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高二理科数学第一次月考试题(3.16)


导数及其应用训练题
一、选择题(5×8=40) 1、曲线 y=4x﹣x 在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是
3

2013-3-16

A、y=7x+4 B、y=7x+2 C、y=x﹣4 D、y=x﹣2 2、y=sin(3﹣4x) ,则 y′=( ) A、﹣sin(3﹣4x) B、3﹣cos(﹣4x) C、4cos(3﹣4x) D、﹣4cos(3﹣4x) 3、函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )

A、1
3

B、2
2

C、3

D、4 )

4、f(x)=x ﹣3x +2 在区间[﹣1,1]上的最大值是( A、﹣2 B、0
2

C、2

D、4 ) D、[﹣1,0)(0,1] ,

5、函数 f(x)=x ﹣2lnx 的单调减区间是( A、 (0,1]
?

B、[1,+≦) )

C、 (﹣≦,﹣1]及(0,1]

6、

? ? ?1 ? cosx ? dx 等于(
2 2

A、π

B、2
2

C、π﹣2

D、π+2 )

7、如图所示,曲线 y=x 和曲线 y=

围成一个叶形图(阴影部分) ,其面积是(

A、1

B、
3

C、
2

D、

8、如图所示的是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象, 则 x1 ? x 2 等于(
2 2



A.

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

16 3


二、填空题(5×6=30) 9、已知 P(x,y)是函数 y=e +x 图象上的点,则点 P 到直线 2x﹣y﹣3=0 的最小距离为( A、 B、 C、 D、
x

10、函数 f(x)=x ﹣3x +1 在 x=

3

2

处取得极小值.
3

11、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x ﹣10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为 12、已知函数 f(x)=f′( )cosx+sinx,则 f( . )的值为 .

13、设 f(x)=

,则

?

2

0

f ( x)dx =



14、若在区间[﹣1,1]上,函数 f(x)=x ﹣ax+1≥0 恒成立,则 a 的取值范围是 三、解答题(80 分) 15、已知函数 f(x)=﹣x +3x +9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间[一 2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
3 2

3



16、已知函数 f(x)=x +bx +ax+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的 切线方程为 6x﹣y+7=0. (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间.

3

2

17、用长为 36cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

2

18、如图,已知抛物线 y=4﹣x 与直线 y=3x 的两个交点分别为 A、B,点 P 在抛物线上从 A 向 B 运动(点 P 不同于点 A、B) , (Ⅰ)求由抛物线 y=4﹣x 与直线 y=3x 所围成的图形面积; (Ⅱ)求使△PAB 的面积为最大时 P 点的坐标.
2

2

19、已知函数

. ,求实数 a 的值;

(I)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的倾斜角为

(II)若函数 y=f(x)在区间[0,2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

20、设函数 f(x)=6x +3(a+2)x +2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(﹣≦,+≦)上的单调函数?若存在,求出 a 的值; 若不存在,说明理由.

3

2

3

案与评分标准 一、选择题(共 8 小题,满分 40 分,每小题 5 分) 1、 分) (5 (2006? 四川)曲线 y=4x﹣x 在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是 A、y=7x+4 B、y=7x+2 C、y=x﹣4 D、y=x﹣2 考点:导数的几何意义。 分析:已知点(﹣1,﹣3)在曲线上,若求切线方程,只需求出曲线在此点处的斜率,利用点 斜式求出切线方程. 解答:解:≧y=4x﹣x ,?y'︳x=﹣1=4﹣3x ︳x=﹣1=1, ?曲线在点(﹣1,﹣3)处的切线的斜率为 k=1,即利用点斜式求出切线方程是 y=x﹣2, 故选 D. 点评:本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题,只要利用导数的几何意义,求出该切线的 斜率即可. 2、 分)y=sin(3﹣4x) (5 ,则 y′=( ) A、﹣sin(3﹣4x) B、3﹣cos(﹣4x) C、4cos(3﹣4x) D 、 ﹣ 4cos (3﹣4x) 考点:简单复合函数的导数。 专题:计算题。 分析:由题,此函数是一个复合函数函数,由复合函数的求导公式求出导数即可选出正确选项. 解答:解:由于 y=sin(3﹣4x) , 则 y′=cos(3﹣4x)×(3﹣4x)′=﹣4cos(3﹣4x) 故选 D 点评:本题考点是简单复合函数的导数,考查复合函数的求导公式,解题的关键是熟练记忆公 式且能准确利用公式求导数,本题考查了利用公式进行计算的能力 3、 分) (5 (2006? 天津)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b) 内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )
3 2 3

A、1 B、2 C、3 D、4 考点:利用导数研究函数的单调性。 分析:根据当 f'(x)>0 时函数 f(x)单调递增,f'(x)<0 时 f(x)单调递减,可从 f′ (x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,然后得到答案. 解答:解:从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→ 减, 根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点. 故选 A. 点评:本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系.属基础题. 4、 分) (5 (2006? 浙江)f(x)=x ﹣3x +2 在区间[﹣1,1]上的最大值是(
3 2



