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高考数学必会题型:专题8《概率与统计》第37练


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第 37 练

归纳与类比推理

题型一 利用归纳推理求解相关问题 例 1 如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第 1 个图形用了 3 根火柴, 第 2 个图形用了 9 根火柴,第 3 个图形用了 18 根

火柴?,则第 2 014 个图形用的火柴根数 为________.

破题切入点 观察图形的规律,写成代数式归纳可得. 答案 3 021×2 015 解析 由题意,第 1 个图形需要火柴的根数为 3×1; 第 2 个图形需要火柴的根数为 3×(1+2); 第 3 个图形需要火柴的根数为 3×(1+2+3); ?? 由此,可以推出,第 n 个图形需要火柴的根数为 3×(1+2+3+?+n). 所以第 2 014 个图形所需火柴的根数为 3×(1+2+3+?+2 014) 2 014×?1+2 014? =3× =3 021×2 015. 2 题型二 利用类比推理求解相关问题

例 2 如图所示,在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有 勾股定理 c2=a2+b2.空间中的正方体, 用一平面去截正方体的一角, 截下的是一个三条侧棱 两两垂直的三棱锥,若这三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1,S2,S3,截面面积为 S,类 比平面中的结论有________. 破题切入点 由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比.
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2 2 答案 S2=S2 1+S2+S3

解析 建立从平面图形到空间图形的类比, 在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性 质时, 注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质, 平面几何中线的性质可类 比推理空间几何中面的性质, 平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质. 所以三
2 2 角形类比空间中的三棱锥,线段的长度类比图形的面积,于是作出猜想:S2=S2 1+S2+S3.

总结提高 (1)归纳推理的三个特点 ①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象, 归纳所得到的结论是未知的一般现象, 该结论超 越了前提所包含的范围; ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质, 结论是否准确, 还需要经过逻辑推理和实践检验, 因此归纳推理不能作为数学证明的工具; ③归纳推理是一种具有创造性的推理, 通过归纳推理得到的猜想, 可以作为进一步研究的起 点,帮助发现问题和提出问题. (2)类比推理的一般步骤 ①定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ②推测,即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ③检验,即检验猜想的正确性,要将类比推理运用于简单推理之中,在不断的推理中提高自 己的观察、归纳、类比能力.

3 xx 4 1 1 4 x x 4 1.已知 x>0,观察不等式 x+ ≥2 x·=2,x+ 2= + + 2≥3 ·· =3,?,由此可 x x x 2 2 x 2 2 x2 a 得一般结论:x+ n≥n+1(n∈N*),则 a 的值为________. x 答案 nn 解析 根据已知,续写一个不等式: 4 x x x 33 33 x x x 33 x+ 3 = + + + 3≥4 ··· =4,由此可得 a=nn. x 3 3 3 x 3 3 3 x3 → → → 2.在平面内点 O 是直线 AB 外一点,点 C 在直线 AB 上,若OC=λOA+μOB,则 λ+μ=1; 类似地,如果点 O 是空间内任一点,点 A,B,C,D 中任意三点均不共线,并且这四点在 → → → → 同一平面内,若DO=xOA+yOB+zOC,则 x+y+z=________. 答案 -1 → → → → → → 解析 在平面内,由三角形法则,得AB=OB-OA,BC=OC-OB. 因为 A,B,C 三点共线,
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→ → 所以存在实数 t,使AB=tBC, → → → → 即OB-OA=t(OC-OB), 1→ 1 → → 所以OC=- OA+( +1)OB. t t → → → 因为OC=λOA+μOB, 1 1 所以 λ=- ,μ= +1, t t 所以 λ+μ=1. → → → → 类似地,在空间内可得OD=λOA+μOB+ηOC,λ+μ+η=1. → → 因为DO=-OD,所以 x+y+z=-1. 3.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,?,则 52 014 的末四位数字为________. 答案 5625 解析 由观察易知 55 的末四位数字为 3125,56 的末四位数字为 5625,57 的末四位数字为

