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2016年大连市高三双基测试数学(理科)参考答案及评分标准


2016 年大连市高三双基测试

数学(理科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.C 二.填空题 13. y ? ?

9.B 10.C 11.D 12.B

2 x 2

14. ?15

15. ?

? 2, n ? 1 n ?1 ?2 , n ? 2

16. 34?

三.解答题 17.解: (Ⅰ)由题可得

??
12

? ? ? 2 k? ?

? 7??
2 , 12

? ? ? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,……………………3 分

2? 2? (k ? Z ) ,∵ | ? |? ? ,∴ ? ? ? . ………………………6 分 3 3 2n? 2? 2n? 2? ? )(n ? N * ) ,数列 {2sin( ? )}(n ? N * ) 的周期为 3 . (Ⅱ)∵ an ? 2n sin( 3 3 3 3
解得 ? ? 2 , ? ? 2k? ? 前三项依次为 0, 3, ? 3 ,…………………………………………………………………9 分 ∴ a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ? (3n ? 2) ? 0 ? (3n ?1) ? 3 ? 3n ? (? 3) ? ? 3 (n ? N ) ,
*

∴ S30 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ????? (a28 ? a29 ? a30 ) ? ?10 3 . ………………………………12 分

第 1 页 共 7 页

18. (Ⅰ)频率分布直方图如下图所示,…………………………………………………4 分 甲 的 中 位 数 在 区 间 [2,3) 内 , 乙 的 中 位 数 在 区 间 [1, 2) 内 , 所 以 甲 的 中 位 数 大. ……………………………………………………6 分

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 O
(Ⅱ)

频率 组距

1

2

3

4

5 消费金额

(单位 :千元 )

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 O

频率 组距

1

2

3

4

5 消费金额

(单位 :千元 )

(ⅰ)估计在甲电商购物的消费者中,购物小于 3 千元的概率为

3 ;…………………8 分 5

(ⅱ)由题可得购物金额小于 3 千元人数 X ~ B (5, ) ,………………………………10 分

3 5

3 3 2 6 ? 3, D( X ) ? 5 ? ? ? .……………………………………………12 分 5 5 5 5 19. (Ⅰ)法一:过 E 作 EG / / FD 交 AP 于 G ,连接 CG , 连接 AC 交 BD 于 O ,连接 FO . ∵ EG / / FD , EG ? 面 BDF , FD ? 面 BDF , P ∴ EG / / 面 BDF , 又 E G ? C E? E , CE // 面 BDF ,
∴ E( X ) ? 5?

EG, CE ? 面 CGE ,
∴面 CGE / / 面 BDF ,………………………………3 分 又 CG ? 面 CGE ,∴ CG / / 面 BDF , 又面 BDF ? 面 PAC ? FO , CG ? 面 PAC , ∴ FO / / CG . 又 O 为 AC 中点,∴ F 为 AG 中点,∴ FG ? GP ? 1 , ∴ E 为 PD 中点, PE : ED ? 1:1 .…………………6 分 法二: 取 BC 中点 G ,连接 AG ,∵ ABCD 是 ?ABC ? 60 的菱形,
?

G F A O B C

E

D

z P E F A D y

???? ???? ??? ? ∴ AG ? AD ,又 PA ? 面 ABCD ,∴分别以 AG 、 AD 、 AP
为 x 、 y 、 z 轴正方向建立空间直角坐标系 A ? xyz 如图所示.
B G x

C

第 2 页 共 7 页

则 D(0,3,0), B(

3 3 3 3 3 3 , ? ,0), C ( , ,0), F (0,0,1), P(0,0,3), 2 2 2 2 ??? ? 3 3 9 , ? , 0) ,…………………………………………………2 分 2 2

∴ DF ? (0, ?3,1), DB ? (

????

设面 BDF 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

?

? ???? ? ?3 y ? z ? 0 ? ?n ? DF ? 0 ? 则由 ? ? ??? 可得 ? 3 3 ,不妨令 z ? 3 ,则解得 x ? 3, y ? 1, ? 9 x ? y ? 0 n ? DB ? 0 ? ? ? ? 2 2
∴ n ? ( 3,1,3) . ……………………………………………………………………………4 分 设 PE ? ? PD ? (0,3?, ?3?) ,则 CE ? CP ? PE ? (? ∵ CE // 面 BDF ,∴ n ? CE ? 0 ,即 ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3 3 3 , ? ? 3? ,3 ? 3? ) , 2 2

? ? ???

