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河南省中原名校2016届高三下学期第一次联考理科数学试题 Word解析版


中原名校 2015-2016 学年下期高三第一次联考 数学(理)试题
组题审核:中原名校联谊试题研究中心组 (考试时间:120 分钟试卷满分:150 分)

第 I 卷选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A={x|

-2015≤x<2016},B={x|x| 2016-x <1) ,则 A I B=( ) A. (2015,2016) C. [2015,2016) 2.函数 f(x)= A. B. (2015,2016] D.(-2016,-2015)

? 3

1 1 ? sin2x+ tan cos2x 的最小正周期为( ) 2 2 3
B.

?

C.2 ?

D. 4 ?

3.已知复数 z 满足(2+i)z =l+2i+3i2 +4i3(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数是( ) A.

6 2 + i 5 5

B. - i .

6 2 5 5

C.-

6 2 + i. 5 5

D.一 - i

6 2 5 5

4. “C=5”是“点(2,1)到直线 3x+4y 十 C=0 的距离为 3”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3+S7= 37,则 19a3 ? a11 =( A.47 6.过双曲线 B. 73 C. 37 D. 74 )

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐姬警雾于彳,曰两 a 2 b2

点,若△OAB 的面积为

13bc ,则双曲线的离心率为( 3
5 3
C.

)

A.

5 2

B.

13 2

D.

13 3

7.菜市中心购物商场在“双 l1”开展的“买三免一”促销 活动异常火爆,对当日 8 时至 22 时的销售额进行 统计,以组距为 2 小时的频率分布直方图如图所 示.已知 12:00 时至 16:00 时的销售额为 90 万 元,则 10 时至 12 时的销售额为( ) A. 120 万元 B. 100 万元 C. 80 万元 D.60 万元 8.如图,在直角梯形 ABCD 中.AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点, BC ? 3EC ,F

uuu r

uuu r

为 AE 中点,则 BF ? ( )

uuu r

u r 1 uuu r 2 uu AB ? AD 3 3 uu u r r 1 2 uuu B. AB ? AD 3 3 uu u r r 2 1 uuu C. ? AB ? AD 3 3 uu u r r 1 2 uuu D. ? AB ? AD 3 3
A.

9.运行如图所示的程序,若输入 x 的值为 256,则输出的 y 值 是( ), A.3 B. -3 C.

1 3 1 a
5

D. -

1 3
5

10. 已知( ( ? ax) ? ( ? bx) 的展开式中含 x2 与 x3 的项的系 绝对值之比为 1:6,则 a2 +b2 的最小值为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D.18 11.如图 ABCD -A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体,S- ABCD 是 高为 l 的正四棱锥,若点 S,A1,B1,Cl,D1 在同一个球面上,则该 球的表面积为( )

1 b

9 ? 16 49 ? C. 16
A.

25 ? 16 81 D. ? 16
B.

12.在数列{an}中,a1=3, an= an?1 ? 2 ,则( ) A.数列{an}单调递减 C.数列{an}先递减后递增 B.数列{an}单调递增 D.数列{an}先递增后递减

第Ⅱ卷非选择题(共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=(9x+1)·9kx(k∈R)为偶函数,则实数 k 的值为 . 2 2 2 14. 已知直线 l:y=kx+t 号圆:x +(y+l) =1 相切且与抛物线 C:x =4y 交于不同的两点 M,N,则 实数 t 的取值范围是____.

?y ? 2 1 x 7 ? 15.设 x,y 满足不等式 ? x ? y ? 1 x+y≥1,若 M=3x+y,N= ( ) ? ,则 M-N 的最小值为 2 2 ?x ? y ? 1 ?
16.已知函数 f(x)= cos2x +asinx 在区间(0,n ? ) (n∈N*)内恰有 9 个零点,则实数 a



的值为____ . 三、解答题(第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考 生根据要求作答,本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求△ABC 的周长的取值范围.

cos A a ?? . cos C 2b ? c

18.(本小题满分 12 分) 新生儿 Apgar 评分,即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估,主要从呼吸、 心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分,满 10 分者为正常新生儿,评分 7 分以下的新 生儿考虑患有轻度窒息,评分在 4 分以下考虑患有重度窒息,大部分新生儿的评分多在 7-10 分之间,某市级医院妇产科对 1 月份出生的新生儿随机制取了 16 名,以下表格记录了他们 的评分情况.

