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第九章 学案45


学案 45 法拉第电磁感应定律

自感现象

一、概念规律题组 1.一闭合线圈放在随时间均匀变化的磁场中,线圈平面和磁场方向垂直.若想使线圈 中的感应电流增强一倍,下述方法可行的是( ) A.使线圈匝数增加一倍 B.使线圈面积增加一倍 C.使线圈匝数减少一半 D.使磁感应强度的变化率增大一倍 2.单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴垂直于

磁场,若线圈所围面积的磁通量 随时间变化的规律如图 1 所示,则 O~D 过程中( )

图1 A.线圈中 O 时刻感应电动势最大 B.线圈中 D 时刻感应电动势为零 C.线圈中 D 时刻感应电动势最大 D.线圈中 O 至 D 时间内平均感应电动势为 0.4 V 3.如图 2 所示的电路中,A、B 是完全相同的灯泡,L 是电阻不计的电感线圈,下列说 法中正确的是( )

图2 A.当开关 S 闭合时,A 灯先亮,B 灯后亮 B.当开关 S 闭合时,B 灯先亮,A 灯后亮 C.当开关 S 闭合时,A、B 灯同时亮,电路稳定后,B 灯更亮,A 灯熄灭 D.当开关 S 闭合时,A、B 灯同时亮,以后亮度都不变 二、思想方法题组 4.如图 3 甲、乙所示电路中,电阻 R 和电感线圈 L 的电阻都很小.接通 S,使电路达 到稳定,灯泡 A 发光,则( )

图3

A.在电路甲中,断开 S,A 将渐渐变暗 B.在电路甲中,断开 S,A 将先变得更亮,然后渐渐变暗 C.在电路乙中,断开 S,A 将渐渐变暗 D.在电路乙中,断开 S,A 将先变得更亮,然后渐渐变暗

图4 5.如图 4 所示,两根相距为 l 的平行直导轨 abdc,bd 间连有一固定电阻 R,导轨电阻 可忽略不计.MN 为放在 ab 和 dc 上的一导体杆,与 ab 垂直,其电阻也为 R.整个装置处于 匀强磁场中, 磁感应强度的大小为 B, 磁场方向垂直于导轨所在平面(指向图中纸面向内). 现 对 MN 施力使它沿导轨方向以速度 v 做匀速运动. 令 U 表示 MN 两端电压的大小, 则( ) 1 A.U= vBl,流过固定电阻 R 的感应电流由 b 到 d 2 1 B.U= vBl,流过固定电阻 R 的感应电流由 d 到 b 2 C.U=vBl,流过固定电阻 R 的感应电流由 b 到 d D.U=vBl,流过固定电阻 R 的感应电流由 d 到 b

一、对法拉第电磁感应定律的理解及应用 ΔΦ 1.感应电动势 E=n ,决定感应电动势大小的因素是穿过这个回路的磁通量的变化 Δt 率,而不是磁通量 Φ 的大小,也不是磁通量变化量 ΔΦ 的大小. 2.下列是几种常见的产生感应电动势的情况,请写出对应的计算公式,其中线圈的匝 数为 n. (1)线圈面积 S 不变,磁感应强度 B 均匀变化; ΔB E=n · S Δt (2)磁感应强度 B 不变,线圈的面积 S 均匀变化: ΔS E=nB· Δt ΔΦ 3.用 E=n 所求的一般为平均电动势,且所求的感应电动势为整个回路的感应电动 Δt 势,而不是回路中某部分导体的电动势. 【例 1】 (2009· 广东高考)如图 5(a)所示,一个电阻值为 R,匝数为 n 的圆形金属线圈与 阻值为 2R 的电阻 R1 连接成闭合回路.线圈的半径为 r1,在线圈中半径为 r2 的圆形区域存 在垂直于线圈平面向里的匀强磁场, 磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系图线如图(b)所示. 图 线与横、纵轴的截距分别为 t0 和 B0,导线的电阻不计,求 0 至 t1 时间内:

图5 (1)通过电阻 R1 的电流大小和方向; (2)通过电阻 R1 的电量 q 及电阻 R1 上产生的热量.

[规范思维]

二、导体切割磁感线产生感应电动势的计算 导体切割磁感线产生 E 感,可分为平动切割和转动切割,在有些情况下要考虑有效切割 的问题. 试计算下列几种情况下的感应电动势,并总结其特点及 E 感的计算方法. 1.平动切割 如图 6(a),在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,棒以速度 v 垂直切割磁感线时,感应电动 势 E=Blv.

