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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第4套答案


2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第四套
命题人 蔡子星 孙鹏
一、 我们想用一些匀质的光滑的长度为 l 的木条在桌角搭出一个尽量远的“露台” 。逐

层叠放并不一定是最好的方案。比如图(a)用三个木条拉出了 拉开了

l l l ? ? 的距离。而图(b) 2 4 6

l l ? 的距离。问题用四

根木条,分别采用图(c)和图(d)的方式,可以用四个木 2 2

条最远能拉开多少距离?

图(a)

图(b)

图(c) 【解答】 对于图(c)

图(d)

x 1 ?x 2 令下方物块中心超出边缘距离为 xl ,由于左上两块和右上一块中心恰好在下方物块的
边缘处,因而只需要对整体写力矩平衡方程即可。

1 1 ( ? x)2mg ? xmg ? ( x ? )mg 2 2 1 解得 x ? 8 因而最远距离为 L ? l ? xl ? 1.25l
对于图(d) 即将翘起来的时候发生下图所示状态

假设各种参数如下,假设左边板的右边缘于下板的左边缘间距为 ?1l ,左板右边缘应力 为 N1 ,下板左边缘应力为 N1 ' ;假设右边板的左边缘于下板的右边缘间距为 ? 2l ,右板左

边缘应力为 N 2 ,下板右边缘应力为 N 2 '
1 ? ?1 2 1 ? ?2 2

?1

?2 1 ? ?1 ? ? 2

对于上板受力平衡:

G ? N1 ? N2
对于左板以下板左端点为支点力矩平衡:

1 ( ? ?1 )G ? N1?1 2
对于左板以其右端点为支点力矩平衡:

1 G ? N1 ' ?1 2
对于右板以下板右端点为支点力矩平衡:

1 ( ? ? 2 )G ? N 2 ? 2 2
对于右板以其左端点为支点力矩平衡:

1 G ? N2 ' ?2 2
解得:

1 1 1 1 G ? N1 ' ; ? ? 6; G ? N2 ' ; 2?1 ?1 ? 2 2? 2
对于下板,设下板右端点到底座距离为 d ,以其右端点为支点则有:

0 ? 4Gd ? N1 ' l ? G


l 2

d ?(

1 1 ? )l 8?1 8

最后总伸出的长度为

D ? d ? (1 ? ? 2 )l ? l[

1 9 ? ? ?2 ] 8?1 8

15 1 15 ? 4 2 1 1 9 ? ?2 ] ? l ( ) ? l[ (6 ? ) ? ? ? 2 ] ? l[ ? 8 8? 2 8 8 ?2 8
当且仅当 ? 2 ?

2 时取到,验证得到此时各个量处于合理范围。 4

注:其实上面讨论不严格,有可能在左边木板没有翘起来的时候达到极值,需要用线性规划 严格证明,这里略去。 二、 水波严格说来并不是简单的横波或者纵波, 因为表面的水运动既不是垂直于波速方 向也不是平行于波速方向,而是二者的叠加。水足够深的时候,表面点每个点原地做圆 周运动。设振幅为 A ,波长为 ? ,周期为 T 。 假设 A ? 。跟着波形移动的参考系中看到的就是稳恒流速,波的最高点和最低点的 流速为多少?不考虑表面张力和摩擦损耗,设水密度为 ? ,重力加速度为 g 。考虑能

gT 2 量守恒,证明波长和周期满足关系: ? ? 。 2?

【解答】

u ?v
A
波速为 u ?

u?v
B

?
T

,每个质点的速率大小为 v ? ? A

以波为参照系,在上顶点 A 处速度 vA ? u ? v ;下顶点 B 处速度为 vB ? u ? v 。 对于如图所示管子(把一个质点走过的轨迹作为线,相邻线并成管子) ,考虑单位时间内有 ?m 的水流入管子,同样质量的水流出管子。考虑单位时间内管子内的能量不变,则有(侧 壁不会有能量吞吐) :

1 1 ?mvA2 ? ?mg 2 A ? p0 ?V ? ?mvB 2 ? p0 ?V 2 2
化简得到:

2 gA ? 2uv ?
即: ? ?

? 4?
T T

A

gT 2 2?

