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(数学)湛江一中09-10学年高一下学期期末考试


湛江一中 2009―2010 学年高一下学期期末考试 数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每题的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的,请把每题答案的代号填入答题卡内) 1.若 a ? b ? 0 ,则有( A. )

1 1 < a b

>B .

0?

a ?1 b

C.

b2 > a 2


D.

a >? b
46

2.由三角形数构成的数列 1,3,6,10,15 ?? 其中第 8 项是( A . 28 B. 36 C. 45 3.在 ?ABC 中,若 a =2,b= 2 3 ,A= 30 ,则 B 等于(
?

D.



A.

30?

B.

30? 或 150?

C.

60?


D.

60? 或120?

4.在等比数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a6 ? a7 ? 81,则 a1 ? a9 的值( A. 3 B. 9 C.

?3

D.

?9

5.在一幢 20m 高的楼顶,测得对面一塔吊顶的仰角为 60? ,塔基的仰角为 45? ,那么这塔吊 的高是( A. )

20(1+

3 )m 3

B.

20(1 ? 3) m

C.

10( 6 ? 2) m

D.

20( 6 ? 2) m

6.在等比数列 ?an ? 中,若公比 q=4,且前 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an = ( A. )

2 n ?1

B.

2n ? 1

C.

4 n?1

D. 4 ? 1
n

7.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,若 a ? cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形 状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8.不等式 y ? 3x ? b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,而点(4,4)在此区域 内,则 b 的范围是( A . ?8 ? b <-5 B. )

b ? ?8 或 b>-5

C.

?8 ? b ? ?5

D. b ? ?8 或 b ? ?5

9.设 ?an ? 是各项互不相等的正数等差数列, bn ? 是各项互不相等的正数等比数列,a1 ? b1 , ?

a2n?1 ? b2n?1 ,则(
A.

) B.

an ?1 > bn ?1

an?1 ? bn?1

C.

an ?1 < bn ?1

D.

an ?1 = bn ?1

1

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意的实数 x 成 立,则 a 的取值范围是( A. )

(?1,1)

B.

(0,2)

C. (?

1 3 , ) 2 2

D.

3 1 (? , ) 2 2

二、填空题: (本题 4 小题,每小题5分,共 20 分.把答案填在答题卡相应的位置上) 11.不等式 3 ? 2 x ? x ? 0 的解集是___________
2

12.在 ?ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,则 A=____________ 13. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ? n 2 ? 1 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 an =____________ 14.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 s 4 ? 10 , s5 ? 15 ,则 a4 的最大值是______ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 第 10 项为 24,第 25 项为 ?21 , (1)求这个数列的通项公式; (2)设 s n 为其前 n 项和,求使 s n 取最大值时的 n 值。

16. (本小题满分 12 分) 设 二 次 函 数 f ( x)? a x ?
2

b ? 1, 若 f ( x) >0 的 解 集 为 ? x ?2 ? x ? 1? , 函 数 x

g ( x)? 2 x , ? 3
(1)求 a 与 b 的值 ; (2)解不等式 f ( x) ? g ( x)

2

17.(本小题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A , (Ⅰ)确定角 C 的大小:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

18.(本小题满分 14 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图 所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单 位:元) (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最 小,并求出最小总费用。
2

x

3

19. (本小题满分 14 分) 已知平面区域 D 由 以 P(1,2) 、R(3,5) 、Q(-3,4)为顶点的 三角形内部和边界组成。 (1)写出表示区域 D 的不等式组; (2)设点(x,y)在区域 D 内变动,求目标函数 Z=2x+y 的最小值; (3)若在区域 D 内有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z ? mx ? y(m ? 0) 取得最小值, 求 m 的值。

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 5 , a2 ? 5 , an?1 ? an ? 6an?1 (n ? 2) . (1)求证: ?an?1 ? 2an ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 3n bn ? n(3n ? an ) ,且 b1 ? b2 ? ? bn ? m 对于 n ? N 恒成立,求 m 的取值范围
?

4

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 B 5 B 6 C 7 C 8 A 9 A 10 C

二、填空题: 11.

?x | x ? 1或x ? ?3?

12. ( 120? 或

2 ?) 3

13. ?

? 2 ?2n ?1

(n ? 1) (n ? 1)

14.4

三、解答题: 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 a10 ? 24

a25 ? ?21
……………………………………………… 3 分

所以 15d ? ?45 ,所以 d ? ?3 . 所以 an ? a10 ? (n ? 10)d = 24 ? (n ? 10) ? (?3) = ?3n ? 54 (2) 法一:

……………………………………………… 6 分

sn ?

