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高一数学重要知识点总结之集合与函数概念


高一数学重要知识点总结之集合与函数概念
集合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素。例如:1、分散 的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、 口号等等。集合在数学概念中有好多概念,如集合论:集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集 合论。康托(Cantor,

G.F.P.,1845 年—1918 年,德国数学家先驱,是集合论的创始者,目前集合论的基本思想 已经渗透到现代数学的所有领域。

集合,在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概 念,可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起,使之成为一个整体(或称为单 体),这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集, 空集是不含任何元素的集,记做 Φ 。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子 集。子集,真子集都具有传递性。『说明一下:如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素,则 A 称作是 B 的 子集,写作 A?B。若 A 是 B 的子集,且 A 不等于 B,则 A 称作是 B 的真子集,一般写作 A?B。中学教材课本里 将?符号下加了一个≠符号(如右图),不要混淆,考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合 的真子集。』

集合的几种运算法则

并集:以属于 A 或属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的并(集),记作 A∪B(或 B∪A),读作“A 并 B”(或“B 并 A”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}交集:以属于 A 且属于 B 的元差集表示
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素为元素的集合称为 A 与 B 的交(集),记作 A∩B(或 B∩A),读作“A 交 B”(或“B 交 A”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}例如,全集 U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5}。那么因为 A 和 B 中都有 1,5, 所以 A∩B={1,5}。再来看看,他们两个中含有 1,2,3,5 这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。 那么说 A∪B={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是 A∩B。有趣的是;例如在 1 到 105 中不是 3,5,7 的整倍数的 数有多少个。结果是 3,5,7 每项减集合

1 再相乘。48 个。对称差集:设 A,B 为集合,A 与 B 的对称差集 A?B 定义为:A?B=(A-B)∪(B-A)例如: A={a,b,c},B={b,d},则 A?B={a,c,d}对称差运算的另一种定义是:A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集:定义: 集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集:令 N*是正整数的全体,且 N_n={1,2,3,??,n},如果存在 一个正整数 n,使得集合 A 与 N_n 一一对应,那么 A 叫做有限集合。差:以属于 A 而不属于 B 的元素为元素的集合 称为 A 与 B 的差(集)。记作:A\B={x│x∈A,x 不属于 B}。注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任 何集合”.补集:是从差集中引出的概念,指属于全集 U 不属于集合 A 的元素组成的集合称为集合 A 的补集,记作 CuA,即 CuA={x|x∈U,且 x 不属于 A}空集也被认为是有限集合。例如,全集 U={1,2,3,4,5}而 A={1,2,5} 那么全集有而 A 中没有的 3,4 就是 CuA,是 A 的补集。CuA={3,4}。在信息技术当中,常常把 CuA 写成~A。

集合元素的性质

1.确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同 学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性:集合中的元素 的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等 同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个 元素。4.无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。5.纯粹性:所谓集合的纯粹性,用个例子来表示。集合 A={x|x<2},集合 A 中所有的元素都要符合 x<2,这就是集合纯粹性。6.完备性:仍用上面的例子,所有符合 x<2 的数都在集合 A 中,这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

集合有以下性质

若 A 包含于 B,则 A∩B=A,A∪B=B

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C?而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,
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c?拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的, 例如:A={?}的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学 元素。

常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括 号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,??}2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共 属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x 为该集合的元 素的一般形式,P 为这个集合的元素的共同属性)如:小于 π 的正实数组成的集合表示为:{x|0<x<π }3.图示法 (Venn 图)﹕为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。集合

4.自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作 N;不包 括 0 的自然数集合,记作 N*(2)非负整数集内排除 0 的集,也称正整数集,记作 Z+;负整数集内也排除 0 的 集,称负整数集,记作 Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作 Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数 集,记作 Q。Q={p/q|p∈Z,q∈N,且 p,q 互质}(正负有理数集合分别记作 Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称 实数集,记作 R(正实数集合记作 R+;负实数记作 R-)(6)复数集合计作 C 集合的运算:集合交换律 A∩B=B∩AA∪B=B∪A 集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合

Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB 集合“容斥原理”在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问 题,我们把有限集合 A 的元素个数记为 card(A)。例如 A={a,b,c},则 card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885 年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律 A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A 集合求补律 A∪CuA=UA∩CuA=Φ 设 A 为集合,把 A 的全部子集构成的集合叫做 A 的幂集 德摩根律 A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ =E~E=Φ 特殊集合 的表示复数集 C 实数集 R 正实数集 R+负实数集 R-整数集 Z 正整数集 Z+负整数集 Z-有理数集 Q 正有理数集 Q+负有 理数集 Q-不含 0 的有理数集 Q*

高一数学重要知识点总结之一次函数
一、定义与定义式:

自变量 x 和因变量 y 有如下关系:

y=kx+b
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则此时称 y 是 x 的一次函数。

特别地,当 b=0 时,y 是 x 的正比例函数。

即:y=kx(k 为常数,k≠0)

二、一次函数的性质:

1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例,比值为 k

即:y=kx+b(k 为任意不为零的实数 b 取任何实数)

2.当 x=0 时,b 为函数在 y 轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质:

1.作法与图形:通过如下 3 个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道 2 点,并连成直线即 可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点)

2.性质:(1)在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与 y 轴交点的坐 标总是(0,b),与 x 轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k,b 与函数图像所在象限:

当 k>0 时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大;

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当 k<0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。

当 b>0 时,直线必通过一、二象限;

当 b=0 时,直线通过原点

当 b<0 时,直线必通过三、四象限。

特别地,当 b=O 时,直线通过原点 O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

这时,当 k>0 时,直线只通过一、三象限;当 k<0 时,直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式:

已知点 A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程: y1=kx1+b??①和 y2=kx2+b??②

(3)解这个二元一次方程,得到 k,b 的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用:

1.当时间 t 一定,距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度 f 一定,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft。

六、常用公式:(不全,希望有人补充)

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1.求函数图像的 k 值:(y1-y2)/(x1-x2)

2.求与 x 轴平行线段的中点:|x1-x2|/2

3.求与 y 轴平行线段的中点:|y1-y2|/2

4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

高一数学重要知识点总结之二次函数
I.定义与定义表达式

一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系:

y=ax^2+bx+c

(a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.)

