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5等差数列(一)


必修五(5)

等差数列(一)
【知识要点】
1.等差数列的定义及通项公式 2.等差数列的两个重要性质 (1)等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq (2)等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列: Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 等差数列.

3.等差数列的前 n 项和公式 仍为

【典型例题】
例 1.基本训练题 (1)求等差数列 8,5,2…的第 20 项 (2)在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项 a1 与公差 d. 5 3 (3)已知数列{an}为等差数列,a3= ,a7=- ,求 a15 的值. 4 4

例 2.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数, 则它的公差是多少?

例 3.在等差数列{an}中,若 a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通项公式.

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例 4.(1)已知 3 个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83, 求此三个数. (2)已知 4 个数成等差数列,其和为 20,其平方和为 120,求此四个数

例 5.在等差数列{an}中, (1)已知 a2+a5+a12+a15=36,求 S16 (2)已知 a6=20,求 S11.

例 6.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2—7n—8 求数列通项公式

例 7.等差数列性质的应用 (1)已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值是 (2)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 (3)一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的 和为 234,则它的第七项等于

例 8.在凸多边形中,已知它的内角度数组成公差为 5°的等差数列,且最小角是 120°, 试问它是几边形?

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例 9.已知一个无穷等差数列的首项为 a1,公差为 d: (1)将数列中的前 m 项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如 果是,它的首项与公差分别十是多少? (2)取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是, 它的首项与公差分别是多少? (3)取出数列中的所有项数为 7 的倍数的各项,组成一个新的数列,这个数列是等差数 列吗?如果是,它的首项与公差各是多少?

例 10.已知数列{an}为等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数后,和 原数列仍构成一个等差数列,试问: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项?

例 11.两个等差数列 5,8,11,……和 3,7,11,……都有 100 项,那么它们共有项多 少相同的项?这些项的和为多少?

2an 例 12.在数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数列{anan+1}的前 n 项和. an+2

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【经典练习】
1. (2006 年全国卷 I) 设 ?an ? 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A. 120 ) C. 90 D. 75 ) B. 105

2.数列 {an } 的前 n 项和 sn ? n 2 ? 2n ? 1, 则a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a25 ? ( A.350 3.已知数列 ,则下列判断正确的是( ?an ?的前 n 项和 Sn ? n(n ? 40) B. a20 ? 0, a21 ? 0 D. a19 ? 0, a20 ? 0 B.351 C.337 D.338



A. a19 ? 0, a21 ? 0 C. a19 ? 0, a21 ? 0

4.已知等差数列 {an } , a2 ? a3 ? a7 ? a11 ? a12 ? 45, 则S13 ? 5.设等差数列 {an } 中, a1 ? ?3 ,且从第 5 项开始是正数,则公差的范围是 6.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) 则 S100 =___ 7. 已知方程 ( x2 ? 2 x ? m)( x2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 _

.

| m ? n |?

1 的等差数列,则 4

______ 。

8.在等差数列{an}中: (1)已知 a4=10,a7=19,求 a1 与 d; (2)已知 a3=9,a9=3,求 a12.

9.数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6. (1)求从第 n 项开始有 an<0; (2)求此数列的前 n 项和的最大值.

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