A、﹣2 B、0 C、2 D、4 考点:利用导数求闭区间上函数的最值。 分析:由题意先对函数 y 进行求导,解出极值点,然后再根据函数的定义域,把极值点和区间

4

端点值代入已知函数,判断函数在区间上的增减性,比较函数值的大小,求出最大值,从而求 解. 解答:解:f'(x)=3x ﹣6x=3x(x﹣2) , 令 f'(x)=0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当﹣1<x<0 时,f'(x)>0, 当 0<x<1 时,f'(x)<0,?当 x=0 时,f(x)取得最大值为 f(0)=2. 故选 C 点评:此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值,解题的关键是求导要精确. 5、函数 f(x)=x ﹣2lnx 的单调减区间是(
2 2

) D、[﹣1,0)及(0,1]

A、 (0,1] B、[1,+≦)C、 (﹣≦,﹣1]及(0,1] 考点:利用导数研究函数的单调性。 专题:常规题型。

分析:函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间,可以先算出函数 f(x)=x ﹣2lnx 的导 数,再解不等式 f =(x)<0,可得出函数的单调减区间. 解答:解:求出函数 f(x)=x ﹣2lnx 的导数:
2 /

2

而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间 由 f =(x)<0,得(﹣1,1) 因为函数的定义域为(0,+≦) 所以函数的单调减区间为(0,1] 故选 A 点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,属于简单题,在做题时应该避免忽略函数的定 义域而导致的错误. 6、 (2009? 福建) A、π B、2 考点:定积分。 专题:计算题。 (1+cosx)dx 等于( C、π﹣2 ) D、π+2
/

分析:由于 F(x)=x+sinx 为 f(x)=1+cosx 的一个原函数即 F′(x)=f(x) ,根据∫a f(x) dx=F(x)|a 公式即可求出值. 解答:解:≧(x+sinx)′=1+cosx, ? = +sin (1+cosx)dx=(x+sinx) ﹣ =π+2.
b

b

故选 D

5

点评:此题考查学生掌握函数的求导法则,会求函数的定积分运算,是一道中档题. 7、如图所示,曲线 y=x 和曲线 y=
2

围成一个叶形图(阴影部分) ,其面积是(



A、1

B、

C、

D、

考点:定积分;定积分的简单应用。 专题:计算题。 分析:联立由曲线 y=x 和曲线 y=
2

两个解析式求出交点坐标,然后在 x∈(0,1)区间上利用

定积分的方法求出围成的面积即可. 解答:解:联立得 ,解得 或
1

, ﹣x )dx=
2

设曲线与直线围成的面积为 S,则 S=∫0 (

故选:C 点评:考查学生求函数交点求法的能力,利用定积分求图形面积的能力. 8、设曲线 y=x (n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1? x2? … ? xn 的值为( A、 ) B、 C、 D、1
n+1 *

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的斜率。 专题:计算题。 分析:欲判 x1? x2? …? xn 的值,只须求出切线与 x 轴的交点的横坐标即可,故先利用导数求出 在 x=1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答:解:对 y=x (n∈N )求导得 y′=(n+1)x , 令 x=1 得在点(1,1)处的切线的斜率 k=n+1,在点 (1,1)处的切线方程为 y﹣1=k(xn﹣1)=(n+1) n﹣1) (x , 不妨设 y=0, 则 x1? x2? x3…? xn= × × ,
n+1 * n

故选 B. 点评:本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识,考 查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 二、填空题

6

9、已知 P(x,y)是函数 y=e +x 图象上的点,则点 P 到直线 2x﹣y﹣3=0 的最小距离为( A、 B、 C、 D、

x



考点:利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题:计算题。 分析:将直线 2x﹣y﹣3=0 平移到与函数 y=e +x 的图象相切时,切点到直线 2x﹣y﹣3=0 的距离 最短,故关键是求出切点的坐标.由于切线与 2x﹣y﹣3=0 平行,所以令 y′=2 得到切点坐标横 坐标,代入函数解析式得到纵坐标,然后利用两点间的距离公式求出切点到直线的距离即为点 P 到直线的最小距离. 解答:解:因为 2x﹣y﹣3=0 的斜率为 2,所以令 y′=e +1=2 解得 x=0,代入函数 y=e +x 得 y=1, 所以切点(0,1)到直线 2x﹣y﹣3=0 的距离为 小距离为 . = 即点 P 到直线 2x﹣y﹣3=0 的最
x x x