1 9 3 ? ? 3? ? 9 ? 9? ? 0 ,解得 ? ? . 2 2 2

∴ PE : ED ? 1:1 .……………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ) 法一 : 过点 B 作 BH ? 直线 DA 交 DA 延长线于 H ,过点 H 作 HI ? 直线 DF 交 DF 于 I ,……………………………………………8 分 P ∵ PA ? 面 ABCD ,∴面 PAD ? 面 ABCD , ∴ BH ? 面 PAD ,由三垂线定理可得 DI ? IB , I F ∴ ?BIH 是二面角 B ? DF ? A 的平面角.

3 3 3 9 , HD ? , 由题易得 AH ? , BH ? 2 2 2
B

H

A

D

C



HI AF 1 9 10 ? ? ,∴ HI ? , HD DF 20 10

∴ tan ?BIH ?

3 3 20 30 ,…………………………………………………10 分 ? ? 2 9 10 3
30 .……………………………………………12 分 3

∴二面角 B ? DF ? A 的大小为 arctan

第 3 页 共 7 页

法二: 接(Ⅰ)法二,显然面 PAD 的一个法向量 m ? (1,0,0) ,………………………8 分

?

? ? m?n 39 ? ? ∴ cos ? m, n ?? ? .………………………………………………………10 分 ? ? | m | ? | n | 13
∴二面角 B ? DF ? A 的大小为 arccos

39 .…………………………………………12 分 13

20.解: (Ⅰ)法一: A 点横坐标为 c ,代入椭圆得

c2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

解得 | y |?

b2 b2 3 ?| AF2 | ,∴ ? c .……………………………………………………2 分 a a 6
c 3 3 3 .…………………4 分 ac ,设 ? e ,∴ e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? a 6 6 2

即a ?c ?
2 2

法二:直角 ?AF1 F2 中, | F1 F2 |? 2c,| AF2 |?

1 3 c ,∴由勾股定理得 | AF1 |2 ? c 2 ? 4c 2 ,即 12 6

| AF1 |?

7 3 c ,……………………………………………………………………………2 分 6 7 3 3 4 3 c 3 3 c? c? c ,∴ ? ,即 e ? ……………………………4 分 6 6 3 a 2 2

∴ 2a ?

(Ⅱ)设 M (0, b), N (0, ?b), P( x0 , y0 ) , 则 MP 方程为 y ?

y0 ? b bx0 x ? b ,令 y ? 0 得到 R 点横坐标为 ;…………………6 分 x0 b ? y0

NP 方程为 y ?

y0 ? b bx0 x ? b ,令 y ? 0 得到 Q 点横坐标为 ;……………………8 分 x0 b ? y0
2 b 2 x0 |?| 2 b 2 ? y0

? OR ? OQ ?|

a 2b 2 (

2 b 2 ? y0 ) b2 |? a 2 ? 4, 2 b 2 ? y0

第 4 页 共 7 页

∴ c 2 ? 3, b2 ? 1,∴椭圆 C 的方程为 21. 解: (Ⅰ) 法一: f '( x) ? e x ? a .

x2 ? y 2 ? 1 .………………………………………12 分 4

(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ,∴ f ( x) ? 0 在 x ? R 上恒成立;……………………1 分 (2)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 可得 x ? ln a , f '( x) ? 0 可得 x ? ln a .∴ f ( x ) 在 (??,ln a) 为减 函数,在 (ln a, ??) 为增函数.∴ f ( x) ? f (ln a ) ? a ? a ln a ? 要使得 f ( x) ? 0 在 x ? R 上恒成立,必有 a ? a ln a ?

a , 2

a ? 0 ,即 a ? e . 2

综上实数 a 的取值范围为 [0, e ] .…………………………………………………………4 分 法二:若 f ( x) ? 0 在 x ? R 上恒成立,即 e ? a ( x ? ) .
x

1 2

1 x 时,∵ a ? 0 , e ? 0 ,∴原不等式显然成立;…………………………1 分 2 1 x e ( x ? ) x x 1 e e 2 (2)当 x ? ? 时,有 a ? ,设 h ( x ) ? ,则 h '( x) ? . 1 1 1 2 x? x? ( x ? )2 2 2 2 1 1 1 ∴ h '( x ) 在 ( , ??) 上大于 0 ;在 ( ? , ) 上小于 0 . 2 2 2 1 1 1 ∴ h( x) 在 ( , ??) 上单调递增;在 ( ? , ) 上单调递减. 2 2 2 1 h( x) min ? h( ) ? e ,∴ a ? e . 2
(1) 当 x ? ? 综上:实数 a 的取值范围为 [0, e ] .………………………………………………………4 分 (Ⅱ)设 g ( x) ? ex ?

1 e ? ln x( x ? 0) ,则 g '( x) ? e ? ( x ? 0) , x 2

g '( x) ? 0 ,可得 x ?