三、

空间中有两个线圈电阻可以忽略的线圈 A 、 B ,分别接入可控电流源 I A 和 I B 。初

时 I A ? IB ? 0 。 (1) 保持 I B 不变,将 I A 缓慢的从 0 增加到 I1 ,然后保持 I A 不变,缓慢的将 I B 从 0 增加到 I 2 。此时线圈 A 和线圈 B 的磁通量分别为? A ? L11I1 ? L12 I 2 ,

? B ? L21I1 ? L22 I 2 。求这个过程中电流源做的总功为多少 Wa 等于多少。

(2) 保持 I A 不变,将 I B 缓慢的从 0 增加到 I 2 ,然后保持 I B 不变,缓慢的将 I A 从 0 增加到 I1 。此时线圈的磁通量和(1)中相同,求此过程中电流源做的总功,并由 此证明 L21 ? L12 。 (3) 如图线圈 A 、 B 的半径分别为 r1 、 r2 的圆圈,两个圆共轴,间距 z ?? r 。两个 线圈中分别保持恒定电流 I1 和 I 2 (同向) 。利用(2)中的结论,通过功能原理, 计算两个线圈之前的相互作用力。(提示 y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

)

I1

I2

【解答】 (1) 把电流 I 作为纵轴,把磁通量? 作为横轴,图像中的面积意义为电流源做功。

dW ? ? dQ ?
I

d? dQ ? Id? dt

?
做出两个线圈中的 I ?? 关系:

I1 IA
IB

I2

?
I B L21 I A L11 ? I B L21
总功为:

?
I B L22 I B L22 ? I A L12

Wa ?

1 1 L11I A2 ? L22 I B 2 ? L12 I A I B 2 2 1 1 L11I A2 ? L22 I B 2 ? L21I B I A 2 2

(2) 同理得到总功为

Wb ?

令两者相同,得到:

L21 ? L12

(3) 线圈 1 对 2 产生的磁场大小为

B?

?0 I1 2? r1 r1 (利用 Biot-Savart 公式及小量近似) 4? z 2 z
?0 ? r12? r2 2 I1 ? L21I1 z3 2?

线圈 1 对 2 产生的磁通量

? 21 ?

同理线圈 2 对 1 产生的磁通量为

?0 ? r12? r2 2 I2 ? 12 ? L12 I 2 ? 2? z3
电流强度不变,线圈间距从 z 变化到 z ? dz 的时候 线圈 1 中电流源做功为 dW1 ? I1d? 12 ? ?3

?0 ? r12? r2 2 I1I 2 dz 2? z4

线圈 2 中电流源做功为 dW2 ? I 2 d? 21 ? ?3

?0 ? r12? r2 2 I1I 2 dz z4 2?

?0 ? r12? r2 2 系统总储能变化为 dW ? I1 I 2 dL12 ? ?3 I1I 2 dz 2? z4
则外力总功为 ? Fdz ? dW1 ? dW2 ? dW , 因此相互作用力 F ? ?3

?0 ? r12? r2 2 I1I 2 ,负号代表是吸引力。 2? z4

四、 如图所示,在光滑桌面上有三个洞 ABC ,两两相距 l 。有三个质量为 m 的质点, 各连一根细线,穿过小孔,连接在平面上一个质量为 M 的质点上。
A M B

O
m

C

m m

(1) 初态 M 位于三角形中心处,沿 OA 方向给 M 一个小速度 v0 。求证 M 做简谐振动,并 求出周期。 (2) 初态 M 在 OA 连线上,距离 O 间距 ?x ?? l ,初速度 v0 很小,沿着垂直于 OA 的方向, 求解 M 以后的运动。 (提示 cos(? ? ?? ) ? cos ? ? sin ??? ?

1 cos ? (?? )2 , ?? ?? 1 ; 2

(1 ? x)n ? 1 ? nx ?
【解答】

n(n ? 1) 2 x , x ?? 1 ) 2
l x ? , 3 2

(1) 令 | OM |? x ?? l ,则有 | BM |?| CM |?

vM ? x ; vA ? ? x ; vB ?
A

x x 3x ; vC ? ; ?? ? 2 2 2l

M

O
B

??

??