故选 D 点评:考查学生理解函数图象上和直线平行时切线的切点到直线的距离最短,会根据平行斜率 相等求函数的切点,会利用点到直线的距离公式解决实际问题. 10、函数 f(x)=x ﹣3x +1 在 x= 2 考点:利用导数研究函数的极值。 专题:计算题。 分析:首先求导可得 f′(x)=3x ﹣6x,解 3x ﹣6x=0 可得其根,再判断导函数的符号即可. 解答:解:f′(x)=3x ﹣6x 令 f′(x)=3x ﹣6x=0 得 x1=0,x2=2 且 x∈(﹣≦,0)时,f′(x)>0;x∈(0,2)时,f′(x)<0;x∈(2,+≦)时,f′(x) >0 故 f(x)在 x=2 出取得极小值. 故答案为 2. 点评:本题考查函数的极值问题,属基础知识的考查. 11、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x ﹣10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为 考点:导数的几何意义。 专题:计算题。 (﹣2,15) .
3 2 2 2 2 3 2

处取得极小值.

分析:先设切点 P(x0,y0) 0<0) (x ,根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=x0 处的导数, 从而求出切线的斜率,建立方程,解之即可. 解答:解:设 P(x0,y0) 0<0) (x ,由题意知:y′|x=x0=3x0 ﹣10=2,
2

7

?x0 =4.?x0=﹣2,?y0=15.?P 点的坐标为(﹣2,15) .故答案为: (﹣2,15) 点评:本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题 属于基础题. 12、 分) (5 (2009? 湖北)已知函数 f(x)=f′( 考点:导数的运算;函数的值。 专题:计算题。 分析:利用求导法则: (sinx)′=cosx 及(cosx)′=sinx,求出 f′(x) ,然后把 x 等于 入到 f′(x)中,利用特殊角的三角函数值即可求出 f′( 到 f(x)后,把 x= )的值,把 f′( 代 )cosx+sinx,则 f( )的值为 1 .

2

)的值代入 )的值.

代入到 f(x)中,利用特殊角的三角函数值即可求出 f( ) sinx+cosx ? +cos )cos +sin = ( ﹣1)+

解答:解:因为 f′(x)=﹣f′( 所以 f′( 解得 f′( )=﹣f′( )= ) sin ?

﹣1 故 f(

)=f′(

=1

故答案为 1. 点评:此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值,会根据函数解析式求 自变量所对应的函数值,是一道中档题. 13、 分)设 f(x)= (5 ,则∫0 f(x)dx=
2



考点:定积分的简单应用;函数解析式的求解及常用方法。 专题:计算题。 分析: 由于题中所给函数是分段函数故求∫0 f (x) 要利用定积分的性质 dx (积分区间的可加性) 进行求解. 解答:解:≧f(x)=
2 1 2 ′ 1 2 0 2 ′ 1 2

? ∫ 0 f ( x ) dx= ∫ 0 f ( x ) dx+ ∫ 1 f ( x ) dx= ∫ dx= 故答案为 =

x dx+ ∫

(2﹣x)

点评:本题主要考查了了定积分的简单应用.解题的关键结合题中所给的分段函数利用定积分 中积分区间的可加性将∫0 f(x)dx 等价转化为∫0 f(x)dx+∫1 f(x)dx 同时还要求掌握一 些基本初等的导函数的原函数!
2 1 2

8

14、若在区间[﹣1,1]上,函数 f(x)=x ﹣ax+1≥0 恒成立,则 a 的取值范围是 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题:计算题。

3

[0,

] .

分析:由 x ﹣ax+1≥0 恒成立,得 ax≤x +1,再对 x 的取值进行分类讨论,转化为函数 F(x) = 的最值问题,注意导数工具的运用,列出关于字母 a 的不等式达到求解本题的目的.
3 3

3

3

解答:解:由 x ﹣ax+1≥0 恒成立,得 ax≤x +1, ①当 x∈(0,1]时, 即 a≤ 设 F(x)= 当 x∈(0, ,x∈(0,1]恒成立, ,F′(x)=2x﹣ ,令 F′(x)=0 得 x= ,

]时 F′(x)<0,当 x∈( ]单调减,f(x)在(

,1]时 F′(x)>0, ,1]单调增,

故 f(x)在(0,

?当 x=

时,函数 f(x) 取得最小值,最小值为

;?a≤

②当 x∈[﹣1,0)时, 即 a≥ 设 F(x)= ,x∈[﹣1,0)恒成立, ,F′(x)=2x﹣ ,当 x∈[﹣1,0)时 F′(x)<0,

故 f(x)在[﹣1,0)单调减, ?当 x=﹣1 时,函数 f(x) 取得最大值,最大值为 0;?a≥0; ③当 x=0 时,函数 f(x)=x ﹣ax+1≥0 恒成立
3

综上所述,a 的取值范围是[0,

].故答案为:[0,

].

