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2012年全国高中数学联合竞赛辽宁省预赛试题 Word版含答案


2012 年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. (B). 2. (C). 3. (C) . 4. (A). 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 16? . 8. 5. (D). 6. (A) .

1007 . 3018

9.

n

?1 . 10. (??, ?2) (?1,1) . 11. 2

2.

12. 3 .

三.解答题 13.(本小题满分 20 分) 证明:假设 a ? b ,则 13a ? 13b ,5a ? 5b . 由 3a ? 13b ? 17a , 得 3a ? 13a ? 17a , 即 ?
x x

? 3 ? ? 13 ? ? ? ? ? ? 1 ,…………… ………(5 分) ? 17 ? ? 17 ?

a

a

3 13 16 ? 3 ? ? 13 ? ? ? ? 1 ,且 f (a) ? 1 ? f (1) , 由于 f ( x) ? ? ? ? ? ? 单调递减, f (1) ? 17 17 17 ? 17 ? ? 17 ?
故 a ?1.
b b
a b b
b b b

…………………………(10 分)

?5? ?7? 由 5 ? 7 ? 11 , 得 5 ? 7 ? 11 ,即 ? ? ? ? ? ? 1 .…………………………(15 分) ? 11 ? ? 11 ?
由于 g ( x) ? ?

5 7 12 ?5? ?7? ? ? ? ? 单调递减, g (1) ? 11 ? 11 ? 11 ? 1, g (b) ? 1 ? g (1) , ? 11 ? ? 11 ?
……………………(20 分)

x

x

故 b ? 1. 因此, a ? 1 ? b ,与 a ? b 矛盾,所以, a ? b . 14. (本小题满分 20 分) 解:由题意可设椭圆方程为

[来源:Z.xx.k.Com]

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) ,

y
[来源:学|科|网]

P

?c 3 ? ? ?a ? 2 ?a 2 由 ? 得 ? , ?b ? 1 ? 2 ? 1 ?1 ? ? a 2 2b 2
所以,椭圆方程为

O Q

x

x2 4

? y2 ? 1.

……………………(5 分 )

由题意可知,直线 l 的斜率存在且不 为 0 ,故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m( m ? 0) ,

? y ? kx ? m P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 满足 ? 2 , 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
消去 y 得 (1 ? 4k
2

) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ?1) ? 0 .

? ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,
且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2



y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 . ……………(10 分)
因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,

[来源:Zxxk.Com]

所以,

y1 y2 x1 x2

?

?

k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2
2

? k 2 ,即

?8k 2 m2 1 ? 4k
2

? m2 ? 0 ,
……………………(15 分)

又 m ? 0 ,所以 k ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2
2
2

由于直线 OQ 的斜率存在,且 ? ? 0 ,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 . 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S?OPQ ?

1 1 m d PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 2 2 2 1? k

1 m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? m 2 (2 ? m 2 ) , 2 所以 S?OPQ 的取值范围为 (0,1) . ?
15.(本 小题满分 25 分)

……………………(20 分)

证明:连结 OP, OA, OC , EP ,显然 O, P, N 三点共线,且 OP ? AB , 所以 N 是 AB 中点,由 M 是 PA 的中点,故 MN ? MP ? MA ,

MN

PQ .

……………………(5 分)

PM 2 ? AM 2 ? ME ? MC ,
所以

?MPE ∽ ?MCP , ?MCP ? ?MPE .
……………………(10 分)

[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网 Z+X+X+K]

又 O, A, P, B 四点共圆,

ON ? PN ? AN ? BN ? CN ? EN ,
故 O, C , P, E 四点 共圆, ?OCN ? ?EPN . ……………………(15 分)

?PAO 是直角三角形 ,
有 PN ? PO ? PA ? PD ? PC ,
2

于 是 C , D, N , O 四点共圆.

……………………(20 分)

?QNP ? ?PCO ? ?MCP ? ?MCO ? ?MPE ? ?EPN ? ?APN ,
所以 M

NPQ ,四边形 MNQP 是菱形.

……… ……………(25 分)

16.(本小题满分 25 分 ) (1)解法一:由 a1 ? 1, 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 (n ? 1, n ? N + ) 得
2

5 21 85 a2 ? , a3 ? , a4 ? , 2 4 8
由 5 ? 1 ? 4, 21 ? 1 ? 4 ? 42 ,85 ? 1 ? 4 ? 42 ? 43 ,猜想

an ?

1 ? 4 ? 42 ? ? 4n ?1 4n ? 1 2 n 1 ? ? (2 ? n ) . 2n?1 3 ? 2n ?1 3 2

……………………(5 分)

2 1 (2 ? ) ? 1 显然成立; 3 2 2 k 1 设当 n ? k 时, ak ? (2 ? k ) 成立,当 n ? k ? 1 时, 3 2
证明:当 n ? 1 时, a1 ?
2 5ak ? 9ak ? 16 ?

10 k 1 1 10 1 1 (2 ? k ) ? 4(2k ? k ) 2 ? 16 ? (2k ? k ) ? 2(2k ? k ) 3 2 2 3 2 2

16 k 4 1 8 k ?1 1 ? 2 ? ? k ? (2 ? k ?1 ) ? 4a k ?1 成立, 3 3 2 3 2 2 n 1 所以,通项公式为 an ? (2 ? n ) . 3 2
= 解法二:由 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 得
2

……………………(10 分)

5 5 2 2 2 2 an an ?1an ? 1 ,故 an ? an an an ?1 ? 1 ( n ? 1 ) ,两式相减得 ?1 ? an ? ?1 ? 2 2

? an?1 ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?1 ?
?
故 an ?1 ?

5 ? an ? ? 0 ,又 ?an ?为递增数列, 2 ?
……………………(5 分)

5 an ? an ?1 ? 0 (n ? 1) . 2 5 1 2 特征方程为 x ? x ? 1 ? 0 ,特征根为 x1 ? 2, x2 ? , 2 2 5 n n 所以 an ? ?1 x1 ? ? 2 x2 ,将 a1 ? 1, a2 ? 代入,得 2

2 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 1 1 2 ? ? ? ? 3 2 ,解之得 ? , ? 1 5 2 ? 4? ? ? ? ? ? ?? 1 2 2 ? ? ? 4 2 3 ?

通项公式为 an ?

2? n 1 ? ?2 ? n ? . 3? 2 ?

……………………(10 分)

(2)设 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? , a1 a2 a3 an

由 2n ?

1 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? n 2 2 ? 2 ? ? ?
1 1 1 ? ? ? n ? 2? , an 2 an ?1

? n ? 2? 得
……………………(15 分)

an ? 2an?1 ,

Sn ?

1 1 1 1 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? a1 a2 a3 an a1 2 ? a1 a2 a3 an?1 ?

?

1 1? 1? 1 1 ? ? Sn ? ? ? ? ? S n . a1 2 ? an ? a1 2
2 ? 2. a1
……………………(25 分)

所以 Sn ?


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