C

对于 M 牛顿第二定律:

Mx ? FA ? FB cos(60? ? ?? ) ? FC cos(60? ? ?? )
对于 A 牛顿第二定律:

mx ? mg ? FA
对于 B 牛顿第二定律:

?m

x ? mg ? FB 2 x ? mg ? FC 2

对于 C 牛顿第二定律:

?m

整理得到:

3 3 3mg ( M ? m) x ? ? 2 2
所以是简谐振动,角频率 ? ?
2

3 3mg 3 2( M ? m)l 2

(2)在 ABC 平面中

A

??1
M

O
B

?? 2

??3

C

在某时刻 ?MOA ? ? , | OM |? ? ,

| AM |? ? 2 ? (

l 2 l l ? ? 2 sin 2 ? ) ? 2cos ?? (1 ? cos a ) ? ? l / 3 2(l / 3)2 3 3 3

? ? 2 sin 2 (? ? 120?) l 同理 | BM |? ? (1 ? cos(? ? 120?) ) 3 2(l / 3) 2 l/ 3
| CM |?

? ? 2 sin 2 (? ? 240?) l (1 ? cos(a ? 240?) ? ) 3 2(l / 3) 2 l/ 3

则系统总动能为

1 1 1 1 1 M ? 2 ? M ? 2? 2 ? m cos 2 ?? 2 ? m cos 2 (? ? 120?) ? 2 ? m cos 2 (? ? 240?) ? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? m? 2 sin 2 ?? 2 ? m? 2 sin 2 (? ? 120?)? 2 ? m? 2 sin 2 (? ? 240?)? 2 2 2 2 1 1 1 3 1 3 ? M ? 2 ? M ? 2? 2 ? ? m? 2 ? ? m? 2? 2 2 2 2 2 2 2 Ek ?
总势能

E p ? mg (| AM | ? | BM | ? | CM |)

? mg ( 3l ?

? 2 [sin 2 ? ? sin 2 (? ? 120?) ? sin 2 (? ? 240?)]
2l / 3
3 3? 2 ) 4l

)

? mg ( 3l ?

考虑一个收到正比到达圆心位移作用力

F ??

3 3 mg ? 2l

质量为 M ?

3 1 3m 2 1 3m 2 m ,动能为 Ek ? ( M ? ) x ? (M ? ) y 的质点 2 2 2 2 2

发现其动能和势能形式完全相同,因而其运动规律也相同,因此 M 在 x 和 y 方向分别做简 协振动。 ? 2 ?

3 3mg 3 2( M ? m) 2

把 OA 方向记为 x 正方向,则有 M 运动规律为:

x ? ?x cos(?t ) ; y ?

v0

?

sin(?t ) ;复合起来是一个椭圆。

五、 某人设计了一种潜艇, 利用电磁推进替代了螺旋桨。 潜艇推进器的结构简化为下图 所示。 水从推进管道中流过。 不考虑管道中水流与 管壁以及水之间的粘滞阻力作用。 管道中有一个长方体状的区域,该区域横截面积和入水口一样的,尺寸为 a ? b ? c ,其 中由超导磁铁产生了稳定磁场 B ,沿着 b 方向。在上下两个面上各有一块 a ? b 大小的 电极,进入直流电源。假设电流只在这个长方体区域内存在,并且是均匀的。稳定状态 电流大小为 I 。海水密度为 ? m ,海水电阻率为 ? 。 假设稳定流动后潜艇进水口压强为 p1 ,出水口的压强 p2 。入水口面积为 S1 ? b ? c , 出水口面积为 S 2 。 (1) 求出稳定流动后, 以潜艇为参照系, 进、 出水口的流速 v1 和 v2 。 用 p1 、 p2 、S1 、

S 2 、 ? 、 B 、 I 、 b 表达。
(2) 计算稳定流动后直流电源的功率是多少。用 p1 、 p2 、 S1 、 S 2 、 ? 、 B 、 I 、

b 、 a 、 ? m 表达
注:本题改编于 2013 年浙江高考理综第 25 题。
I

b c
B

a

【解答】 (1) 对于长方体内,由于进出口面积一样,因而流速不变, 所以安培力的效果是增加了压强 ?p ?

BIc BI ? S1 b

从长方体结束区域到出口,由于流量不变:

S1v1 ? S2v2

由于能量守恒,假设单位时间通过体积为 ?V

BI 1 1 ? v12 ?V +(p1 + )?V = ? v2 2 ?V +p2 ?V b 2 2
联立解得

v2 ?

2( p1 ? p2 ? BI / b)

?

