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河北省唐山市2013—2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题及答案


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唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一学期期末考试

理科数学参考答案
一、选择题 A 卷:ADDCC B 卷:BBDCC 二、填空题 (13)8 三、解答题 (17)解: ABCDB ABCDB (14)45 BA DD (15)

-12 (16)(2n+1)3n
-1

B+C ?-A A (Ⅰ)因为 A+B+C=?,所以 sin 2 =sin 2 =cos 2 , A 7 7 所以由已知得 4cos2 2 -cos 2A= 2 ,变形得 2(1+cos A)-(2cos2A-1)= 2 , 1 整理得(2cos A-1)2=0,解得 cos A= 2 . ? 因为 A 是三角形内角,所以 A= 3 . ?5 分 1 1 1 1 3 3 (Ⅱ)△ABC 的面积 S= 2 bcsin A= 2 ×sin B×sin C× 2 =4sin Bsin C. 设 y=4sin Bsin C, 2? 则 y=4sin Bsin 3 -B =2 3sin Bcos B+2sin2B ? = 3sin 2B+1-cos 2B=2sin 2B- 6 +1. ?9 分 2? ? ? ? ? ? ? 5? 因为 0<B< 2 ,0< 3 -B< 2 ,所以 6 <B< 2 ,从而 6 <2B- 6 < 6 , 3 ? 故当 B= 3 时,S 的最小值为 3 . ?12 分 (18)解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O,连结 OD,OP. 因为 PA=PB,所以 AB⊥OP. 又 AB⊥PD,OP∩PD=P,所以 AB⊥平面 POD, 因为 OD?平面 POD,所以 AB⊥OD. ?3 分

(

)

(

)

z P

A D B x O y C

由已知,BC⊥PB,又 OD∥BC,所以 OD⊥PB, 因为 AB∩PB=B,所以 OD⊥平面 PAB. 又 OD?平面 ABC,所以平面 PAB⊥平面 ABC.

?5 分

5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,OB,OD,OP 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,→ OB 的方向为 x 轴的方向,|→ OB |为单位长,建立如图所示的空间直 角坐标系 O-xyz. 由题设知 B (1,0,0),P (0,0, 3),D (0,1,0),C (1,2,0). 则→ BD =(-1,1,0),→ PD =(0,1,- 3),→ DC =(1,1,0). 设 m=(x,y,z)是平面 PDB 的法向量,则

? ?m·→ BD =0, ?-x+y=0, ? 即? 可取 m=( 3, 3,1). → ?y- 3z=0. ? m · PD = 0 , ?

?9 分

同理可取平面 PDC 的法向量 n=( 3,- 3,-1). m·n 1 故 cos ?m,n?= =- 7 . ?11 分 |m||n| 1 所以二面角 B-PD-C 的余弦值为- 7 . ?12 分 (19)解: 记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件 A, “初查阶段乙类的一个指标项合格” 为事件 B, “复查阶段一个指标项合格”为事件 C,则 2 1 P (A)= 3 ,P (B)=P (C)= 2 . (Ⅰ)记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件 D,则 5 3 2 - P (D)=[P (A)]4[P (- B )]2[P (C)]2+C3 4[P (A)] [P ( A )][P (B)] [P (C)]= 81. ?4 分 (Ⅱ)X 的可能取值为-1,0,8,18. 4 P (X=18)=[P (A)]4[P (B)]2=81, 8 - P (X=8)=[P (A)]4C1 2[P (B)][P ( B )]= 81, 5 P (X=0)=P (D)=81, 64 P (X=-1)=1-P (X=5)-P (X=2)-P (X=0)=81. X 的分布列为 X 0 8 18 -1 64 5 8 4 P ?10 分 81 81 81 81 64 5 8 4 8 X 的数学期望 E (X)=-1×81+0×81+8×81+18×81= 9 (万元) . (20)解: (Ⅰ)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0. 其中 Δ=4p2k2+16p>0 设 A (x1,y1),B (x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p. 2 2 x1 x2 → OA ·→ OB =x1x2+y1y2=x1x2+2p·2p=-4p+4. ?12 分 ?2 分