则称 y 为 x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点 P(h,k)]

交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与 x 轴有交点 A(x?,0)和 B(x?,0)的抛物线]

注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
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III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x^2 的图像,

可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。

特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0)

2.抛物线有一个顶点 P,坐标为

P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当 Δ =b^2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。

3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。

当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。

当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左;

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当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右。

5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。

抛物线与 y 轴交于(0,c)

6.抛物线与 x 轴交点个数

Δ =b^2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。

Δ =b^2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。

Δ =b^2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。X 的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数 i,整个式子除以 2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程),

即 ax^2+bx+c=0

此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数 y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置 不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式

顶点坐标
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对称轴

y=ax^2

(0,0)

x=0

y=a(x-h)^2

(h,0)

x=h

y=a(x-h)^2+k

(h,k)

x=h

y=ax^2+bx+c

(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)

x=-b/2a

当 h>0 时,y=a(x-h)^2 的图象可由抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位得到,

当 h<0 时,则向左平行移动|h|个单位得到.

当 h>0,k>0 时,将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位,再向上移动 k 个单位,就可以得到 y=a(x-h)^2+k 的图象;
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当 h>0,k<0 时,将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图 象;

当 h<0,k>0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象;

当 h<0,k<0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象;

因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为 y=a(x-h)^2+k 的形式,可确定其顶 点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下,对称轴是直线 x=-b/2a, 顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0),若 a>0,当 x≤-b/2a 时,y 随 x 的增大而减小;当 x≥-b/2a 时,y 随 x 的增 大而增大.若 a<0,当 x≤-b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x≥-b/2a 时,y 随 x 的增大而减小.

4.抛物线 y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与 y 轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与 x 轴交于两点 A(x?,0)和 B(x?,0),其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离 AB=|x?-x?|

当△=0.图象与 x 轴只有一个交点;

当△<0.图象与 x 轴没有交点.当 a>0 时,图象落在 x 轴的上方,x 为任何实数时,都有 y>0;当 a<0 时,图 象落在 x 轴的下方,x 为任何实数时,都有 y<0.

5.抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x=-b/2a 时,y 最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

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顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综 合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

高一数学重要知识点总结之反比例函数
反比例函数

形如 y=k/x(k 为常数且 k≠0)的函数,叫做反比例函数。

自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。

反比例函数图像性质:

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数,有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两 个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。

如图,上面给出了 k 分别为正和负(2 和-2)时的函数图像。

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当 K>0 时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数

当 K<0 时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。

知识点:

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线 y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即 y=k/(x±m)m 为常数),就相当于将双曲线图象 向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)

高一数学重要知识点总结之对数函数
对数函数

对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于 a 的规定,同样适用于对数 函数。

右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形:

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形,因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于 0 的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1,0)这点。

(4)a 大于 1 时,为单调递增函数,并且上凸;a 小于 1 大于 0 时,函数为单调递减函数,并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

高一数学重要知识点总结之指数函数、函数奇偶性
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指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得 x 能够取整个实数集合为定义 域,则只有使得

如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到:

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是 a 大于 0,对于 a 不大于 0 的情况,则必然使得函 数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于 0 的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0,则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律,就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中(当然不能等于 0),函数的曲线从分 别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增 函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。

(7)函数总是通过(0,1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

注图:(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地,对于函数 f(x)
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(1)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个 x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函数 f(x)既是奇函数 又是偶函数,称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个 x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数 f(x)既不是奇 函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇 (或偶)函数。

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过 化简、整理、再与 f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征:

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于 y 轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

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3.奇偶函数运算

(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

高一数学重要知识点总结之函数的定义域
定义域

(高中函数定义)设 A,B 是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A--B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x 属于集合 A。其中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集 合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数 法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

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关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可 置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一 手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此 薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的 值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的 奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题 有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深 化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个 不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满 足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范 围”,而“范围”却不一定是“值域”。

高一数学重要知识点总结之幂函数
定义:

形如 y=x^a(a 为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所 有实数;如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须根[据 q 的奇偶性来确定,即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等 于 0 的所有实数。当 x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域

性质:

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对于 a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

首先我们知道如果 a=p/q,q 和 p 都是整数,则 x^(p/q)=q 次根号(x 的 p 次方),如果 q 是奇数,函数的定义 域是 R,如果 q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数 n 是负整数时,设 a=-k,则 x=1/(x^k),显然 x≠0, 函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是 0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

排除了为 0 与负数两种可能,即对于 x>0,则 a 可以是任意实数;

排除了为 0 这种可能,即对于 x<0 和 x>0 的所有实数,q 不能是偶数;

排除了为负数这种可能,即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数,a 就不能是负数。

总结起来,就可以得到当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:

如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数;

如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定,即如果同时 q 为偶 数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的 所有实数。

在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。

在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。

而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域。

由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到:

(1)所有的图形都通过(1,1)这点。

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(2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而 a 小于 0 时,幂函数为单调递减函数。

(3)当 a 大于 1 时,幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时,幂函数图形上凸。

(4)当 a 小于 0 时,a 越小,图形倾斜程度越大。

(5)a 大于 0,函数过(0,0);a 小于 0,函数不过(0,0)点。

(6)显然幂函数无界。

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