(1)现从 16 名新生儿中随机抽取 3 名,求至多有 1 名评分不低于 9 分的概率: (2)以这 16 名新生儿数据来估计本年度的总体数据,若从本市本年度新生儿中任选 3 名, 记 X 表示抽到评分不低于 9 分的新生儿数,求 X 的分布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分) , 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D1E 分别为 BB1 和 CC1 的 中点,AF⊥平面 A1DE,其垂足 F 落在直线 A1D 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)若 A1D= 13 ,AB=BC=3,求二面角 Cl-A1D-E 的平面 角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知 Q 为椭圆 C:

x2 y 2 4 2 b ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点,P ( , ) 是 C 上的一点, 2 a b 3 3

以 PQ 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F. (1)求椭圆 C 的方程: (2)若直线 l:y=kx+m(|k|≤

2 )与椭圆 C 相交于 A,B 两点,M 为椭圆 C 上任意 2

一点,且线段 OM 的中点与线段 AB 的中点重合,求|OM|的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x)=

a +lnx. x

3 ,求 a 的值; 2 ln x F ( x) e ?1 (2)当 a=1 时,设 F(x)=f(x)+1+ ,求证:当 x>l 时, x ?1 ? x . x 2e xe ? 1
(1)若函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是 【选考题】 请从下面所给的 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,已知 D 为以 AB 为斜边的 Rt△ABC 的外接圆 O 上一点,CE⊥AB,BD 交 AC, CE 的交点分别为 F,G,且 G 为 BF 中点, (1)求证:BC=CD; (2)过点 C 作圆 O 的切线交 AD 延长线于点 H, 若 AB=4,DH =1,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:极坐标与参数方程选讲】 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 D 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.己知 直线 l:ρ =一

? x ? 3 ? 5cos a 6 ,曲线 C: ? (a 为参数) . 3cos ? ? 4sin ? ? y ? 5 ? 5sin a

(l)将直线 l 化成直角方程,将曲线 C 化成极坐标方程: (2)若将直线,向上平移 m 个单位后与曲线 C 相切,求 m 的值 24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f(x)= 2|x-1|-a,g(x)= -|2x+m|,a,m∈R,若关于 x 的不等式 g(x)≥-1 的整数解有且仅有一个值为-3. (l)求整数 m 的值: (2)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y=

1 g(x)的上方,求实数 a 的取值范围. 2

中原名校 2015-2016 学年下期高三第一次联考 理科数学答案
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1. 【答案】A 【解析】∵

B ? ? x 0 ? 2016 ? x ? 1? ? ? x 2015 ? x ? 2016?



∴ A I B= 2. 【答案】B

? x 2015 ? x ? 2016? ,故选 A.

2? 1 3 ? T? ?? f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 3 ,所以最小正周期 【解析】因为 ,故选
B. 3. 【答案】C 【解析】由 1 ? 2i ? 3i ? 4i ? ?2 ? 2i ,
2 3

z??

得 4. 【答案】B

2 ? 2i (2 ? 2i)(2 ? i) 6 ? 2i 6 2 6 2 ?? ?? ?? ? i ? ? i 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5 5 5 ,则 z 的共轭复数是 5 5 ,故选 C.

| 3 ? 2 ? 4 ?1 ? C |
【解析】由题意知点 (2,1) 到直线 3x ? 4 y ? C ? 0 的距离为 3 等价于

32 ? 42

?3
,解

得 C ? 5 或 C ? ?25 ,所以“ C ? 5 ”是“点 (2,1) 到直线 3x ? 4 y ? C ? 0 的距离为 3”的充分 不必要条件,故选 B. 5. 【答案】D
[来源:学科网]