1 1 ; g '( x) ? 0 ,可得 0 ? x ? . e e

第 5 页 共 7 页

∴ g ( x) 在 (

1 1 , ??) 上单调递增;在 (0, ) 上单调递减. ……………………………8 分 e e

∴ g ( x) ? g (

1 3? e ,∵ e ? 1.64872 ??? ,∴ e ? 1.6 ,∴ g ( x) ? 2.3 .…10 分 )? 2 e
x

由(Ⅰ)可得 e ? ex ?

e x x ,∴ e ? ln x 的最小值大于 2.3 ,若 e ? ln x ? m 对任意 x ? 0 恒 2

成立,则 m 的最大值一定大于 2.3 .……………………………………………………12 分 22. (Ⅰ)证明:由题可知 DA, BC 为⊙ O 的切线. ∵ ?DOC ? 90 ,∴ ?AOD ? ?BOC ? 90 ;∵ ?OBC ? 90 ,∴ ?OCB ? ?BOC ? 90 ;
? ? ? ?

∴ ?AOD ? ?OCB ,∴ ?AOD ∽ ?BCO ,∴ 又∵ AO ? OB ,∴

OC BC ? ,…………………………2 分 OD OA

OC BC ? ,∴ Rt ?OCD ∽ Rt ?BCO ,∴ ?OCD ? ?BCO , OD OB ∴ CO 是 ?BCD 的平分线,∴圆心 O 到 CD 的距离等于半径 G A OB ,∴ CD 是⊙ O 的切线.………………………………5 分 1 1 ? ? 1 .…………6 分 (Ⅱ)若 DA ? CB ,显然可得 CE DE O 若 DA ? CB ,不妨设 DA ? CB . H F E 过 E 作 EF ? AB 交 AB 于 F , 过 C 作 CG ? AD 交 AD 于 G , 交 EF 于 H .
B C

D

由(Ⅰ)可得 DA ? DE , CB ? CE ,在 ?CGD 中,

EH CE 2 ? CE CE 1 1 ? ? ? ?1. ,即 ,化简得 GD CD DE ? CE CE ? DE CE DE 1 1 ? ? 1 .………………………………………………………………………10 分 综上: CE DE

2 2 2 23.解: (Ⅰ)将 C 1 化为普通方程为 ( x ? a) ? y ? a ,其极坐标方程为 ? ? 2a cos ? ,由题可

得当 ? ? 0 时, | OA |? ? ? 1 ,∴ a ?

1 .……………………………………………2 分 2

2 2 2 将 C2 化为普通方程为 x ? ( y ? b) ? b ,其极坐标方程为 ? ? 2b sin ? ,由题可得当 ? ?

?
2

时,

| OB |? ? ? 2 ,∴ b ? 1 .………………………………………………………………4 分
第 6 页 共 7 页

(Ⅱ)由 a , b 的值可得 C 1 , C2 的方程分别为 ? ? cos ? , ? ? 2sin ? , ∴ 2 | OA |2 ? | OA | ? | OB |? 2cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2? ? 1

? 2 sin(2? ? ) ? 1 ,………………………………………………………………………6 分 4 ? ? 5? ? ? ? ? ? 2? ? ? [ , ],? 2 sin(2? ? ) ? 1 最 大 值 为 2 ? 1 , 当 2? ? ? , ? ? 时 取 4 4 4 4 4 2 8
到.……………………………………………………………………………………………10 分 24. (Ⅰ)∵ a ? 0 ,∴ f (0) ?| a | ? | ? 解得 a ? ?2 或 ?

?

1 1 5 5 |? ? a ? ? ,即 a 2 ? a ? 1 ? 0 , a a 2 2

1 ? a ? 0 .…………………………………………………………………4 分 2

1 a ? ? 3x ? a ? a , x ? ? 2 ? 1 ? 1 1 a (Ⅱ) f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? |? ?? x ? a ? , ? x ? ? , a ? a a 2 1 1 ? ? ?3 x ? a ? a , x ? a ?
…………………………………………………………………………………………………6 分

a a 1 1 a a 1 时, f ( x) ? ? ? ;当 ? x ? ? 时, f ( x) ? ? ? ; 2 2 a a 2 2 a 1 2 当 x ? 时, f ( x ) ? ? a ? .………………………………………………………………8 分 a a
当x?? ∴ f ( x)min ? ? ∴ f ( x) ?

a 1 a 1 a 1 ? ? 2 (? ) ? (? ) ? 2 ,当且仅当 ? ? ? 即 a ? ? 2 时取等号, 2 a 2 a 2 a

2 .………………………………………………………………………………10 分

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