图6 2.转动切割 如图 6(b),在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,长为 l 的导体棒绕一端为轴以角速度 ω 1 匀速转动,此时产生的感应电动势 E= Bl2ω. 2 3.有效切割长度:即导体在与 v 垂直的方向上的投影长.试分析图 7 中的有效切割长 度.

图7 甲图中的有效切割长度为:cdsin θ;乙图中的有效切割长度为:l=MN;丙图中的有效 切割长度为:沿 v1 的方向运动时,l= 2R;沿 v2 的方向运动时,l=R.

图8 【例 2】 如图 8 所示,磁感应强度 B=0.2 T 的匀强磁场中有一折成 30° 角的金属导轨 aOb,导轨平面垂直磁场方向.一条直导线 MN 垂直 Ob 方向放置在导轨上并接触良好.当 MN 以 v=4 m/s 的速度从导轨 O 点开始向右沿水平方向匀速运动时,若所有导线单位长度 的电阻 r=0.1 Ω/m,求: (1)经过时间 t 后,闭合回路的感应电动势的瞬时值; (2)时间 t 内,闭合回路的感应电动势的平均值; (3)闭合回路中的电流大小和方向.

[规范思维]

三、通电自感与断电自感的比较 通电自感 断电自感

电路图

器材 要求

A1、A2 同规格,R=RL,L 较大

L 很大(有铁芯),RL

RA

现象

在开关 S 断开时, 灯 A 突然闪亮一下 在 S 闭合的瞬间,A2 灯立即亮起来, 后再逐渐熄灭(当抽掉铁芯后, 重做实 A1 灯逐渐变亮,最终一样亮 验,断开开关 S 时,会看到灯 A 马上 熄灭) 断开开关 S 时,流过线圈 L 的电流 减小,使线圈产生自感电动势,阻 由于开关闭合时,流过电感线圈的 碍了电流的减小,使电流继续存在 电流增大, 使线圈产生自感电动势, 一段时间;在 S 断开后,通过 L 的 阻碍了电流的增大, 使流过 A1 灯的 电流反向通过电灯 A,且由于 电流比流过 A2 灯的电流增加得慢 RL , 使得流过 A 灯的电流在开 关断开瞬间突然增大,从而使 A 灯 的发光功率突然变大 电能转化为磁场能 磁场能转化为电能

原因

能量转 化情况

特别提示 1.通电时线圈产生的自感电动势阻碍电流的增加且与电流的方向相反,此时含线圈 L 的支路相当于断开. 2.断电时线圈产生的自感电动势与原电流方向相同,在与线圈串联的回路中,线圈相 当于电源,它提供的电流从原来的 IL 逐渐变小.但流过灯 A 的电流方向与原来相反. 3.自感电动势只是延缓了过程的进行,但它不能使过程停止,更不能使过程反向.

图9 【例 3】 (2010· 北京理综)在如图 9 所示的电路中,两个相同的小灯泡 L1 和 L2 分别串联 一个带铁芯的电感线圈 L 和一个滑动变阻器 R.闭合开关 S 后, 调整 R, 使 L1 和 L2 发光的亮 度一样,此时流过两个灯泡的电流均为 I,然后断开 S.若 t′时刻再闭合 S,则在 t′前后的 一小段时间内,正确反映流过 L1 的电流 i1、流过 L2 的电流 i2 随时间 t 变化的图像是( )

[规范思维]

【基础演练】 1.(2011· 广东· 15)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中,线圈平面与磁场方向垂 直,关于线圈中产生的感应电动势和感应电流,下列表述正确的是( ) A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关 B.穿过线圈的磁通量越大,感应电动势越大 C.穿过线圈的磁通量变化越快,感应电动势越大 D.感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同 2.(2009· 山东理综改编题)如图 10 所示,一导线弯成半径为 a 的半圆形闭合回路.虚线 MN 右侧有磁感应强度为 B 的匀强磁场, 方向垂直于回路所在的平面. 回路以速度 v 向右匀 速进入磁场,直径 CD 始终与 MN 垂直.从 D 点到达边界开始到 C 点进入磁场为止,下列 结论正确的是( )