【解析】由 6. 【答案】D

S3 ? S7 ? 37 ,得 (3a1 ? 3d ) ? (7a1 ? 21d ) ? 37 ,整理,得 10a1 ? 24d ? 37 ,于是

19a3 ? a11 = 19(a1 ? 2d ) ? (a1 ? 10d ) ? 2(10a1 ? 24d ) ? 74 ,故选 D.
y?? b bc bc 1 2 bc 1 3 bc x A(c, ), B (c, ? ) ? ?c ? a , a a , a 3 , 得交点 则2

【解析】 由题意, 得 x ? c 代入

c 13 ? 3 ,故选 D. 整理,得 a
7. 【答案】D

90 ? 200 0.100 ? 0.125 ? 2 ? ? 【解析】该商场 11 月 11 日 8 时至 22 时的总销售额为 万元,所以 10
时至 12 时的销售额为 8. 【答案】C

200 ? ? 0.150 ? 2? ? 60

万元,故 选 D.

? 【 解 析 】 取 AB 的 中 点 G , 连 结 DG , CG , 则 D G

B, C 所 以

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? B C ? G ? D A? D A ? G ?A D A B 2 , ∴ ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AD AE ? AB ? BE ? AB ? BC ? AB ? ( AD ? AB ) 3 3 3 2 =3 ,于是 BF ? AF ? AB ? ??? ? 1 2 ??? ? 2 ???? ??? ? ? 1 ???? 1 ??? 2 ??? AE ? AB ( AB ? AD) ? AB ? ? AB ? AD 3 3 3 =2 =2 3 ,故选 C.

1

9. 【答案】C

【解析】根据程序框图及条件可知 x ? 256 ? 2 → x ? 8 ? 2 → x ? 3 ? 2 →
1 log 2 1 1 y ? ( )log2 3 ? 2? log2 3 ? 2 3 ? 2 3 ,故选 C.

x ? log2 3 ? 2 ,所以

10. 【答案】C

1 1 1 1 10(b ? a) ( ? ax)5 ? ( ? bx)5 C52 ( )3 a 2 ? C52 ( )3 b 2 ? 2 b a b ab 【解析】 a 的展开式中含 x 项的系数为 ,

10(b ? a) 1 ab 3 1 2 3 3 1 2 3 ? C ( ) a ? C ( ) b ? 10( a ? b ) 5 5 3 6 ,即 a b 含 x 的 项的系数为 , 则由题意 ,得 10(a ? b) 2 2 2 2 | ab |? 6,则 a ? b ?| a | ? | b | ? 2 | ab |? 12 ,故选 C.
1 1. 【答案】D 【解析】按如图所示作辅助线, O 为球心,设

OG1 ? x ,则 OB1 ? SO ? 2 ? x ,同时由正方体

2 2 (2 ? x)2 ? x 2 ? ( )2 2 2 2 2 ,则在 Rt ?OB1G1 中, OB1 ? G1B1 ? OG1 ,即 2 , 的性质知 7 9 81 x? R ? OB1 ? S ? 4? R 2 ? ? 8 ,所以球的半径 8 ,所以球的表面积为 16 ,故选 D. 解得 B1G1 ?

12. 【答案】A

a1 ? 3, an ? an?1 ? 2 , a ? 0, an2 ? an?1 ? 2 a2 ? an ? 2 知 n ①, 则有 n?1 ②. 由 2 2 a ? an ? an ? an?1 ,即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? an ? an?1 .∵ an ? 0 ,∴ an?1 ? an 与 ②-①得 n?1
【解析】 由

an ? an?1 同号.由 a2 ? a1 ? 5 ? 3 ? 0 ,易知, an ? an?1 ? 0 ,即 an ? an?1 ,由此可知数列 {an }
单调递减,故选 A.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

1 13. 【答案】 2 ?
【 解 析 】 由 题 意 知 f (? x) ? f ( x) ? (9
?x

? 1)? 9? kx ? (9x ? 1)? 9kx 对 于 x ? R 恒 成 立 , 则 由

1 ?1 1 9x ? 92 kx k?? x 2 kx ?x (2 k ?1) x 9 ?1 ? 1 ,于是由 2k ? 1 ? 0 ,得 2. , 9 ? 9 ,即 9 14. 【答案】 (??, ?3) ? (0, ??)

