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唐一良--平面几何


2012 年高中数学竞赛——平面几何攻略

2012 年高中数学竞赛——平面几何攻略
江苏省扬州中学 唐一良

第一部分【几个著名定理】 例1.以△ABC 的底边 BC 为直径作半圆,分别与 AB、AC 交于点 D 和 E,分别过 D、E 作 BC 的垂线,垂足依次为 F、G,线段 DG 和 EF 交于点 M,求证: AM⊥BC(

IMO-37国家队选拔题) A 例 2. 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠ BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D. 证明: 四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.
M N B D E F C

例3.求证:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在一条直线上;

例 4.若两个三角形的对应顶点的连线交于一点,则对应边所在的直线交点必共线。(笛沙 格定理) 第二部分【三角形五心研究】 例 1. 过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M; PN∥BA 交 AC 于 N.作点 P 引 关于 MN 的对称点 P′.试证:P′点在△ABC 外接圆上. 例 2.设圆 O 是△ABC 的内切圆,BC,CA,AB 上的切点各是 D,E,F,射线 DO 交 EF 于 A?,同样可得 B?,C?,试证:直线 AA?,BB?,CC?共点。 例 3.设△ABC 的三条高线为 AD,BE,CF,自 A,B,C 分别作 AK ? EF 于 K,BL ? DF 于 L,CN ? ED 于 N,证明:直线 AK,BL,CN 相交于一点。 例 4.在△ABC 中,AB=4,AC=6,BC=5,∠A 的平分线 AD 交△ABC 的外接圆于 K,△ABC 的外心,内心分别是 O,I,求证:OI ? AK。 例 5.设点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,I 是其内心,AH 是 BC 边上的高,E 为直线 IM 与 AH 的交点,求证:AE 等于内切圆半径 r。 例 6.设圆 O 是△ABC 的 BC 边外侧的旁切圆,D,E,F 分别是圆 O 与 BC,CA,AB 所在 直线的切点,若 OD 与 EF 相交于 K,求证:AK 平分 BC。 例 7.在 ?ABC 中, ?A ? 60 0 ,AB>AC,点 O 是外心,两条高 BE,CF 交于 H 点, 点 M,N 分别在线段 BH,HF 上,且满足 BM=CN,求
MH ? NH 的值。 OH

第三部分【圆的研究】 例 1.(Euler 定理)设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,外心与内心的距离为 d,则 d2=R2-2Rr.(1992 年江苏省数学竞赛)
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例 2. 设点 P 是⊙O 外一点,PAB,PCD 是两条割线,AD,BC 交于点 Q,延长 BD,AC 交于点 R,求证: PQ =P 的幂+Q 的
2

P

幂; PR 2 =P 的幂+R 的幂.

A C Q D R

B

【两个典型模型】 :⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AB,DC 延长后交于点 E,AD,BC 延长 后交于点 F,AC,BD 交于点 P(不与 O 重合) ,证明:OP⊥EF,并讨论四边形 ABCD 是 圆外切四边形的情形。
A
A

O
O

M B P N E C F
A

B E

P C

D

D F

例 3.设 D,E 是 ?ABC 中 AB,AC 上的点,求证:以 BE 和 CD 为直径的 两圆的根轴必通过 ?ABC 的垂心。
D B O1 O2 E C

例 4.如图,已知两个半径不相等的⊙O1 与⊙O2 相交于 M、N 两点,且 ⊙O1、⊙O2 分别与⊙O 内切于 S、T 两点。求证:OM⊥MN 的充分必 要条件是 S、N、T 三点共线。 (97 年高中数学联赛试题)

O O1

M O2 N
P

例 5.四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB 与 DC 延长交于点 P,AD、BC 延长交于点 Q,由 Q 作该圆的两条切线 QE、QF,切点分别为 E、F, 求证:P、E、F 三点共线.(1997 年中国数学奥林匹克) 第四部分【从调和点列到完全四边形到 Apollonius 圆到极线极点】 例 1 如图,过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、PB,OP 与圆和 AB 分 别交于 I、 DE 为过 M 的任意弦。 M, 求证: 为△PDE 内心。 I (2001 年中国西部数学奥林匹克) 例 2 如图,△ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上任一点,则∠ADF=
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T

