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福州高级中学2014级数学培优资料 第6讲 高一第一学期期末复习题——必修1


高一第一学期期末复习题——必修 1
一、选择题
1.已知集合 M ? {?11} N ? ? x | ,, A. {?11} , B. {0}

? ?

1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? ( 2 ? C. {?1} D. {?1 0} ,


/>? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ? ??1,0? . ? 2 ? 2.给出下列三个等式: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),f ( x ? y) ? f ( x) f ( y ) , f ( x) ? f ( y ) .下列函数中不满足其中任何一个等式的是( ) f ( x ? y) ? 1 ? f ( x) f ( y ) x A. f ( x) ? 3 B. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? log 2 x D. f ( x) ? tan x 【答案】:B【分析】 :依据指、对数函数的性质可以发现 A 满足 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ) ? f ( y) C 满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,而 D 满足 f ( x ? y ) ? ,B 不满足其中任何一 1 ? f ( x) f ( y )
【答案】:C【分析】 :求 N ? ? x 个等式.

?1? 3.设函数 y ? x 与 y ? ? ? ?2? A. (0, B. (1, 1) 2)
3

x?2

的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是( C. (2, 3)
3 2? x



D. (3, 4)

【答案】 【试题分析】 g ( x) ? x ? 2 B. 令

, 可求得:g (0) ? 0, g (1) ? 0, g (2) ? 0, g (3) ? 0,

g (4) ? 0 .易知函数 g ( x) 的零点所在区间为 (1, . 2) 1 ? ? ? 4.设 a ? ??1,1, ,3? ,则使函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为( 2 ? ? (A) 1,3 (B) ?1,1 (C) ?1,3 (D) ?1,1,3
【答案】:A【分析】 :观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项. 5.设集合 A ? ? x | x ? ?1?,B ? ? x | ?2 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. ? x | x ? ?2? C. ? x | ?2 ? x ? ?1? B. x | x ? ?1 )



?

?

D. ? x | ?1 ? x ? 2?

【答案】 A : 【分析】 由 A ? ? x | x ? ?1?,B ? ? x | ?2 ? x ? 2? ,可得 A ? B ? ? x | x ? ?2? . : 6.已知集合 M ? {x |1 ? x ? 0} , N ? {x |

1 ? 0} ,则 M ? N =( 1? x



A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1} C.{x|-1<x<1} D.{x |x≥-1} 【解析】 M ? (?1, ??), N ? (??,1) ,故 M ? N ? (?1,1) ,选(C). 3 7.若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是( ) A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数

【解析】函数 y ? f (? x) ? ? x 单调递减且为奇函数,选(B). 8.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到 达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是( )
3

【解析】依题意的关键字眼“以80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C). 9.已知函数 f ( x) ?
1 1? x

的定义域为 M,g(x)= ln(1 ? x) 的定义域为 N,则 M∩N=(



(A) {x | x ? ?1} (B) {x | x ? 1} (C) {x | ?1 ? x ? 1} (D) ? 答案:C; 10.设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b ∈S,对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应).若对于任意的 a,b∈ S,有 a*( b * a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( ) . (A)( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a (B)b*( b * b)=b (C)( a*b) * [ b*( a * b)] =b 答案:A 解:用 b 代替题目给定的运算式中的 a 同时用 a 代替题目给定的运算式中的 b, 我们不难知道 B 是正确的, b 代替题目给定的运算式中的 a 我们又可以导出选项 C 的结 用 论,而用 a*b 代替题目给定的运算式中的 a 我们也能得到 D 是正确的。选 A。

, 11.满足 M ? ?a1, a2, a3, a4? ,且 M ? ?a1, a2, a3? ? ? a1 a2? 的集合 M 的个数是

( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解 析 : 本 小 题 主 要 考 查 集 合 子 集 的 概 念 及 交 集 运 算 . 集 合 M 中 必 含 有 a1 , a2 , 则

M ? ?a1 , a2 ? 或 M ? ?a1 , a2 , a4 ? .选 B.

?1 ? x 2, x ≤ 1, ? 12.设函数 f ( x ) ? ? 2 则 ? x ? x ? 2,x ? 1, ?
A.