t ?1
【解析】因为直线与圆相切 ,所以
2

1? k

2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t
.又把直线方程代入抛物线方
2 2

程并整理得 x ? 4kx ? 4t ? 0 ,于是由 ? ? 16k ? 16t ? 16(t ? 2t ) ? 16t ? 0 ,得 t ? 0 或

t ? ?3 .
1 15. 【答案】 2
【解析】作出满足不等式的平面区域,如图所示,当直线 3x ? y ? M ? 0 经过点 A(?1, 2) 时目 标函数 M ? 3x ? y 取得最小值-1. 又由平面区域知 ?1 ? x ? 3 , 则函数

1 7 N ? ( )x ? 2 2 在 x ? ?1

3 3 1 ?1 ? ( ? ) ? 2 2. 时, N 取得最大值 2 ,由此可知 M ? N 的最小值为 ?

1 6. 【答案】 a ? ?1

? 【 解 析 】 由 f (x )

g ( x) ?

2 2s i x ? n

a

0 x? 2 a s? xi n, 即0 2 s 2 ix n? a s ? xi n . 1 = 0 , 得 c o s 设 2 s ? xi令 nt ? s x) ? 2t ? a t ? 1 . i n1 x , , 则 g( 考察 x ? (0, 2? ) 的函数 g ( x)

2 的零点个数,即如下图所示为 t ? sin x , x ? (0, 2? ) 的图象,易知: (1)方程 2t ? at ? 1 ? 0 的

一 个 根 为 1 , 另 一 个 根 为 (?1, 0) 时 , g ( x) 在 (0, 2? ) 内 有 三 个 零 点 , 此 时

?2 ? 1 ?a ?1 ? 1 ? 0 ? 2 2 a ? (? 1 )? 1 ? 0 a ? 1; ?2 ? (? 1 ) ? ,解得 (1)方程 2t ? at ? 1 ? 0 的一个根为-1,另一个根

?2 ? (?1) 2 ? a ? (?1) ? 1 ? 0 ? (0,1) g ( x ) (0, 2 ? ) 为 时, 在 内有三个零点,此时 ?2 ?1 ? a ?1 ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 .综 9 ?3 x? a s i n x在 (0, 2? ) 内 有 3 个 解 . 再 由 3 上 可 知 当 a ? ?1 时 , f ( x) ? cos 2 可知, n ? 2 ? 3 ? 6 .综上可知 a ? ?1 , n ? 6 .

三、解答题 ( 第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题为选考题,考生根 据要求作答,本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. 【答案】 (1) 120? ; ( 2)

(4, 2 ?

4 3 ] 3 .

cos A sin A ?? 2sin B ? sin C , 【解析】 (1)由正弦定理,得 cos C ∴ 2 cos A sin B ? cos A sin C ? sin A cos C ? 0 ,则 2cos A sin B ? sin( A ? C ) ? 0 .
∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin( A ? C ) ? sin B ,∴ 2cos A sin B ? sin B ? 0 . ∵ sin B ? 0 ,∴

cos A ? ?

1 2 ,∴ A ? 120? .?????5 分

[来源:Zxxk.Com]

b c a 4 3 ? ? ? 3 ,?????6 分 (2)由正弦定理,得 sin B sin C sin A 4 3 4 3 b?c ? (sin B ? sin C ) ? [sin B ? sin(60? ? B)] 3 3 ∴

4 3 (sin B ? sin 60? cos B ? cos 60? sin B) = 3 ?????8 分
4 3 1 3 4 3 ( sin B ? cos B) ? sin( B ? 60?) 2 3 = 3 2 .?????9 分
∵ A ? 120? ,∴ B ? (0?, 60?) ,∴ B ? 60?? (60?,120?) ,∴

sin( B ? 60?) ? (

3 ,1] 2 ,

4 3 4 3 ] a ? b ? c ? (4, 2 ? ] 3 ,故 ?ABC 的周长 3 .?????12 分 ∴ 121 18. 【答案】 (1) 140 ; (2)分布列见解析; 0.75 . b ? c ? (2,
【解析】 (1)设

Ai 表示所抽取 3 名中有 i 名新生儿评分不低于 9 分,至多有 1 名评分不低于 9

分记为事件 A ,则
3 1 2 C12 C4 C 121 P( A)=P( A0 ) ? P( A1 )= 3 ? 3 12 = C16 C16 140 .?????5 分

4 1 = (2) 由表格数据知, 从本本市年度新生儿中任选 1 名评分不低于 9 分的概率为 16 4 , ???
6分 则由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3.

