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利用导数求单调性与已知单调性求参数范围


利用导数求单调性与已知单调性求参数范围,天差地 别,你了解了吗?
前面小数老师已经讲过两道了,分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒 成立问题”, 大家还记得吗?今天又是一道导数题, 小数老师带大家来看第三种常考的类型, “已知函数的单调性, 求参数的取值范围”, 大家往下看吧! 还是建议同学自己先试着做一下!

这道导数题,函数解析式看着不是很复杂,第(1)问求函数的单调区间与最值,也不需要 讨论,因为参数 k 的值已知,按照我们以前说的方法求解即可;第(2)问已知函数的单调 性,求参数取值范围,是一个容易出错的点,下面小数老师重点与大家一起分析下! 回顾 1、 对于函数 y=f(x), 若导数 f’(x)在区间 M 上大于 0,则函数 y=f(x)在区间 M 上单调递增; 若导数 f’(x)在区间 M 上小于 0,则函数 y=f(x)在区间 M 上单调递减。 2、 对于函数 y=f(x), 若函数 y=f(x)在区间 M 上单调递增,则导函数 f’(x)在区间 M 上大于等于 0; 若函数 y=f(x)在区间 M 上单调递减,则导函数 f’(x)在区间 M 上小于等于 0; 3、 关于含参不等式的恒成立问题,你还记得怎么做吗? 小数老师再提醒下:首先先看能否参变量分离,如果能分离是最好的,如果不能分离,就按 照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈! 4、 关于函数单调性的说法,并不仅仅是像题目中直接告诉你哦,你看到的也有可能是这 样的, 还有可能是这样的:

这两种情况,都是告诉你函数 y=f(x)在区间[1,2] 上单调递增哦。好了,接下来跟小数老师一起来解题吧!

解析

(1) 当 k=0 时, x f’(x) f(x) (0,1) + 递增 1 0 极大值

所以 (1,+ ∞) 递减

所以 y=f(x)的最大值是 f(1)=2. 注意:求函数的单调区间之前,千万别忘了函数的定义域哈! (2) 函数 y=f(x)在区间[1,2]上单调,(未说明单调增还是单调减,所以此处应该有分类讨 论) ① 若函数 y=f(x)在区间[1,2]上单调递增,根据回顾中的,我们可以知道导数 f’(x) ≥0,x∈ [1,2],

② 若函数 y=f(x)在区间[1,2]上单调递减, 根据回顾中的,我们可以知道导数 f’(x) ≤0,x∈[1,2],

综上所述, 当 k≥0 时,函数 y=f(x)在区间[1,2]上单调递减; 当 k≤-3 时,函数 y=f(x)在区间[1,2]上单调递增。 总结 到这道题为止, 小数老师已经把导数题里面最基础最常考的三种类型告诉大家了, 其他的题 型都是在这三个题型的基础上变化而来, 所以, 同学们务必要找一些同类题型多多练习一下 哈!


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