 . 3
———---------------------------4 分

∴几何体 D ? ABC 的体积为

解:记 AC 中点为 E,过 E 作 EH ? AB ,连结 DE,DH ? AD=DC,E 为 AC 中点

? DE ? AC
11

? 平面 ACD

平面

, 面ACD ? 面ACB ? AC -------------------------------------------------5 分

? DE ? 面ACB
? DE ? AB

又? EH ? AB ,且 DE ? HE ? E , DE ? 面DHE,HE ? 面DHE

? AB ? 面DHE -----------------------------------------------6 分
? DH ? AB ? ?DHE 是二面角 D ? AB ? C 的平面角-------------------------7 分

? DE= 2 ,HE=1
? tan?DHE ? 2

-----------------------------------------8 分

----------------------------------------------------9 分 (3)解:O 为 AB 中点,E 为 AC 中点,连结 DE,EO,DO

? DE ? 面ACB ,DE=OE= 2
? DE ? OE ,? DO ? 2 --------------------------10 分 又? AO ? BO ? CO ? 2

?

的 外 接 球 的 球 心 为

O , 半 径 为

2----------------------------------11 分

?

的外接球的表面积为 16? ---------------------------------------12 分

22 、 ( 本 题 12 分 ) 如 图 1 , 直 角 梯 形 ABCD 中 , AB // CD, ?ABC ? 90? , CD ? 2 AB ? 4 ,

BC ? 2 .AE // BC 交 CD 于点 E , 点G , H 分别在线段 DA , DE 上, 且 GH // AE . 将图 1 中的 ?AED AC 沿 AE 翻折,使平面 ADE ⊥平面 ABCE (如图 2 所示) ,连结 BD 、 CD , 、BE .

(1)求证:平面 DAC ? 平面 DEB; (2) 当三棱锥 B ? GHE 的体积最大时, 求直线 BG 与平面 BCD 所成角的正弦 值. (1)证明:∵ AB // CD , ?ABC ? 90 ? , CD ? 2 AB ? 4 又 AE // BC 交 CD 于点 E . ∴四边形 ABCE 是边长为 2 的正方形 ----------------------------------1 分 ∴ AC ? BE , DE ? AE . 又∵平面 ADE ? 平面ABCE
12

平面 ADE ? 平面ABCE ? AE ∴ DE ? 平面ABCE ∵ 又 DE ? BE ? E ∴ ∵ ∴平面 DAC ? 平面DEB (2)解:由(Ⅰ)知 设 ,则 ( , AE ? EC , ) --------------------------- 6 分 -------------------------5 分 ,∴ AC ? DE ------- -------------------3 分 ------------------------ --4 分

由 AB // CE ,得到 AB ? 面DAE ,

1 1 1 S ?GHE ? AB ? [ x(2 ? x)] ? 2 3 3 2 1 1 ? (? x 2 ? 2 x) ? [?( x ? 1) 2 ? 1] , ---------------------------------------7 分 3 3 根据 x ? 1 时,三棱锥 B ? GHE 体积最大,此时,H 为 ED 中点.------------------------8 分
从而 VB ?GHE ? 设直线

BG 与平面 BCD 所成的角为 ? ,

?GH // AE, AE // BC ?GH // BC, BC ? 平面 BCD , GH ? 平面 BCD
? GH // 平面 BCD ? G 到平面 BCD 的距离 d 就是到平面 BCD 的距离, ---------------------9 分 1 1 ? VH ? BCD ? VB ? DCH ? S ?BCD ? d ? S ?DCH ? BC , 3 3 1 1 1 1 ? S ?BCD ? BC ? CD ? ? 2 ? 2 2 ? 2 2 , S ?DCH ? DH ? CE ? ?1? 2 ? 1 2 2 2 2

?d ?

S?DCH ? BC 2 ? . S?BCD 2

-----------------------------------11 分

2 3 . 又? BG ? 6 ,? sin ? ? 2 ? 6 6

---------------------------------12 分

13


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