点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,解答的关键是将问 题转化为函数的最值问题. 三、解答题(共 6 小题) 15、已知函数 f(x)=﹣x +3x +9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间[一 2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题:计算题。 分析: (I)先求出函数 f(x)的导函数 f′(x) ,然后令 f′(x)<0,解得的区间即为函数 f
3 2

9

(x)的单调递减区间; (II)先求出端点的函数值 f(﹣2)与 f(2) ,比较 f(2)与 f(﹣2)的大小,然后根据函数 f(x)在[﹣1,2]上单调递增,在[﹣2,﹣1]上单调递减,得到 f(2)和 f(﹣1)分别是 f(x) 在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出 a,从而求出函数 f(x)在区间[﹣2, 2]上的最小值. 解答:解: (I)f′(x)=﹣3x +6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<﹣1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(﹣≦,﹣1)(3,+≦) , . (II)因为 f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(﹣2) . 因为在(﹣1,3)上 f′(x)>0,所以 f(x)在[﹣1,2]上单调递增, 又由于 f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(﹣1)分别是 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20, 解得 a=﹣2. 故 f(x)=﹣x +3x +9x﹣2,因此 f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7, 即函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7. 点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于 0 时原函数 单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.以及在闭区间上的最值问题等基础知识,同时 考查了分析与解决问题的综合能力. 16、已知函数 f(x)=x +bx +ax+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线 方程为 6x﹣y+7=0. (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 考点:导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性。 分析: (Ⅰ)求解析式,只需把 a,b,d 三个字母求出即可.已知点 P(0,2)满足 f(x) ,得 到 d,又点 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 6x﹣y+7=0,可以得到 f(﹣1)的值,并且得到 f(x)在 x=﹣1 处的导数为 6. (Ⅱ)利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间. 解答:解: (Ⅰ)≧f(x)的图象经过 P(0,2) ,?d=2, ?f(x)=x +bx +ax+2,f'(x)=3x +2bx+a.≧点 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 6x﹣y+7=0 ?f'(x)|x=﹣1=3x +2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①, 还可以得到,f(﹣1)=y=1,即点 M(﹣1,1)满足 f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1② 由①、②联立得 b=a=﹣3 故所求的解析式是 f(x)=x ﹣3x ﹣3x+2. (Ⅱ)f'(x)=3x ﹣6x﹣3. ,令 3x ﹣6x﹣3=0,即 x ﹣2x﹣1=0. 解得 当 .当 . ;
2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2

10

故 f(x)的单调增区间为(﹣≦,1﹣ )(1+ ,+≦) , ;单调减区间为(1﹣ ,1+ ) 点评:本题主要考查了两个知识点,一是导数的几何意义,二是利用导数研究函数的单调性, 属于函数这一内容的基本知识,更应该熟练掌握. 17、用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该 长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 考点:函数模型的选择与应用;利用导数研究函数的极值。 专题:应用题。 分析:先设设长方体的宽为 x(m) ,利用长方体的体积公式求得其体积表达式,再利用导数研究 它的单调性,进而得出此函数的最大值即可. 解答: 设长方体的宽为 x m) 则长为 2x m) 高为 解: ( , ( , 故长方体的体积为 V(x)=2x (4.5﹣3x)=9x ﹣6x (m )
2 2 2 3 3

. .

从而 V′(x)=18x﹣18x (4.5﹣3x)=18x(1﹣x) .令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1, 因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x< 时,V′(x)<0, 故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值. 从而最大体积 V=V′(x)=9×1 ﹣6×1 (m ) ,此时长方体的长为 2m,高为 1.5m. 答:当长方体的长为 2m 时,宽为 1m,高为 1.5m 时,体积最大,最大体积为 3m . 点评:利用导数解决生活中的优化问题,关键是要建立恰当的数学模型,函数的最值要由极值 和端点的函数值确定.当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时,这个极值就是它的 最值. 18、如图,已知抛物线 y=4﹣x 与直线 y=3x 的两个交点分别为 A、B,点 P 在抛物线上从 A 向 B 运动(点 P 不同于点 A、B) , (Ⅰ)求由抛物线 y=4﹣x 与直线 y=3x 所围成的图形面积; (Ⅱ)求使△PAB 的面积为最大时 P 点的坐标.
2 2 3 2 3 3

考点:定积分;抛物线的应用。 专题:计算题。 分析: (Ⅰ)联立方程 可求 A(1,3) ,B(﹣4,﹣12) ,所求图形的面积为 ,利用积分可求 (Ⅱ)设点 P 的坐标为(a,b)由(Ⅰ)可得 A,B,要使△PAB 的面积最大即使点 P 到直线 3x

11

﹣y=0 的距离最大,故过点 P 的切线与直线 3x﹣y=0 平行,从而可求 解答:解(Ⅰ)由 解得 或

即 A(1,3) ,B(﹣4,﹣12) 因此所求图形的面积为 =

(Ⅱ)设点 P 的坐标为(a,b)由(Ⅰ)得 A(1,3) ,B(﹣4,﹣12) 要使△PAB 的面积最大即使点 P 到直线 3x﹣y=0 的距离最大 故过点 P 的切线与直线 3x﹣y=0 平 行 又过点 P 的切线得斜率为 k=y'=﹣2x|x=a=﹣2a?﹣2a=3 即 ?P 点的坐标为 时,△PAB 的面积最大. ,