(a1 ? an ) ? n ?51 ? (?3n ? 54)? ?3n(n ? 35) ? ?n ? 2 2 2

…………………………… 9 分

? 当 n=17 或 18 时, s n 有最大值
法二:? an ? ?3n ? 54 ? 0

……………………………………………… 12 分

? n ? 18

……………………………………………… 9 分

? n=17 或 18 时 s n 有最大值。……………………………………………… 12 分
16. (本小题满分 12 分)
2 解: (1)? ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 x ?2 ? x ? 1

?

?

2 则 ?2 ,1 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 两根 …………………………………………… 2 分

b ? ??2 ? 1 ? ? a ? ? ? ? (?2) ?1 ? 1 ? a ?

……………………………………………… 4 分

5

1 ? ?a ? ? 2 ? ?? ?b ? ? 1 ? ? 2
(2) f ( x) ? ?

……………………………………………… 6 分

1 2 1 x ? x ?1 2 2 1 2 1 则 ? x ? x ? 1 > 2 x ? 3 ……………………………………………… 7 分 2 2
即 x2 ? 5x ? 4 ? 0 即 ……………………………………………… 8 分 ……………………………………………… 11 分

?4 ? x ? ?1

? 不等式的解集 ? x ?4 ? x ? ?1? ……………………………………………… 12 分
17. (本小题满分 14 分) 解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3
Q sin A ? 0,? sin C ?

……………………………………………… 3 分

3 ……………………………………………… 5 分 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

……………………………………………… 7 分

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① …………………………… 9 分 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos
2

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ② ……………………… 11 分

由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 ……………………………………………… 14 分 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13 ……………………………………………… 12 分   ? ? ? ab ? 6 ab ? 6 ? ?
4 2 2 2 消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9 ……………………………… 13 分

6

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故 a ? b ? 5 ……………………………………………… 14 分 或? ?b ? 3 ?b ? 2

18.(本小题满分 14 分) 解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m………………………………………… 1 分 则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360……………………………………… 4 分 由已知 xa=360,得 a=

360 ,……………………………………………… 5 分 x
……………………………………………… 7 分

3602 ? 360( x ? 0) 所以 y=225x+ x
(II)? x ? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 ………………………… 9 分 x

? y ? 225x ?

3602 ? 360 ? 10440.……………………………………………… 11 分 x

3602 当且仅当 225x= ,即 x=24 时等号成立. ………………………………………… 13 分 x
即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. ……………… 14 分 19(本小题满分 14 分) 解: (1)首先求三直线 PQ、QR、RP 的方程. 易得直线 PQ 的方程为 x+2y-5=0;直线 QR 的方程为 x-6y+27=0; 直线 RP 的方程为 3x-2y+1=0. ……………………………………………… 3 分 注意到△PQR 内任一点(x,y)应在直线 RP、PQ 的上方,而在 QR 的下方,故应有

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? ?3 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? 6 y ? 27 ? 0. ?

……………………………………………… 5 分

(2)由已知得直线: y ? ?2 x ? z , z 取最小值时,此直线的 纵截距最小。作直线 l : 2 x ? y ? 0 ,将直线 l 沿区域 D 平行移动, 过点 Q 时 Z 有最小值,………………………………… 8 分 所以 z min ? ?2 ;…………………………………………… 9 分 (3)直线 z ? mx ? y(m ? 0) 的斜率为-m,……………………………………… 10 分 结合可行域可知,直线 z ? mx ? y(m ? 0) 与直线 PR 重合时,线段 PR 上任意一点都可使

z ? mx ? y(m ? 0) 取得最小值,………………………… 12 分

7

又 k PR ?

3 3 3 ,因此, ? m ? ,即 m ? ? ……………………………………………… 14 分 2 2 2

20(本小题满分 14 分) 解: (1)由 an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2)…………… 3 分 ∵a1=5,a2=5 ∴a2+2a1=15……………………… 4 分 故数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列 …………5 分 n (2)由(1)得 an+1+2an=5·3 ……………………………………………… 6 分 n+1 n 由待定系数法可得(an+1-3 )=-2(an-3 ) ……………………………8 分 n n-1 n n-1 n n 即 an-3 =2(-2) 故 an=3 +2(-2) =3 -(-2) ………9 分 2 n n n n n n n (3)由 3 bn=n(3 -an)=n[3 -3 +(-2) ]=n(-2) ,∴bn=n(- ) ………10 分 3 2 2 2 2 3 2 n 令 Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|= +2( ) +3( ) +…+n( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 n 2 n+1 Sn=( ) +2( ) +…+(n-1)( ) +n( ) 3 3 3 3 3 …………11 分

2 2 n [1-( ) ] 3 1 2 2 2 2 3 2 n 2 n+1 3 2 n+1 2 n 2 n+1 得 Sn= +( ) +( ) +…+( ) -n( ) = -n( ) =2[1-( ) ]-n( ) 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1- 3 2 n 2 n+1 ∴ Sn=6[1-( ) ]-3n( ) <6 3 3


………………13 分

要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m 对于 n∈N 恒成立,只须 m≥6

…14 分

8


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