? 1 ? f? ? 的值为( ? f (2) ?
D. 18



15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

解析:本小题主要考查分段函数问题.正确利用分段函数来进行分段求值.

? 1 ? 1 1 15 ? f (2) ? 4, ? f ? ? ? f ( ) ? 1 ? ? . 选 A. 4 16 16 ? f (2) ? x?5 13.不等式 ) ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2 1? ? ? 1 ? ?1 ? ? 1 ? A. ? ?3, ? B. ? ? ,? C. ? , ? ?1, D. ? ? , ? ?1, 3 1? 3? 1? 3? 2? ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? 解析:本小题主要考查分式不等式的解法.易知 x ? 1 排除 B;由 x ? 0 符合可排除 C; 由 x ? 3 排除 A, 故选 D.也可用分式不等式的解法,将 2 移到左边直接求解. x 14.已知函数 f ( x) ? log a (2 ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,则 a,b 满足的关系
是( )
?1 ?1 B. 0 ? b ? a ? 1 ? b ?1 y ?1 ?1 ?1 C. 0 ? b ? a ? 1 D. 0 ? a ? b ? 1 ?1 解析:由图易得 a ? 1, ? 0 ? a ? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? logOb ? 0, a 1 ? ? ? ? ?l o ag 1 ? l ob ? lao g ?1 0 0 ,a ?1 ? b ? 1 .选 A. ?1 g a a 15.设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值为(

A. 0 ? a

x



A.3

B.2

C.1

D. ?1

解: x ? 1 、 x ? a 在数轴上表示点 x 到点 ?1 、a 的距离,他们的和 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 关于 x ? 1 对称,因此点 ?1 、 a 关于 x ? 1 对称,所以 a ? 3 (直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦,如取特殊值解也可以) 16.已知集合 M ? x ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , N ? x x ? 1 ? 0 ,则 M ? N ? ( A. (?11) , B. (?2, 1) C. (?2, 1) ?
2

?

?

?

?



D. (1, 2) )

17.已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x) ? 1 (i ? 1, 2,3) 都成立的 x 取值范围是 ( A.(0,

1 ) a1

B. (0,
2

2 ) a1

C. (0,

1 ) a3

D. (0,

2 2 2 【试题解析】 :由 ?1 ? ai x ? ? 1 ,得: 1 ? 2ai x ? ai x ? 1 ,即 x ai x ? 2ai ? 0 ,

?

?

2 ) a3

解之得 0 ? x ?

2 2 ? ai ? 0 ? ,由于 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,故 0 ? x ? ;选B. ai a1

18.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北 京奥运会比赛的运动员}, 集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}.集合 C={参加北京 奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A.A ? B B.B ? C C.A∩B=C D.B∪C=A 【解析】送分题呀!答案为 D.

二、填空题 1.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0

1 2 ? 的最小值为_______. m n 【答案】: 8【分析】 :函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A(?2, ?1) , (?2) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 , 2m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,
上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 1 2 n 4m n 4m ? ? ( ? ) ? (2m ? n) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8. m n m n m n m n
2.设函数 f1 ( x ) ? x 2,f 2 ( x) ? x ?1,f3 ( x) ? x 2 , 则 f1 ( f 2 ( f3 (2007))) ?
2 2 ?1 2 ?1
1 2

1



?1 【分析】 f1 ( f 2 ( f3 (2007))) ? f1 ( f 2 (2007 )) ? f1 ((2007 ) ) ? ((2007 ) ) ? 2007 . :

3. 函数 y ? a 上,则

1? x

(a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0)

1 1 . ? 的最小值为 m n 1? x 【答案】 【分析】 函数 y ? a (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A(1,1) , ? m ? 1? n ?1 ? 0 , :4 : 1 m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,
(方法一) m ? n ? 2 mn ? : (方法二) :

1 1 1 1 1 ? 2, ? ?2 ? ? 2?2 ? 4. mn m n m n

1 1 1 1 n m n m ? ? ( ? ) ? ( m ? n) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4. m n m n m n m n 2 4.当 x ? (1 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ,
2



【答案】 m ? ?5 【分析】 :构造函数: f ( x) ? x ? mx ? 4, x ? [1 2] .由于当 x ? (1 2) 时, , , 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立.则 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,即 1 ? m ? 4 ? 0, 4? 2 ? 4? 0. ???? m
2

解得: m ? ?5 . 5.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a ? 6.设函数 f ( x) ?