点评:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用.利用定积分求解图象的面积的最值, 属于基础试题 19、已知函数 . ,求实数 a 的值;

(I)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的倾斜角为

(II)若函数 y=f(x)在区间[0,2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数单调性的性质;直线的倾斜角。 专题:计算题。 分析: (I)根据切线的倾斜角为 得到切线的斜率,根据导数的几何意义可知 x=1 处的导数即

为切线的斜率,建立等量关系,求出 a 即可; (II)根据函数 y=f(x)在区间[0,2]上单调递增,可转化成 x ﹣2ax+4≥0 对一切 x∈[0,2] 恒成立,将参数 a 分离,转化成当 x∈(0,2]时,等价于不等式 等式求出不等式右边函数的最小值,即可求出 a 的范围. 解答:解: (Ⅰ)≧ ≧ ?f'(x)=x ﹣2ax+4(2 分) (4 分)?a=2(6 分)
2 2

恒成立,利用均值不

(Ⅱ)≧函数 y=f(x)在区间[0,2]上单调递增 ?x ﹣2ax+4≥0 对一切 x∈[0,2]恒成立 x=0 时成立 当 x∈(0,2]时,等价于不等式 令 当 时取到等号,所以 g(x)min=2 恒成立
2

12

?a≤2(12 分) 点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数恒成立问题等基础题知识, 考查运算求解能力、推理论证能力,分类讨论思想、化归与转化思想,属于基础题. 20、设函数 f(x)=6x +3(a+2)x +2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(﹣≦,+≦)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性。 专题:计算题。 分析: (1)先求原函数的导函数,根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系,求出参数 a 即可; (2)根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零,如果能就存在,否则就不存在. 解答:解:f′(x)=18x +6(a+2)x+2a (1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 (2)由△=36(a+2) ﹣4×18×2a=36(a +4)>0, 所以不存在实 a,使得 f(x)是 R 上的单调函数. 点评:本题主要考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识,是高考中常考的问题,属于基 础题.
2 2 2 3 2

,所以 a=9;

一、选择题(共 3 小题) 1、 (2009? 广东)函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是( A、 (﹣≦,2) B、 (0,3) C、 (1,4) D、 (2,+≦) 2、(2005? 江西)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示 (其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四个图 象中 y=f(x)的图象大致是( )
x



A、

B



13

C、
3 2

D、
2

3、函数 f(x)=x +bx +cx+d 图象如图,则函数 y=x + bx+ 的单调递增区间为(



A、 (﹣∝,﹣2] 二、填空题(共 2 小题)

B、[3,+∝)

C、[﹣2,3]

D、[ ,+∝)

4、函数 y=e cosx 在[0,π]上的单调递增区间是 _________ 5、 三、解答题(共 6 小题) 6、已知函数 ,其中实数 a≠1.

x



(1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,试讨论 f(x)的单调性. 7、f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 与 x2=2 时取得极值, (1)试确定 a、b 的值; (2)求 f(x)的单调增区间和减区间. 8、已知函数 f(x)=ax +bx(x∈R) , (1)若函数 f(x)的图象在点 x=3 处的切线与直线 24x﹣y+1=0 平行,函数 f(x)在 x=1 处取 得极值 求函数 f(x)的解析式,并确定函数的单调递减区间; (2)若 a=1,且函数 f(x)在[﹣1,1]上是减函数,求 b 的取值范围. 9、已知函数 f(x)=e +2x ﹣3x. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 时,若关于 x 的不等式 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
x 2 3 2

14

10、已知函数 f(x)=x ﹣3ax, (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a=1 时,求证:直线 4x+y+m=0 不可能是函数 f(x)图象的切线. 11、对于函数 f(x)和 g(x) ,若存在常数 k,m,对于任意 x∈R,不等式 f(x)≥kx+m≥g(x) 都成立,则称直线 y=kx+m 是函数 f(x) ,g(x)的分界线.已知函数 f(x)=e (ax+1) 为自然对数的底, (e a∈R 为常数) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 a=1,试探究函数 f(x)与函数 g(x)=﹣x +2x+1 是否存在“分界线”?若存在,求 出分界线方程;若不存在,试说明理由.
2 x

3

15

答案与评分标准 一、选择题(共 3 小题) 1、 (2009? 广东)函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是(
x



A、 (﹣≦,2) B、 (0,3) C、 (1,4) D、 (2,+≦) 考点:利用导数研究函数的单调性。 分析:若求解函数 f(x)的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质,对 f(x)求导, 令 f′(x)>0,解出 x 的取值区间,要考虑 f(x)的定义域. 解答:解:f′(x)=(x﹣3)′e +(x﹣3) )′=(x﹣2)e ,求 f(x)的单调递增区间, (e 令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质,值得注意的是,要在定义域内求 解单调区间. 2、 (2005? 江西)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函 数) ,下面四个图象中 y=f(x)的图象大致是( )
x x x