3 27 P ( X =0)=( )3 = 4 64 ; 1 1 3 2 27 P( X =1)=C1 3( ) ( ) = 4 4 64 ; 9 2 1 2 3 1 P( X =2)=C3 ( ) ( )= 4 4 64 ; 1 3 1 P( X =3)=C3 3( ) = 4 64 .?????9 分 所以 X 的分布列为
X
0 1 2 3

P

27 64

27 64

9 64

1 64
?????10 分

E (X)=0 ?
由表格得

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? =0.75 64 64 64 64 .

1 E (X)=3 ? =0.75 4 (或 )?????12 分

221 19. 【答案】 (1)见解析; (2) 17 . ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , 【解析】 (1)∵在直三棱柱
又∵ BC ? 平面 ABC ,∴

AA1 ? BC .????????2 分

1DE , DE ? 平面 ADE ,∴ AF ? DE . 又∵ AF ? 平面 A

又∵ D, E 分别为 BB1 和 CC1 的中点,∴ DE ? BC ,∴ AF ? BC .????????4 分

AA1 ? 平面 AA1B1B , AF ? 平面 AA1B1B ,且 AA1 ? AF ? A , AA B B ∴ BC ? 平面 1 1 .
而 又∵

A1D ? 平面 AA1B1B ,∴ BC ? A1D .??? ?????5 分

AA B B AA B B (2)由(1)知 BC ? 平面 1 1 , AB ? 平面 1 1 ,从而 BC ? AB ,如图,以 B 为原
点建立空间直角坐标系 B ? xyz .????????6 分

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

A B ? B1C1 ? DE ? 3 , ∵ AB ? BC ? 3 ,∴ 1 1
2 2 Rt?A1B1D ? Rt ?C1DE ,知 C1D ? 13 ,∴ C1 E ? C1 D ? DE ? 2 , ???? ? ???? ? C (3,0, 4) A (0,3, 4) DA ? (0,3, 2) DC D (0,0, 2) E (3, 0, 2) 1 1 ? (3,0, 2) , 则 , , 1 , 1 , , ??? ? DE ? (3,0,0) .????????7 分

则由

A1DC1 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z) ,则 ?? ? ???? ? ? ?n 1 ?DA1 ? 0 ?3 y ? 2 z ? 0 ? ?? ? ?? ???? ? n ? DC ? 0 n 3 x ? 2 z ? 0 ? ? 1 1 z ? 3 由 ,得 ? ,取 ,可得 1 ? (?2, ?2,3) .????????9 分
设平面 设平面

A1DE 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z) ,则

?? ? ???? ? ? ? n 2 ?DA1 ? 0 ?3 y ? 2 z ? 0 ? ???? ?? ? ? ?? ? n ? DE ? 0 n 3 x ? 0 ? ? 2 z ? 3 ? 由 ,得 ,取 ,可得 2 ? (0, ?2,3) ,????????11 分 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 221 cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? 17 n1 n2
∴ ,

221 P ? A B ? C 1 ∴二面角 平面角的余弦值是 17 .????????12 分 2 2 x y ? ?1 2 20. 【答案】 (1) 4 ; (2) [ 2, 3] .
?4 2 b? ??? ? 4 2 b P? , ? ??? ? ? ? FP ?( ? c, ) 3 3 F ? c,0? Q ? 0, b? FQ ? ( ? c , b ) ? ? 3 3 , 【解析】 (1)因为 , , , ,