图 10 A.感应电流方向不变 B.CD 段直导线始终不受安培力 C.感应电动势最大值 Em=Bav 1 D.感应电动势平均值 E = πBav 4

图 11 3.(江苏省泰州市 2010 届高三第三次模拟)如图 11 所示,a、b、c 为三个完全相同的灯 泡,L 为自感线圈(自感系数较大,电阻不计),E 为电源,S 为开关.闭合开关 S,电路稳定 后,三个灯泡均能发光.则( ) A.断开开关瞬间,c 熄灭,稍后 a、b 同时熄灭 B.断开开关瞬间,流过 a 的电流方向改变 C.闭合开关,a、b、c 同时亮 D.闭合开关,a、b 同时先亮,c 后亮 4.如图 12 所示,

图 12 导体棒 AB 长 2R,绕 O 点以角速度 ω 沿逆时针方向匀速转动,OB 为 R,且 OBA 三点 在一直线上,有一匀强磁场磁感应强度为 B,充满转动平面且与转动平面垂直,那么 AB 两 端的电势差大小为( ) 3 A. BωR2 2 B.2BωR2

C.4BωR2 D.6BωR2 5.(2011· 北京· 19)某同学为了验证断电自感现象,自己找来带铁芯的线圈 L、小灯泡 A、 开关 S 和电池组 E,用导线将它们连接成如图 13 所示的电路.检查电路后,闭合开关 S, 小灯泡发光;再断开开关 S,小灯泡仅有不显著的延时熄灭现象.虽经多次重复,仍未见老 师演示时出现的小灯泡闪亮现象, 他冥思苦想找不出原因. 你认为最有可能造成小灯泡未闪 亮的原因是( )

图 13 A.电源的内阻较大 B.小灯泡电阻偏大 C.线圈电阻偏大 D.线圈的自感系数较大 6.如图 14 所示,

图 14 线圈内有理想边界的磁场,开关闭合,当磁感应强度均匀减小时,有一带电微粒静止于 水平放置的平行板电容器中间,若线圈的匝数为 n,平行板电容器的板间距离为 d,粒子的 质量为 m,带电荷量为 q,线圈面积为 S,则下列判断中正确的是( ) A.带电微粒带负电 mgd B.线圈内磁感应强度的变化率为 nqS C.当下极板向上移动时,带电微粒将向上运动 D.当开关断开时带电微粒将做自由落体运动 【能力提升】

图 15 7.金属棒和三根电阻线按图 15 所示连接,虚线框内存在均匀变化的匀强磁场,三根电 阻丝的电阻大小之比 R1∶R2∶R3=1∶2∶3,金属棒电阻不计.当 S1、S2 闭合,S3 断开时, 闭合回路中的感应电流为 I,当 S2、S3 闭合,S1 断开时,闭合回路中的感应电流为 9I,当 S1、S2 闭合,S2 断开时,闭合回路中的感应电流是( ) A.0 B.3I C.7I D.12I 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7

图 16 8.均匀导线制成的单匝正方形闭合线框 abcd,边长为 L,总电阻为 R,总质量为 m. 将其置于磁感强度为 B 的垂直于纸面向里的匀强磁场上方 h 处,如图 16 所示.线框由静止 自由下落,线框平面保持在竖直平面内,且 cd 边始终与磁场的水平边界面平行.当 cd 边刚 进入磁场时, (1)求线框中产生的感应电动势大小; (2)求 cd 两点间的电势差大小; (3)若此时线框加速度恰好为零,求线框下落的高度 h 所应满足的条件.

9.如图 17(a)所示,面积 S=0.2 m2、匝数 n=630 匝、总电阻 r=1.0 Ω 的线圈处在变化 的磁场中,磁感应强度 B 随时间 t 按图(b)所示规律变化,方向垂直线圈平面.图(a)中的传 感器可看成一个纯电阻 R,并标有“3V 0.9 W”,滑动变阻器 R0 上标有“10 Ω 1 A”, 试回答下列问题:

图 17 (1)设磁场垂直纸面向外为正方向,试判断通过电流表的电流方向; (2)为了保证电路的安全,求电路中允许通过的最大电流; (3)若滑动变阻器触头置于最左端,为了保证电路的安全,图(b)中的 t0 最小值是多少?