A、

B、

C、

D



考点:利用导数研究函数的单调性。 分析:根据函数 y=xf′(x)的图象,依次判断 f(x)在区间(﹣≦,﹣1)(﹣1,0)(0,1) , , , (1,+≦)上的单调性即可. 解答:解:由函数 y=xf′(x)的图象可知: 当 x<﹣1 时,xf′(x)<0,f′(x)>0,此时 f(x)增 当﹣1<x<0 时,xf′(x)>0,f′(x)<0,此时 f(x)减 当 0<x<1 时,xf′(x)<0,f′(x)<0,此时 f(x)减 当 x>1 时,xf′(x)>0,f′(x)>0,此时 f(x)增. 综上所述,故选 C.

16

点评:本题间接利用导数研究函数的单调性,考查函数的图象问题.本题有一定的代表性,是 一道好题. 3、函数 f(x)=x +bx +cx+d 图象如图,则函数 y=x + bx+ 的单调递增区间为(
3 2 2



A、 (﹣∝,﹣2]

B、[3,+∝)

C、[﹣2,3]

D、[ ,+∝)

考点:利用导数研究函数的单调性。 分析:先对函数 f(x)=x +bx +cx+d 进行求导,根据 x=﹣2,x=3 时函数取到极值点知 f'(﹣2) =0 f'(3)=0,故可求出 bc 的值,再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案.
3 2 2 3 2

解答:解:≧f(x)=x +bx +cx+d,?f'(x)=3x +2bx+c 由图可知 f'(﹣2)=0,f'(3)=0 ?12﹣4b+c=0,27+6b+c=0,?b=﹣1.5,c=﹣18 ?y=x ﹣x﹣6,y'=2x﹣1,当 x> 时,y'>0 ?y=x ﹣x﹣6 的单调递增区间为:[ ,+∝) 故选 D. 点评:本题主要考查函数极值点和单调性与函数的导数之间的关系.属基础题. 二、填空题(共 2 小题) 4、函数 y=e cosx 在[0,π]上的单调递增区间是 (0,
x 2 2





考点:利用导数研究函数的单调性。 专题:计算题。 分析:根据利用导数研究函数的单调性的方法,先求函数的单调性,然后在[0,π]上求导数大 于零的区间即可. 解答:解:y′=e cosx﹣e sinx=e (cosx﹣sinx)>0 ≧x∈[0,π] ?y′>0 解得 x∈(0, 故答案为 (0, ) . ) ,
x x x

点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,单调性是函数的重要性质,是高考的热点 内容,属于基础题. 5、对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) . 定义: (1)设 f″(x)是函数 y=f(x)的导数 y=f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数 解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点” ;
3 2

17

定义: 设 x0 为常数, (2) 若定义在 R 上的函数 y=f (x) 对于定义域内的一切实数 x, 都有 f 0+x) (x +f(x0﹣x)=2f(x0)成立,则函数 y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0) )对称. 己知 f(x)=x ﹣3x +2x+2,请回答下列问题: (1)求函数 f(x)的“拐点”A 的坐标 (1,2) ; (2)检验函数 f(x)的图象是否关于“拐点”A 对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐 点”的结论 任何一个三次函数都有拐点 . 考点:利用导数研究函数的单调性。 专题:新定义。 分析: (1)先求 f′(x)得解析式,再求 f″(x) ,由 f″(x)=0 求得拐点的横坐标,代入函 数解析式求拐点的纵坐标. (2)因为 f(1+x)+f(1﹣x)=2f(1) ,由定义(2)知:f(x)=x ﹣3x +2x+2 关于点(1,2) 对称,进行合情推理,可得结论:三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d (a≠0)的“拐点”是( f(﹣ ),它就是 f(x)的对称中心. )
3 2 3 2 3 2



解答:解: (1)依题意,得:f′(x)=3x2﹣6x+2,?f″(x)=6x﹣6. 由 f″(x)=0,即 6x﹣6=0.?x=1,又 f(1)=2, ?f(x)=x ﹣3x +2x+2 的“拐点”坐标是(1,2) . 故答案为: (1,2) (2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2) . 而 f(1+x)+f(1﹣x)=(1+x) ﹣3(1+x) +2(1+x)+2+(1﹣x) ﹣3(1﹣x) +2(1﹣x) +2 =2+6x ﹣6﹣6x +4+4=4=2f(1) , 由定义(2)知:f(x)=x ﹣3x +2x+2 关于点(1,2)对称. 一般地,三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d (a≠0)的“拐点”是(
3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2

,f(﹣

),它就是 f )

(x)的对称中心. (或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平 移后可以是奇函数;都对. ) 故答案为:任何一个三次函数都有拐点 点评:本题考查一阶导数、二阶导数的求法,函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的 条件. 三、解答题(共 6 小题) 6、已知函数 ,其中实数 a≠1.