4 2 b ??? ? ??? ? c2 ? c? ?0 FQ ? FP ? 0 3 3 由题设可知 ,则
2

2

①????????2 分 ②

32 b ? 2 ?1 2 2 2 2 2 9b 又点 P 在椭圆 C 上,∴ 9a ,解得 a ? 4 ,所以 b ? c ? a ? 4 2 2 ①②联立解得, c ? 2 , b ? 2 , x2 y 2 ? ?1 2 故所求椭圆的方程为 4 .????????5 分 (x , y ) (2)设 A, B, M 三点的坐标分别为 1 1 , ( x2 , y2 ) , ( x0 , y0 ) ,
? x12 ? 2 y12 ? 4 (1) ? ? 2 2 ? x2 ? 2 y2 ? 4 (2) ,则 由 A, B 两点在椭圆 C 上,则 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 由(1)-(2) ,得 1

(3) .

? x1 ? x2 ? x0 (4) ? y ? y2 ? y0 (5) . 由线段 OM 的 中点与线段 AB 的中点重合,则 ? 1 y ?y k? 2 1 x2 ? x1 ,即 y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 ) 又 (6)???? ????8 分
把(4) (5) (6)代入(3)整理,得

x0 ? ?2ky0 ,

? ? x0 ? ?2ky0 2 2 ? 2 2 2 2 y0 ? 2 x0 ? 2 y0 ?4 ? x ? 4 ? 2 y ? 0 , 2k ? 1 , 于是由 ,得 0 2 2 2 2 | OM |2 ? x0 ? y0 ? 4 ? y0 ? 4? 2 2k ? 1 .????????10 分 所以
因为

| k |?

2 2 1? 2 ?2 2 2k ? 1 2 ,所以 1 ? 2k ? 1 ? 2 ,有 ,

2 所以 2 ?| OM | ? 3 ,即 | OM | 的取值范围为 [ 2, 3] .????????12 分

21. 【答案】 (1) e ; (2)见解析.

f ?( x) ?
【解析】 (1)因 为

1, e ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,其最小值为 f (1) ? a ? 1 ,这与函数在 ? ? 上
3 的最小值是 2 相矛盾; ②当 1 ? a ? e 时,函数 f ( x ) 在 [1, a ) 上有 f ?( x) ? 0 ,单调递减,在 ( a , e] 上有 f ?( x) ? 0 ,单
调递增, ∴函数 f ( x ) 的最小值为

x?a x 2 ,且 x ??1, e? ,则

f (a) ? ln a ? 1 ?

3 2 ,得 a ? e .

1, e ③当 a ? e 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? ? 上单调递减,其最小值为
3 最小值是 2 相矛盾.
综上所述, a 的值为 e .????????5 分

f (e ) ? 1 ?

a ?2 e ,与

F ( x) e ?1 F ( x) 2e x ?1 ? ? x ?1 xe x ? 1 ,即证 e ? 1 xe x ? 1 ,????????6 分 (2)要证 2e 1 ln x 1 1 1 ? ln x x ? ln x F ( x) ? 1 ? ? ln x ? F ?( x) ? ? 2 ? ? ? x x , x x x2 x 2 ,????7 分 当 a ? 1 时, 1 x ?1 ? x) ?( ? 1? ? (x) ? x ? ln x ,则 x x , 令? 当 x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 递增;当 0 ? x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 递减,

? ∴ ? ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极小值,即为最小值,即 ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 ,

(0, ? ?) ∴ F ( x) 在 上是增函数,∴当 x ? 1 时, F ( x) 为增函数,????9 分
F ( x) 2 ? 故 F ( x) ? F (1) ? 2 ,故 e ? 1 e ? 1 .
x ?1

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e ( xe ? 1) ? ( xe x ? 1)?e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) 2e h?( x) ? 2? ? x ( xe x ? 1)2 ( xe x ? 1)2 .????10 分 令 h( x) ? xe ? 1 ,则 x ( 1, ? ?) ∵ x ? 1 , ∴ 1 ? e ? 0 ,∴ h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 上是减函数,
x ?1 x

∴ x ? 1 时,

h( x) ? h(1) ?