?4 分

6

1 由已知,-4p+4=2,p= 2 . 所以抛物线 E 的方程 x2=y. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1+x2=k,x1x2=-2. 2 y1+2 x2 1+2 x1-x1x2 k1= x = x = x =x1-x2,同理 k2=x2-x1, 1 1 1 2 2 2 2 所以 k2 1+k2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2) =-8x1x2=16. (21)解: (Ⅰ)设 g (x)=xex+1,则 g ?(x)=(x+1)ex. 当 x∈(-∞,-1)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减; 当 x∈(-1,+∞)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增. - 所以 g (x)≥g (-1)=1-e 1>0. x 又 e >0,故 f (x)>0. ex(1-ex) f ?(x)= x . (xe +1)2 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. 所以 f (x)≤f (0)=1. 综上,有 0<f (x)≤1. 1 (Ⅱ) (1)若 a=0,则 x>0 时,f (x)<1= 2 ,不等式不成立. ax +1 1 1 (2)若 a<0,则当 0<x< 时, 2 >1,不等式不成立. ax +1 -a ?6 分 ?10 分 ?12 分

?2 分

?5 分 ?6 分 ?7 分

1 (3)若 a>0,则 f (x)> 2 等价于(ax2-x+1)ex-1>0. ① ax +1 设 h (x)=(ax2-x+1)ex-1,则 h ?(x)=x(ax+2a-1)ex. 1 若 a≥ 2 ,则当 x∈(0,+∞),h ?(x)>0,h (x)单调递增,h (x)>h (0)=0.?9 分 1-2a 1 若 0<a< 2 ,则当 x∈ 0, a ,h ?(x)<0,h (x)单调递减,h (x)<h (0)=0. 1 于是,若 a>0,不等式①成立当且仅当 a≥ 2 . ?11 分 1 综上,a 的取值范围是 2 ,+∞ . ?12 分 (22)证明: (Ⅰ)连结 BD. 因为 AD⊥AB,所以 BD 是⊙O 的直径. 因为 AE=AF,所以∠FBA=∠EBA. 又因为 AB=AC,所以∠FBA=∠C. ?4 分 又因为∠C=∠D,∠D+∠ABD=90?, 所以∠FBA+∠ABD=90?,即∠FBD=90?, 所以 BF 是⊙O 的切线. ?7 分

(

)

[

)

7

B O D C E A F

(Ⅱ)由切割线定理,得 BF =AF·DF. 因为 AF=AE,BE=BF, 所以 BE2=AE·DF. ?10 分 (23)解: (Ⅰ)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程 为 C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2. ?4 分 (Ⅱ)设 P,Q,R 的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则 由|OQ|·|OP|=|OR|2 得 ρρ1=ρ2 ?6 分 2. 2 又 ρ2=2,ρ1= , cos θ+sin θ 2ρ 所以 =4, cos θ+sin θ 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0) . ?10 分 (24)解: 1 1 1 3 3 (Ⅰ)因为 x+y+z≥3 xyz>0, x + y + z ≥ 3 >0, xyz 1 1 1 1 1 1 所以(x+y+z) x + y + z ≥9,即 x + y + z ≥3, 1 1 1 当且仅当 x=y=z=1 时, x + y + z 取最小值 3. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x +y +z +(x +y )+(y +z )+(z +x ) (Ⅱ)x +y +z = 3 2 2 2 x +y +z +2(xy+yz+zx) (x+y+z)2 ≥ = =3. 3 3 2 2 2 2 2 2 2 又 x +y +z -9=x +y +z -(x+y+z) =-2(xy+yz+zx)<0, 所以 3≤x2+y2+z2<9.

2

(

)

?5 分

?10 分

8


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