(1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,试讨论 f(x)的单调性. 考点:利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义。

18

分析:首先求出函数的导数及在点 f(0)处的值,然后求出在该点的切线方程,第二问根据函 数的导数与极值的关系求出 a 的值,然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性. 解答:解: (1) = 当 a=2 时,f′(0)= ,而

f(0)=﹣ ,所以曲线在点(0,f(0) )处的切线方程为:y﹣(﹣ )= (x﹣0) ,即 7x﹣4y ﹣2=0. (2)因为 a≠﹣1,由(1)可知 得极值, 所以 且, 解得 a=﹣3 此时 = 定义域(﹣1,3)∪(3,+≦) ,由 f′(x)=0 得 x1=1,x2=7,当﹣1 = 又因为 f(x)在 x=1 处取

<x<1 或 x>7 时 f′(x)>0; 当 1<x<7 且 x≠3 时 f′(x)<0 由上讨论可知 f(x)在(﹣1,1],[7,+≦)时是增函数, 在[1,3)(3,7]上是减函数. , 点评:掌握函数的导数与极值和单调性的关系. 7、f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 与 x2=2 时取得极值, (1)试确定 a、b 的值; (2)求 f(x)的单调增区间和减区间. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值。 分析: (1)求出 f′(x) ,令其为 0 得到关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理求出 a 与 b 即可; (2)因为要求 f(x)的单调增区间,令 f′(x)>0 求出 x 的范围;减区间,令 f′(x)<0 即可得到 x 的范围. 解答:解: (1)令 f'(x)= +2bx+1=0 则 2bx +x+a=0 由题意知:x=1,2 是上方程两根,由韦达定理得:1+2=﹣ ?a=﹣ ; (x﹣1) (x﹣2) <0,解得:x<0 或 1<x<2 >0,解得 x>2 或 x<1 ,1×2= ;
2 2

(2)由(1)知:f′(x)=﹣ 令 f′(x)>0 则 令 f′(x)<0 则

根据对数函数定义得 x>0 ?f(x)的单调增区间为(1,2) ,减区间是(0,1)和(2,+≦) . 点评:考查学生利用导数研究函数单调性的能力,运用韦达定理解决实际问题的能力.

19

8、已知函数 f(x)=ax +bx(x∈R) , (1)若函数 f(x)的图象在点 x=3 处的切线与直线 24x﹣y+1=0 平行,函数 f(x)在 x=1 处取 得极值,求函数 f(x)的解析式,并确定函数的单调递减区间; (2)若 a=1,且函数 f(x)在[﹣1,1]上是减函数,求 b 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性。 分析: (1)先对函数 f(x)进行求导,根据 f'(1)=0,f'(3)=24 确定函数的解析式,然后 令 f'(x)<0 求单调递减区间. (2)将 a=1 代入函数 f(x)后对函数进行求导,根据 f′(x)=3x +b≤0 在[﹣1,1]上恒成立 转化为 b≤﹣3x 在[﹣1,1]上恒成立求出 b 的值. 解答:解: (1)已知函数 f(x)=ax +bx(x∈R) ,?f′(x)=3ax +b 又函数 f(x)图象在点 x=3 处的切线与直线 24x﹣y+1=0 平行, 且函数 f(x)在 x=1 处取得极值,?f′(3)=27a+b=24, 且 f′(1)=3a+b=0,解得 a=1,b=﹣3 ?f(x)=x ﹣3x 令 f′(x)=3x ﹣3≤0 得:﹣1≤x≤1,所以函数的单调递减区间为[﹣1,1] (2)当 a=1 时,f(x)=x +bx(x∈R) ,又函数 f(x)在[﹣1,1]上是减函数 ?f′(x)=3x +b≤0 在[﹣1,1]上恒成立 即 b≤﹣3x 在[﹣1,1]上恒成立?b≤﹣3 当 b=﹣3 时,f′(x)不恒为 0,?b≤﹣3 点评:本题主要考查函数的增减性与其导函数的正负的关系.属基础题. 9、已知函数 f(x)=e +2x ﹣3x. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 时,若关于 x 的不等式 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
x 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2

3

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题:计算题。 分析:利用导数作为工具是解决本题的关键. (1)利用导数与切线斜率之间的关系是写切线方程的前提,用直线方程的点斜式写出方程; (2)将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,用好分离变量的思想. 解答:解: (1)f'(x)=e +4x﹣3, 则 f'(1)=e+1,又 f(1)=e﹣1, ?曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程 y﹣e+1=(e+1) (x﹣1) ,即 y=(e+1)x﹣2. (2)由 ,
x

20

得 令 ≧ ?