【答案】 1【分析】 ? f (1) ? f (?1) ? 2(1 ? a) ? 0,? a ? ?1. ::

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? . x 【答案】 1【分析】 ? f (1) ? f (?1) ? 0 ? 2(1 ? a) ? 0 ? 0,? a ? ?1. ::
7.设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? x ? 3, 则 f (?2) =_____;若 f ( x) ? 5 ,则 x 的取值范围是________; 答案:6; [?1,1] 8.已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (2 ) 的值等于
x

8



解析:本小题主要考查对数函数问题.? f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ? 4 log 2 3 ? 233,
x x

? f ( x) ? 4log 2 x ? 233, ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) ? 8 ? 233 ? 4(log 2 2 ? 2log 2 2 ? 3log 2 2 ? ? ? 8log 2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008.
9.若不等式 3 x ? b ? 4 的解集中的整数有且仅有 1 2,,则 b 的取值范围为 ,3 .

b?4 ? ?0 ? 3 ? 1 b?4 b?4 ? 解: 3 x ? b ? 4 ? ,? ? ? 5 ? b ? 7 即范围为 (5, 7) ?x? 3 3 ?3 ? b ? 4 ? 4 ? 3 ? 2 10. A ? ? x ( x ? 1) ? 3 x ? 7? , 则 A ? Z 的元素个数为 .
【解析】 ( x ? 1) ? 3x ? 7 得 x 2 ? 5 x ? 8 ? 0 , 由 因为 ? ? 0 , 所以 A ? ? , 因此 A ? Z ? ? , 元素的个数为 0.答案 0
2

11. 已知 a ?R , 若关于 x 的方程 x ? x ? a ?
2

1 则 ? a ? 0 有实根, a 的取值范围是 4



1 1 ? a ? ? x 2 ? x ? [0, ] ,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行 4 4 ? 1? 求解)可得实数 a 的取值范围为 ? 0, ? ? 4? 三、解答题 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . y (I)解不等式 f ( x) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x) 的最小值.
【解析】方程即 a ? 解: (Ⅰ)令 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ,则

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

y?2

O 1 ? 2
?5 ?3

4
? ?

x

2 作出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) ? ? 所以 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, 7) ? ? , x ? .
(Ⅱ)由函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图像可知, 当x??

?5 ?3

? ?

1 9 时, y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 取得最小值 ? . 2 2

2. 已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求 a 的 取值范围. 解:当 a=0 时,函数为 f (x)=2x -3,其零点 x=

3 不在区间[-1,1]上. 2

当 a≠0 时,函数 f (x) 在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,则 f (?1) f (1) ? (a ? 5)(a ?1) ? 0 ,解得 1≤a≤5

②函数在区间[─1,1]上有两个零点,则

a?0 a?0 ? ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? ? 8a 2 ? 24 a ? 4 ? 0 ? ? ? ??1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 2a ?1 ? ? ?1 ?1 ? ? ?1 或? (即 ? ) ? 2a 2a ? ? ?af ?1? ? 0 f ?1? ? 0 f ?1? ? 0 ? ? ? ? ? ?af ? ?1? ? 0 ? f ? ?1? ? 0 f ? ?1? ? 0 ? ?
解得 a ? 5 或 a ?

?3? 7 2 ?3 ? 7 ]∪[1, +∞) 2

综上所述,实数 a 的取值范围为(-∞,

另解:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0, ∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解 ? (2 x2 ? 1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解
1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 在[-1,1]上有解,问题转化为求函数 y ? [-1,1]上的值域; ? a 3 ? 2x 3 ? 2x 1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 设 t=3-2x,x∈[-1,1],则 2x ? 3 ? t ,t∈[1,5], y ? ? ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t 2 7 t ?7 设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ? 2 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, t t g '(t ) >0,此函数 g(t)单调递增,∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] ,∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在 ?

[-1,1]上有解?

3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? . 2 a
x ? p1

3.已知函数 f1 ( x) ? 3

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x ? p2

( x ? R, p1 , p2 为常数) .函数 f ( x) 定义为:

对每个给定的实数 x , f ( x ) ? ?