S

I A
F L E A

E M O

B

D

H

B D C K

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∠ADE(1994 年加拿大数学奥林匹克试题)

例 3 如图,完全四边形 ABCDEF 中,GJ⊥EF 与 J,则∠BJA=∠DJC(2002 年中国国家集训 队选拔考试题) 例 4.已知:△ABC 内角平分线 BE、CF 交于 I,过 I 做 IQ⊥EF 交 BC 于 P,且 IP=2IQ。求证: ∠BAC=60° 例 5. P 为圆 O 外一点,PA、PB 为圆 O 的两条切线。PCD 为任意一条割 线,CF 平行 PA 且交 AB 于 E。求证:CE=EF(2006 国家集训队培训题)
A B G D C F

例 6.过锐角 ?ABC 的顶点 A,B,C 的三条高分别交对边于点 D,E,F, 过点 D 平行于 EF 的直线分别交 AC,AB 于点 Q,R,直线 EF 交 BC 于点 P,求证: ? PQR 的外接圆过 BC 的中点。
R

E
F

A J

E C D Q P

例 7.在 ? ABC 中,经过点 B,C 的圆与边 AC,AB 的另一个交点分 别为 E,F,BE 与 CF 交于点 P,AP 与 BC 交于点 D,M 是边 BC 的中点,D,M 不重合,求证:D,M,E,F 四点共圆。

B

A

例 8.凸四边形 ABCD 内接于⊙O,延长 AB,DC 交于点 E,延长 BC,AD 交 于点 F,AC,BD 交于点 P,直线 OP 交 EF 于点 G,求证: ?AGB ? ?CGD

E F P D M C

例 9.以锐角 ? PAB 的边 AB 为直径作半圆交 PA 于点 E,交 PB 于点 D,直线 B AB 与 ED 交于点 Q, 与 BE 交于点 C, AD 直线 PC 交 AB 于 H, OE, 连 OD, HE,HD,求证: ?OEH ? ?ODH ? ?EQO
A

例 10.如图,O、I 分别为△ABC 的外心和内心,AD 是 BC 边上的高,I 在线段 OD 上。求证:△ABC 的外接圆半径等于 BC 边上的旁切圆半径。(98 年全国高 中联赛试题) 第五部分【完全四边形】 例 1. 在四边形 ABCD 中两条对角线交于点 O,两组对边的延长线分别 交于点 E, 过 O 作 EF 的平行线交 BC, 于 I, 求证: F, AD J, OI=OJ
B M

O I F B D E M C

A

IA

O I C

J D

N

E G
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F

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例 2.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F, 延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC. (99 年全国高中联赛试题)
A

例 3.设凸四边形的两组对边所在直线分别交于 E,F 两点,两对角线 的交点为 P, 过点 P 作 PO ? EF 于 O, 求证: BOC ? ?AOD (2002 ? 年国家队选拔赛题)
E

B

P C O
A

D

F

例 4.如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) D 是线段 AK 延长线上一点, , 直线 BD 与 AC 交于点 N, 直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四 点共圆. (2010 年全国高中数学联赛)
M

B

O K D N C

D
例 5.如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD的对角线 AC, BD 的中点.若

A
(2011 年全国高中数学联赛) ?BPA? ?DPA,证明: ?AQB ? ?CQB .