8125,58 的末四位数字为 0625,59 的末四位数字为 3125,故周期 T=4.又由于 2 014=503×4 +2,因此 52 014 的末四位数字是 5625. 4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+ b10=________. 答案 123 解析 记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4; f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11; f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76; f(10)=f(8)+f(9)=123,即 a10+b10=123. 1 5.已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是 3 ________. 1 答案 正四面体的内切球的半径是其高的 4 解析 设正四面体的每个面的面积是 S,高是 h,内切球半径为 R, 1 1 由体积分割可得: SR×4= Sh, 3 3 1 所以 R= h. 4 6.观察下列等式:

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(1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ? 照此规律,第 n 个等式可为______________. 答案 (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1) 解析 由已知的三个等式左边的变化规律, 得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)?(n+n), 由已 知 的 三 个 等 式 右 边 的 变 化 规 律 , 得 第 n 个 等 式 右 边 为 2n 与 n 个 奇 数 之 积 , 即 2n×1×3×?×(2n-1). 7 . (2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 n?n+1? 1 2 1 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以 2 2 2 下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n2-n ??????????????? 可 以 推 测 N(n , k) 的 表 达 式 , 由 此 计 算 N(10,24) =

________________________________________________________________________. 答案 1 000 k-2 2 4-k 解析 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)= n+ n, 2 2 24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10=1 100-100=1 000. 2 2 8.两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin α+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时,有相 2π 4π 应正确关系为 sin α+sin(α+ )+sin(α+ )=0.由此可以推知:四点等分单位圆时的相应正 3 3 确关系为________________________. π 3π 答案 sin α+sin(α+ )+sin(α+π)+sin(α+ )=0 2 2 π 解析 由类比推理可知,四点等分单位圆时,α 与 α+π 的终边互为反向延长线,α+ 与 α 2 3π + 的终边互为反向延长线,如图. 2

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9.(2013· 陕西)观察下列等式 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, ? 照此规律,第 n 个等式可为________.
+ + n?n+1? 答案 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1· 2

解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第 n 个等式左边有 n 项,指数都是 2,且正、 负相间,所以等式左边的通项为(-1)n 1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间,其绝对值


分别为 1,3,6,10,15,21, ?.设此数列为{an}, 则 a2-a1=2, a3-a2=3, a4-a3=4, a5-a4=5, ?, n?n+1? an-an-1=n,各式相加得 an-a1=2+3+4+?+n,即 an=1+2+3+?+n= .所以 2 + + n?n+1? 第 n 个等式为 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1 . 2 10.如图 1 是一个边长为 1 的正三角形,分别连结这个三角形三边中点,将原三角形剖分成 4 个三角形(如图 2),再分别连结图 2 中一个小三角形三边的中点,又可将原三角形剖分成 7 个三角形(如图 3),?,依此类推.设第 n 个图中原三角形被剖分成 an 个三角形,则第 4 个 图中最小三角形的边长为________;a100=________.

答案

1 298 8

解析 由三角形的生成规律得, 后面的每一个图形中小三角形的边长均等于前一个图形中小 1 1 三角形边长的 ,即最小三角形的边长是以 1 为首项, 为公比的等比数列,则第 4 个图中最 2 2 1 1 小三角形的边长等于 1× 3= ,由 a2-a1=a3-a2=?=an-an-1=3 可得,数列{an}是首项 2 8 为 1,公差为 3 的等差数列,则 a100=a1+99×3=1+297=298. 11.观察下列不等式:
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1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个 不等式为________. ... 1 1 1 1 1 11 答案 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 解析 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等, 且每行右端分数的分子构成等差数列. 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 12.(2014· 陕西)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是____________. 答案 F+V-E=2 解析 观察 F,V,E 的变化得 F+V-E=2.

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