F ( x) 2 F ( x) 2e x ?1 2 ? ? h( x ) ? x e ? 1 ,所以 e ? 1 e ? 1 ,即 e ? 1 xe ? 1 ,

F ( x) e ?1 ? x x ?1 xe ? 1 .????????12 分 所以 2e
请从下面所给的 22 , 2 3 ,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. 【答案】 (1)见解析; (2)AD=2. 【解析】 (1)由题意知 AB 为圆的直径,则 AC ? BC . 又∵ G 为 BF 中点,∴ GF ? GC , ?GFC ? ?GCF .????2 分 由 CE ? AB ,知

2 , ∴ ?GCF ? ?ABC ,则 Rt ?ADF ? Rt ?ACB ,

?GCF ?

?

? ?CAE

?ABC ?

?
2

? ?CAE



? ? ∴ ?DAC ? ?BAC ,∴ BC ? CD ,即 BC ? CD .????????4 分
(2)∵ A, B, C , D 四点共圆,所以 ?HDC ? ?ABC , 又∵ CH 为 O 的切线,∴ ?DCH ? ?DAC ? ?BAC ,????6 分

BC AB ? 2 ,且 DH CD .????7 分 ∴ Rt ?CDH ? RtABC ,∴ 由(1)知 BC ? CD ,且 AB ? 4 , DH ? 1 , ?DHC ?
[来源:学科网 ZXXK]

?

∴ CD ? 2 , CH ? CD ? DH ? 3 .????8 分
2 2

( AD ? DH ) , 由切割线定理,得 HC ? HD?AH ? HD?
2

( 3)2 ? 1? (1 ? AD) ,解得 AD ? 2 .????????10 分
5 23. 【答案】 (1) ? ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 ; (2) 2 或 15. 【解析】 (1)直线 l 的参数方程化为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 6=0 ,则
2

? sin ? ? y , 由 ? cos ? ? x , 得直线的直角坐标方程为 3x ? 4 y ? 6=0 . ??????????
2分

? x ? 3 ? 5cos ? , ? 2 2 2 2 由 ? y ? 5 ? 5sin ? . ,消去参数 ? ,得 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 25 ,即 x ? y ? 6 x ? 10 y ? 9 ? 0
(*) , 由

? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y , 代 入 ( * ) 可 得 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? 2 ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 .??????????5 分
| 3? 3 ? 4 ? 5 ? t | =5


(2)设直线 l ? : 3x ? 4 y ? t =0 与曲线 C 相切. 由(1)知曲线 C 的圆心为 (3,5) ,半径为 5,则 解得 t = ? 4 或 t = ? 54 ,??????????7 分 所以 l ? 的方程为 3x ? 4 y ? 4=0 或 3x ? 4 y ? 54=0 ,即

32 ? 42

3 3 27 y ? ? x ?1 y ? ? x ? 4 4 2 . 或

3 3 y ?? x? 4 2, 又将直线 l 的方程化为 3 5 27 3 m =1 ? ( ? ) ? m= ? (? ) ? 15 2 2或 2 2 所以 .??????????10 分 24. 【答案】 (1)6; (2) (??, 4) .

1 ,即 ? 2x ? m ? ?1, 2x ? m ? 1,所以 【解析】 (1)由 g ( x) ? ?
2分

?m ? 1 ?m ? 1 ?x? 2 2 .??

?m ? 1 ?m ? 1 ? ?3 ? 2 ,解得 5 ? m ? 7 . ? 不等式的整数解为-3,则 2 又不等式仅有一个整数解-3,∴ m ? 6 .????????4 分 1 1 y ? g ( x) f ( x) ? g ( x) ? 0 2 2 (2)因为 y ? f ( x) 的图象恒在函数 的上方,故 ,

所以 a ? 2 x ?1 ? x ? 3 对任意 x ? R 恒成立.????????5 分

??3x ? 1 x ? ?3 ? h( x) ? ?5 ? x ?3 ? x ?1 ?3x ? 1 x ?1 h( x) ? 2 x ?1 ? x ? 3 ? 设 ,则 ?????7 分 h ( x ) h ( x ) 作出 图象得出当 x ? 1 时, 取得最小值 4,
故 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 的图象恒在函数

y?

1 g ( x) 2 的上方,

即实数 a 的取值范围是 (??, 4) .????????10 分


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