Q P C

B

第六部分【几个典型的问题】 一、证明四点共圆的基本方法: (1)利用圆的定义——到同一个定点的距离相等; (2)利用圆内接四边形性质定理的逆定理 ——对角互补或外角等于它的内对角; (3)利用圆周角定理的逆定理——线段的同侧张角相等; (4)利用圆幂定理的逆定理——相交弦、切割线; (5)利用托勒米定理的逆定理或西姆松定理的逆定理. 例 1.在锐角三角形 ABC 中, BC 为直径作圆与 BC 边 以 上的高 AD 及其延长线交于 M、N,以 AB 为直径作圆与 AB 边上的高 CE 及 其延长线交于 P、Q,求证:M、N、P、Q 四点共圆.(美国 1990)
P B C PA?PB=PC?PD P A ?D=?CBE 或?D+?ABC=1800 D A B E A D C D C B ?ADB=?ACB B A C PA?PB=PC?PD D

Q M

A

P B C N

二、证明三点共线的基本方法:
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(1)利用“邻角互补”或对顶角定理的逆定理; (2)利用同一法; (3)利用特殊点、线的性质——如西姆松线; (4)利用梅内劳斯定理的逆定理.; (5)利用张角关系定理 ——由 P 点出发的三条射线 PA、PB、 PC,∠APB=α,∠BPC=β, ∠APC=α+β<1800.则 A、B、C 共线的充要 条件是
sin(? ? ? ) sin ? sin ? = + . PB PC PA
A E K D F B P M I G C

D A C B ?BAD+?DAC=1800 ?BCD共线 N B M ?BCM=?DCN且MCN 共线?BCD共线 C D

P

A

B

C

A、B、C共线的充要条件 sin(?+? ) sin? sin? = + PB PC PA

例 2.设 P 是⊿ABC 的外接圆的 BC 弧上任意一点,D、E 分别是弧 AB、 弧 AC 的中点,PD 与 AB 交于 F,PE 与 AC 交于 G,I 是⊿ABC 的内心 (如图).求证:F、I、G 三点共线.

三、证明三线共点的基本方法: (1)证明三条直线通过某个特殊点; (2)证明某条直线通过另两条直线的交点; (3)转化为三点共线证明; (4)利用塞瓦定理的逆定理或西姆松定理. 例 3. AB 是半圆 O 的直径,过 A、B 引弦 AC 和 BD,并过 C、D 引圆 O 的切线交于点 P, 过 P 作 PE⊥AB 于 E,则 AC、BD、PE 三线共点.

四、与圆有关的问题 与圆有关的问题常借助全等、相似、比例线段以及与圆有关的性质——圆周角、圆心角、 弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理等. 例 4.⊙O 过△ABC 顶点 A,C,且与 AB,BC 交于 K,N(K 与 N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证:∠BMO=90° (第 26 届 IMO 第五 . 题)
K B M
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A O N G C

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第七部分 【最近研究与进展】 例 1.已知:D 是 ?ABC 边 BC 上一点, ?DAC ? ?ABD ,⊙O 过点 B,D,分别交 AB,AD 于点 E,F,直线 BF 交 DE 于 点 G,M 是 AG 的中点,求证: CM ? AO (2009 年国家集训队选拔考试题)
B

A EM G O F D

C

A

例 2.在锐角 ?ABC 中,AB>AC,M 是边 BC 的中点,P 是 ?AMC 内一点,使得 ?MAB = ?PAC ,设 ?ABC , ?ABP , ?ACP 的外心分别为 O,O1,O2,证明:直线 AO 平分线段 O1O2 (2010 年国家集训队选拔考试题)

O1 O B M P O2 C

B

例 3.设⊙O1 与⊙O2 相交,P 是其中一个交点,它们的一条 外公切线切⊙O1 与⊙O2 于 A,B,过 A 垂直于 BP 的直 线交 O1O2 于 C,求证:AP ? PC(2011 年国家集训队选 拔考试题)

A

P

O2

C

O1

D

例 4.如图,锐角 ?ABC 中, ?A ? 60? , H 为 ?ABC 的垂心,点 M 、 N
M

A

N O

分别在边 AB 、 AC 上, ?HMB ? ?HNC ? 60 , O 为 ?HMN 的外
?

H

心.点 D 与 A 在直线 BC 的同侧,使得 ?DBC 为正三角形.证明: B H 、 O 、 D 三点共线. (2012 年国家集训队选拔考试题)

C

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