, ,则 g'(x)=e +x ,g'(x)=e +x>0,故 g(x)在 x∈ .
x x

上单调递增,

点评:本题考查导数的工具作用,利用函数在某点处切线的斜率就是在该点处的导数值,写出 所求切线的斜率,进而利用点斜式写出直线的方程,注意恒成立问题中的分离变量思想,将恒 成立问题转化为函数的最值问题. 10、已知函数 f(x)=x ﹣3ax, (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a=1 时,求证:直线 4x+y+m=0 不可能是函数 f(x)图象的切线. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题:计算题。 分析: (1)对函数 f(x)进行求导,导函数大于 0 时可求原函数的增区间,导函数小于 0 时可 求原函数的减区间. (2)将 a=1 代入函数确定解析式,然后对函数 f(x)进行求导,可发现导函数不可能等于﹣4 从而得证. 解答:解: (1)≧f′(x)=3x ﹣3a=3(x ﹣a) , 当 a≤0 时,f′(x)=3x ﹣3a≥0 对 x∈R 恒成立, ?f(x)的递增区间为(﹣≦,+≦) . 当 a>0 时,由 f′(x)>0,得 x<﹣ 由 f′(x)<0,得﹣ <x< . 此时,f(x)的递增区间是(﹣≦,﹣ 递减区间是(﹣ , ) . (2)证明:≧a=1,?f′(x)=3x ﹣3. 直线 4x+y+m=0 的斜率为﹣4,假设 f′(x)=﹣4,即 3x +1=0. 此方程无实根,?直线 4x+y+m=0 不可能是函数 f(x)图象的切线. 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原函数 单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 11、对于函数 f(x)和 g(x) ,若存在常数 k,m,对于任意 x∈R,不等式 f(x)≥kx+m≥g(x) 都成立,则称直线 y=kx+m 是函数 f(x) ,g(x)的分界线.已知函数 f(x)=e (ax+1) 为自然对数的底,a∈R (e 为常数) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 a=1,试探究函数 f(x)与函数 g(x)=﹣x +2x+1 是否存在“分界线”?若存在,求 出分界线方程;若不存在,试说明理由.
2 x 2 2 2 2 2 3

或 x> )和(

, ,+≦) ;

21

考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明。 专题:计算题;新定义。 分析: (Ⅰ)f′(x)=e (ax+1+a) ,当 a>0 时,f′(x)>0?函数 f(x)在区间(﹣1﹣ , +≦)上是增函数,在区间(﹣≦,﹣1﹣ )上是减函数;a=0 时,f′(x)>0,函数 f(x) 是区间(﹣≦,+≦)上的增函数;当 a<0 时,f′(x)>0?ax>﹣a﹣1,函数 f(x)在区间 (﹣≦,﹣1﹣ )上是增函数,在区间(﹣1﹣ ,+≦)上是减函数. (Ⅱ)若存在,则 e (x+1)≥kx+m≥﹣x +2x+1 恒成立,令 x=0,得 m=1,因此 x +(k﹣2)x ≥0 恒成立,由此及彼能推导出函数 f(x)与函数 g(x)=﹣x +2x+1 存在“分界线” . 解答:解: (Ⅰ)f′(x)=e (ax+1+a)(2 分) , 当 a>0 时,f′(x)>0?ax>﹣a﹣1,即 x>﹣1﹣ , 函数 f(x)在区间(﹣1﹣ ,+≦)上是增函数, 在区间(﹣≦,﹣1﹣ )上是减函数; 分) (3 当 a=0 时,f′(x)>0,函数 f(x)是区间(﹣≦,+≦)上的增函数; 分) (5 当 a<0 时,f′(x)>0?ax>﹣a﹣1,即 x<﹣1﹣ , 函数 f(x)在区间(﹣≦,﹣1﹣ )上是增函数,在区间(﹣1﹣ ,+≦)上是减函数. 分) (7 (Ⅱ)若存在,则 e (x+1)≥kx+m≥﹣x +2x+1 恒成立, 令 x=0,则 1≥m≥1,所以 m=1, 分) (9 因此:kx+1≥﹣x +2x+1 恒成立,即 x +(k﹣2)x≥0 恒成立, 由△≤0 得到:k=2,现在只要判断 e (x+1)≥2x+1 是否恒成立, (11 分) 设? (x)=e (x+1)﹣(2x+1) ,因为:? ′(x)=e (x+2)﹣2, 当 x>0 时,e >1,x+2>2,? ′(x)>0,当 x<0 时,e (x+2)<2e <2,? ′(x)<0, 所以? (x)≥? (0)=0,即 e (x+1)≥2x+1 恒成立, 所以函数 f(x)与函数 g(x)=﹣x +2x+1 存在“分界线”(14 分) . 点评:本题考查导数函数单调性中的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件, 合理地运用导数的性质进行求解.
2 x x x x x x x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x

22


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