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[折纸]研究非特殊角折法——以等分正七边形中心角为例


[折纸]研究非特殊角折法—— 以等分正七边形中心角为例 姓名:柳梓轩、高含 性别:女 学校:北京市第十四中学 年级:高二 指导教师:张敏 准考证号:0542、0543 本人郑重申明: 所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的 指导下独立进行研究的成果,除文中已经注明引用的内容外,本 文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 论文作者签名:柳梓轩、高含 2016 年 3 月 26 日 [折纸]研究非特殊角折法——以等分正七边形中心角为例 一、摘要: 折纸,看似简单,实则蕴含着非常丰富有趣的数学规则,小到等分一次边角,大到解决 未解难题。 在之前的研究中,我们重点从边(三角函数正切值,实操性)与角(拼角)两方面入手, 得到 2π /7≈51.4°的近似解,但由于上述方法的诸多局限性繁复性,我们对此进行了改良。 我们发现所有能尺规作图解决的问题同样也能借助折纸解决,故又借助平面几何的相关 知识,在提高可操作性的同时,完善了 2π /7 的精度,原理、折法我们会在第二部分做具体 展示。 之后随着研究的深入,我们从第一部分三角函数与边角的紧密联系中得到启迪,并结合 折纸特性(兼具圆规与度量的双重作用) ,猜想或许折纸可以解决尺规作图都不能解决的问题 (诸如正七、正十一、正十三、正十九边形等无法用尺规作图做出精确解的角度) 。于是我们 重点以正七边形中心角为例展开研究,大胆的尝试构建方程(令θ =2π /7,使 cos3θ =cos(2 π -4θ )),并运用折纸的知识,证明了理论上折纸可以折出 2π /7 精确角度,详见第三部 分。 在折出 2π /7 角度后,我们想可否类比第三部分方法,把其推广到任意边形中心角上, 这将是我们下一阶段的研究重点。 二、关键词:折纸;正七边形;近似;平面几何;三角函数;2/7π 精确角度 三、问题提出:对于研究如何折七瓣花这个想法,其实是在和同桌一同剪窗花时产生的,我 们二人想做一套从一瓣到十瓣的窗花作品,可在要折第七瓣时犯了难,我们通过各种渠道查 阅资料,却无一发现有过记载,这使我们越发好奇,于是着手研究如何折七瓣窗花(目标: 七边形中心角) 。 四、第一部分(近似-初步思路) (一)研究过程 【思路 1】从边入手,运用三角函数,折出所需角度。 众所周知,在折纸时做到一个角的多等分很难,而一条边的就容易多了,所以我想可不 可以从边上找突破口,解决问题。 这样的话另外一个问题又来了,如何将边与角联系在一起呢?我想到了三角函数,它将 边与角紧紧联系在一起。我只要计算出所需角的三角函数值,就可以通过自己折出“单位 1” 折出比值,从而得解。 【过程 1】 1.要折七瓣花,我们首先要折出正七边形中心角,计算可得中心角 ? ? 360°/7=51.428571 2.我们选用三角函数 tan 作为本题边与角的连接纽带,其选择原因非常简单,一个角度 的 tan 值只需要一个直角和它邻边之比,方便我们折纸操作。计算可得 tan360 ° /7 ≈ 1.253960338,由于计算结果是无限小数,我们只能取它的近似值 1.25 也就是 5/4。 3.我们先折一个横向的“1 单位长度” , 再利用一个角为 90°,翻折将角平分得到 45°, 从而在右下角得到一个小正方形,沿着痕迹折 出纵向“1 单位长度” 。 之后按照如下所示比例折出 4?5 小方块格 5 个单位长度 4 对角线 个 单 位 长 度 1 2 3 沿对角线对折,测量角度,约

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