S1 S ? S2 2
2 1

v1 ?

2( p1 ? p2 ? BI / b)

?

S2 S12 ? S2 2

(2) 单位时间内直流电源提供的能量为

P ? BIcv1 ? I 2 ? BI b

?mc
ab S2 S1 S ? S2
2 1 2

2( p1 ? p2 ? BI / b)

?

? I2

?m S1
ab 2

六、

回音壁效应

在应用光学中用这样一项技术。在折射率为 n1 ? 1.33 的介质中,有一些半径为

r ? 120nm 的折射率为 n2 ? 1.48 的小球。某些角度的光在小球的内壁上做全反射 n 次
后能恰好回到出发点,而光波转一圈回到出发点时相位和初态相比恰好相差 2? ? l ,其 中 l 为正整数, 则有可能引发一些量子效应, 使得小球对介质中该频率的光波进行吸收。 (1) 利用 n 和 l 表达出对应的光波波长 ? (n, l ) (2) 对于 545nm 到 555nm 范围内的光波, 那些波长的光会被吸收?标记出对应的 n, l 。

【解答】 (1)

?

如图,由于 n 次全反射之后回到出发点,因此 ? ? 由于发生全反射,因此 cos ? ?

2? ? ? 。 2n n

由于相位恰好相差 2? ? l ,因此光程

1.33 ,即 ? ? 0.454 ? 26.0? ,因此 n ? 4 1.48

1.48 ? 2nr sin ? ? l?
解得:

1.48 ? 2nr sin( ) n ?? l
(2) 先粗略估算 对于 l ? 1 , ? ? (1115.7nm,1004.7nm) 对于 l ? 2 , ? ? (502.3nm,557.9nm) 对于 l ? 3 , ? ? (371.9nm,334.9nm) 可见应当取 l ? 2 具体计算得到

?

n 波长/nm

9 546.7

10 548.8

11 550.4

12 551.6

13 552.5

14 553.3

15 553.9

16 554.4

17 554.8

注:我错了?原来是想问从 545nm 到 550nm 的?然后手抖了一下写成了 555nm,于是多了一 坨解?不影响做题 七、 如图两个底面积分别为 2S 和 S 的绝热圆筒,用一个细的绝热阀门连接。左右各有 一密闭的,绝热的,不记阻力不记重力的活塞,活塞上端通过一个理想的滑轮组连接。 大气压为 P0 。初态阀门关闭,左边充满体积为 2V0 温度为 T0 的理想气体,定体摩尔热 容量为 CV ?

3 R ,右边真空,体积为 V0 。 2

(1) 慢慢打开阀门至左右气压平衡的时候, 求左右体积 VL 、 及左右温度 TL 、 VR , TR 。 (2) 把绝热活塞换成导热活塞,把左边的面积换为 xS ,左边初态体积换为 xV0 ,打 开活塞,平衡态时左边体积是否可能不为 0,若存在求出对应 x 的范围。 提示:理想气体热导率非常低,即活塞绝热,且左右气体保持力平衡不再流动的时候, 两边温度可以在很长时间内维持不一样。 理想气体绝热方程为 pV =C ,其中 ? ?
?

CV ? R CV

2S

S

2V0

V0

【解答】 (1) 对于初态,由于右方为真空,假设左边气压为 p1 ,有 对于左边 对于右边 解得

N ? p1 ? 2S ? p0 ? 2S N ? p0 ? S

p1 ? 0.5 p0

对于末态,假设左边活塞没有到底,体积变为 VL ? mV0 , 则高度为

2V mV0 mV0 m V ,所以右方高度为 0 ? ? (2 ? ) 0 , S0 2 S0 2 S0 2S0

所以右方体积为 VR ? (2 ?

m )V0 2

由于两边气压相同,设为 p2 ,由受力平衡得到 p2 ? p0 。 对于从初态到末态,整体热力学第一定律有

nLCV TL ? nRCV TR ? nCV T0 ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 )
带入状态方程有

( p0VL ? p0VR ? 0.5 p0 ? 2V0 )
解得: m ? ?