学案 45
【课前双基回扣】 1.D

法拉第电磁感应定律

自感现象

2.ABD [由法拉第电磁感应定律知线圈中 O 至 D 时间内的平均感应电动势 E=


ΔΦ = Δt

2×10 3 V=0.4 V. 由感应电动势的物理意义知, 感应电动势的大小与磁通量的大小 Φ 和磁 0.01/2

ΔΦ 通量的改变量 ΔΦ 均无必然联系,仅由线圈匝数和磁通量的变化率 决定,而任何时刻磁 Δt ΔΦ 通量的变化率 就是 Φ-t 图象上该时刻切线的斜率,不难看出 O 点处切线斜率最大,D Δt 点处切线斜率最小为零,故 A、B、D 选项正确.] 3.C [当开关 S 闭合时,电路中的电流增加,由于线圈的自感作用,将产生一自感电 动势阻碍电流的增加,此时 A、B 二灯相当于串联,同时亮;电路稳定后线圈相当于一段导 线,将 A 灯短路,A 灯熄灭,B 灯两端所加电压增加而变得更亮.] 4.AD [甲图中,灯泡 A 与电感线圈 L 在同一个支路中,流过的电流相同,断开开关 S 时,线圈 L 中的自感电动势要阻碍但不能阻止原电流的减小,因此,灯泡渐渐变暗.乙图 中,灯泡 A 所在支路的电流比电感线圈所在支路的电流要小(因为电感线圈的电阻很小),断 开开关 S 时电感线圈的自感电动势要阻碍电流的变小,电感线圈相当于一个电源给灯 A 供 电,因此在这一短暂的时间内,反向流过 A 的电流是从 IL 开始逐渐变小的,所以灯泡要先 亮一下,然后渐渐变暗,故选项 A、D 正确.] 5.A [此回路的感应电动势有两种求法 (1)因 B、l、v 两两垂直可直接选用 E=Blv 得 E=vBl ΔΦ (2)可由法拉第电磁感应定律 E= 求解 Δt 因在 Δt 时间内,杆扫过的面积 ΔS=lvΔt 所以回路磁通量的变化 ΔΦ=BΔS=BlvΔt ΔΦ 由 E= 得 E=Blv Δt Blv 题目中的导体棒相当于电源,其电动势 E=Blv,其内阻等于 R,则路端电压 U= , 2 电流方向可以用右手定则判断,A 正确.] 思维提升 1.在电磁感应现象中,产生感应电动势的那部分导体就相当于电源,导体的电阻相当 于电源内阻,在导体的内部电流方向由低电势指向高电势. ΔΦ ΔΦ 2.法拉第电磁感应定律:E=n , 是 Φ 的变化率. Δt Δt 导体切割磁感线时,E=BLv. 3.自感电动势在接通电源时起阻碍电流增大的作用;在断开电源时起阻碍电流减小的 作用,线圈中的电流不能突变. 【核心考点突破】
2 4 nB0πr2 nB0πr2 2n2B2 2 2t1 0π r2t1 例 1 (1) ,方向从 b 到 a (2) 2 3Rt0 3Rt0 9Rt0

解析

(1)由图象分析可知,0 至 t1 时间内

ΔB B0 = Δt t0 ΔΦ ΔB 由法拉第电磁感应定律有 E=n =n · S Δt Δt

E 而 S=πr2 2,由闭合电路欧姆定律有 I1= R1+R 又 R1=2R,联立以上各式,解得 I1= nB0πr2 2 3Rt0 nB0πr2 2t1 ; 3Rt0

由楞次定律可判断通过电阻 R1 上的电流方向为从 b 到 a. (2)0 至 t1 时间内,通过电阻 R1 的电量 q=I1t1= 电阻 R1 上产生的热量 Q=I2 1R1t1=
2 2 4 2n2B0 π r2t1 . 9Rt2 0

ΔΦ ΔB [规范思维] (1)在利用 E 感=n =n · S 计算时,要注意 S 为有效面积,此题中是半 Δt Δt 径为 r2 的圆的面积;(2)利用闭合电路欧姆定律求 I 感= E感 时,要明确产生 E 感的部分有无电 R总

阻. 例 2 (1)1.84t V (2)0.92t V (3)1.69 A,逆时针方向 解析 (1)设运动时间 t 后,直导线 MN 在 Ob 上移动了 x=vt=4t,MN 的有效长度 l= xtan 30° = 4 3 4 t;感应电动势的瞬时值 E=Blv=0.2× 3t×4 V≈1.84t V. 3 3 1 B× lvt 2 1 1 4 3t = Blv= ×0.2× ×4 t 2 2 3

ΔΦ BΔS (2)这段时间内感应电动势的平均值 E = = = t t V=0.92t V.