? f1 ( x ), 若f1 ( x ) ? f 2 ( x ) ? f 2 ( x ), 若f1 ( x ) ? f 2 ( x )

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件(用 p1 , p2 表示) ; (2)设 a, b 是两个实数,满足 a ? b ,且 p1 , p2 ? (a, b) .若 f (a) ? f (b) ,求证:函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度之和为

b?a (闭区间 [m, n] 的长度定义为 n ? m ) 2

解: (1)由 f ( x) 的定义可知, f ( x) ? f1 ( x) (对所有实数 x )等价于 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? (对 所有实数 x )这又等价于 3
x ? p1

? 2? 3

x ? p2



即3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2 ? 2 对所有实数 x 均成立.

(*)

由于 x ? p1 ? x ? p2 ? ( x ? p1 ) ? ( x ? p2 ) ? p1 ? p2 ( x ? R) 的最大值为 p1 ? p2 , 故(*)等价于 3
p1 ? p2

? 2 ,即 p1 ? p2 ? log3 2 ,这就是所求的充分必要条件

(2)分两种情形讨论 (i)当 p1 ? p2 ? log3 2 时,由(1)知 f ( x) ? f1 ( x) (对所有实数 x ? [a, b] ) 则由 f ? a ? ? f

? b ? 及 a ? p 1 ? b 易知 p1 ?

a?b , 2

y (a,f(a) ) (b,f(b) )

?3 p1 ? x , x ? p1 ? 再由 f1 ( x ) ? ? x ? p 的单调性可知, ?3 1 , x ? p1 ? 函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度 a?b b?a 为b? (参见示意图 1) ? 2 2

O

图1

x

(ii) p1 ? p2 ? log3 2 时,不妨设 p1 ? p 2, ,则 p2 ? p 1 ? log3 2 ,于是 当 x ? p1 时,有 f1 ( x) ? 3
p1 ? x

? 3 p2 ? x ? f 2 ( x) ,从而 f ( x) ? f1 ( x) ;

当 x ? p2 时,有 f1 ( x) ? 3 从而 f ( x) ? f 2 ( x) ;

x ? p1

? 3 p2 ? p1 ? x ? p2 ? 3 p2 ? p1 ? x ? p2 ? 3log3 2 ? x ? p2 ? f 2 ( x) 3 3

当 p1 ? x ? p2 时, f1 ( x) ? 3

x ? p1

,及 f 2 ( x) ? 2 ? 3

p2 ? x

,由方程 3

x ? p1

? 2 ? 3 p2 ? x

解得 f1 ( x)与f 2 ( x) 图象交点的横坐标为

y (a,f(a)) (x0,y0) (b,f(b))

p1 ? p2 1 ⑴ ? log3 2 2 2 1 显然 p1 ? x0 ? p2 ? [( p2 ? p1 ) ? log3 2] ? p2 , 2 这表明 x0 在 p1 与 p2 之间。由⑴易知 x0 ?
? f ( x) , p1 ? x ? x0 f ( x) ? ? 1 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? p2 ? f1 ( x) , a ? x ? x0 综上可知,在区间 [a, b] 上, f ( x ) ? ? ? f 2 ( x) , x0 ? x ? b
O

(p2,2) (p1,1) x 图2 (参见示 意图 2)

故由函数 f1 ( x) 及 f 2 ( x) 的单调性可知, f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度之和为

( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ,由于 f (a) ? f (b) ,即 3 p1 ?a ? 2 ? 3b? p2 ,得 p1 ? p2 ? a ? b ? log3 2
故由⑴、⑵得 ⑵

b?a l o g? 2 ] 3 2 b?a 综合(i) (ii)可知, f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度和为 。 2 4.已知函数 f ( x) ? x ? 8 ? x ? 4 . y ( x0 ? p 1 )? b ? p 2 ? b ? ( ) 1 p[ ? p ? 1 2 2
(Ⅰ)作出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)解不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 .

?4, ? 解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ?2 x ? 12, ? ?4 ?
图像如下:

x ≤ 4, 4 ? x ≤ 8, x ? 8.
y 1 O 1 x

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(Ⅱ)不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 , 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 .由函数 f ( x) 图像可知,原不等式的解集为 (?∞, . 5) 文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


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