CV ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 ) R

2 ,可见假设错误,左边活塞已经到顶。 5

此时 VL ? 0 , VR ? 2V0 同样从初态到末态,整体热力学第一定律有

nRCV TR ? nCV T0 ? p0 ? 2V0 ? p0 (VR ? V0 )
带入状态方程有

( pRVR ? 0.5 p0 ? 2V0 )

CV ? p0 ? 2V0 ? p0 (VR ? V0 ) R

由于左边活塞已经到达底端,所以绳子上可以有拉力,因此不要求 pR ? p0 。

而左边活塞刚刚到底之后气体就停止流动,因此 VR ? 2V0

5 po ? 2V0 5 5 解得: pR ? p0 ,温度 TR ? T0 6 ? T0 。 6 0.5 po ? 2V0 3
所以 VL ? 0 ; VR ? 2V0 ; TR ?

5 T0 。 3

注:在活塞即将到底的时候,由受力平衡: pL 2S0 ? p0 S0 ? pR S0 ? 2 p0 S0 , 解得 pL ?

11 p0 。 12
? ?1

对于没有进入右边的气体,绝热方程成立,因此 p 解得: TL ? (
3 11 8 ) T0 ,当左边气体即将漏尽时。 6

?T?

(2) 对于初态,由于右方为真空,假设左边气压为 p1 ,有 对于左边 对于右边 解得

N ? p1 ? xS ? p0 ? xS
N ? p0 ? S

p1 ?

x ?1 p0 ,初态平衡需要 x ? 1 x
V V0 ,右边高度变为 (2 ? m) 0 。 S0 S0

对于末态,假设左边活塞没有到底,高度变为 m

左边体积为 VL ? xmV0 ,右边体积为 VR ? (2 ? m)V0 , 由于两边气压相同,设为 p2 ,由受力平衡得到 p2 ? p0 。 对于从初态到末态,整体热力学第一定律有

nLCV TL ? nRCV TR ? nCV T0 ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 )
带入状态方程有

( p0VL ? p0VR ? 0.5 p0 ? 2V0 )
解得: m ?

CV ? p0 (2V0 ? VL ) ? p0 (VR ? V0 ) R

9 1 ,而 0 ? m ? 2 ,解得 ? x ? 1 ,与初态平衡矛盾 10 5(1 ? x)

可以见不存在。 八、 ? 介子一种可能的衰变模式为 ? ? e ? e ? ? 。其中 ? 为光子, e 为正电子,除电
0
0 ? ?

?

荷相反以外,性质几乎和 e 一致。某个 ? 介子在以 0.2c 的速度运动中发生上述衰变。在和
? 0

? 0 介子前进方向夹角为 ? ? 30? 方向上接受到一个电子。求这个电子速度大小的可能的范
围。已知 m? 0 ? 135MeV , me ? 0.511MeV ,普朗克常数 h ? 6.64 ?10 【解答】 本题书写中调整单位制 c ? 1 在质心系中观察,令电子动量为 p ,正电子动量为 p1 ,光子动量为 p2 由动量守恒得到
?34

J ?s

p ? p1 ? p2
由能量守恒得到

p 2c 2 ? me 2c 4 ? p12c 2 ? me 2c 4 +p2c ? m? c 2
若要求 p 最大,应当有 p1 ? 0 , p2 ? p (在这个情况下质心系动量和地面系动量单调) 解得

p ? 68MeV (其实可以看到 m? ?? me ,所以其实电子是极端相对论性的)
电子能量 Ee ?

p 2c2 ? me2 c4 ? 68MeV

因此在质心系中看到的电子可能的动量分布,在 px ? p y 图中看,在一个半径为 68MeV 的 圆的边界和内部。 换回到地面系中有

E 1 ? ( px ? 0.2 e ) ? px ' ? 2 c 1 ? 0.2 ? ? py ' ? py ?
因此在地面系中看到电子可能的动量分布为一个椭圆,其中 p0 ? 68MeV

(

py ' 2 px '? 0.2 p0 2 ) ?( ) ?1 1.02 p0 p0
py py '

px

px '

令 p y ' ? tan 30? px ' 得到:

py ' ? 0.59 p0 ; px ' ? 0.59 p0
于是 p ' ? ( px '2 ? p y '2 ) ? 1.18 p0 ? 79.8MeV 因此电子最大速度为 v ' ?

p' p ' ? me c
2 2 4

? (1 ? 2.8 ?10?4 )c

从图中可知电子速度最小速度可以是 0 注:本题也可以用速度变换公式进行,基本思路类似,略


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