4 8 3 (3)随 t 增大,回路电阻增大,当时间为 t 时,回路总长度 L=4t+( 3+ )t=10.9t, 3 3 E 1.84t 回路总电阻 R=Lr=10.9t×0.1 Ω=1.09t Ω,回路总电流 I= = A=1.69 A,电流大小 R 1.09t 恒定,由右手定则知,电流方向沿逆时针. [规范思维] 本题中导体棒切割的有效长度是指导体棒接入电路中的那部分长度. 例 3 B [t′时刻再闭合 S 时,通过电感线圈的电流增加,由于线圈的自感作用,将产 生与原电流方向相反的电流以阻碍原电流的增加,稳定后,电流强度为 I,B 正确;闭合 S 时,L2 所在支路电流立即很大,随着 L1 中电流增大,流过 L2 的电流逐渐减小,最后两者电 流一致.] [规范思维] 分析自感问题时,要从线圈支路的电流不能突变入手,分析各元件电流的 变化.电流稳定时,自感线圈相当于一般导体(理想线圈相当于电阻为零的导线,非理想线 圈相当于电阻). 思想方法总结 ΔΦ 1.(1)E=n 求的是回路中 Δt 时间内的平均感应电动势. Δt (2)E=BLv 既能求导体做切割磁感线运动的平均感应电动势, 也能求瞬时感应电动势. v 为平均速度,E 为平均感应电动势;v 为瞬时速度,E 为瞬时感应电动势.其中 L 为有效长 度. 1 (3)E= BL2ω 的适用条件是导体棒绕一个端点垂直于磁感线匀速转动切割, 而不是绕导 2

体棒的中间的某点. 2.(1)电磁感应中通过闭合电路导体横截面的电荷量的计算要用平均感应电动势,由 E ΔΦ E ΔΦ =n ,I= ,q=IΔt 可推导出 q=n . Δt R R (2)涉及电容器所带电荷量时,只能用感应电动势的瞬时值而不能用平均值. 3.对自感现象可从以下三个方面理解 (1)通电时线圈产生的自感电动势阻碍电流的增加且与电流方向相反,此时含线圈 L 的 支路相当于断开. (2)断开时线圈产生的自感电动势与原电流方向相同,在与线圈串联的回路中,线圈相 当于电源,它提供的电流从原来的 IL 逐渐变小.但流过灯 A 的电流方向与原来相反. (3)自感电动势只是延缓了过程的进行,但它不能使过程停止,更不能使过程反向. 【课时效果检测】 1.C 2.ACD 3.A 4.C [此题为旋转切割,E=Blv 中,l=2R,v 中即棒中点的速度为 2Rω,故 E=4BωR2, C 正确.] 5.C [从实物连接图中可以看出,线圈 L 与小灯泡并联,断开开关 S 时,小灯泡 A 中 原来的电流立即消失,线圈 L 与小灯泡组成闭合回路,由于自感,线圈中的电流逐渐变小, 使小灯泡中的电流变为反向且与线圈中电流相同,小灯泡未闪亮说明断开 S 前,流过线圈 的电流较小,原因可能是线圈电阻偏大,故选项 C 正确.] 6.BC [由于磁感应强度均匀减小,由楞次定律及右手定则可知电容器下极板带正电, 带电微粒静止,说明其受到的电场力向上,故带电微粒带正电,选项 A 错误;带电微粒静 U ΔΦ ΔB ΔB mgd 止,由 mg=q 及 U=n = S 可得: = ,选项 B 正确;当下极板向上移动时,两 d Δt Δt Δt nqS U U 极板间距减小,由 E= 可知场强变大,则此时 mg<q ,故带电微粒将向上加速运动,选项 d d C 正确;开关断开时,电容器两极板间电压不变,故带电微粒仍静止,选项 D 错误.] 7.D [设磁感应强度的变化率为 k,设 R1 的阻值为 R,匀强磁场上下部分的面积分别 k?S1+S2? k?S1+S2? kS1 kS1 kS2 kS2 为 S1,S2,有 = =I, = =9I, = =I′,联立可得 I′ 4R R1+R2 3R R2+R3 5R R1+R3 =12I,故选 D 项.] 3 m2gR2 8.(1)BL 2gh (2) BL 2gh (3) 4 4 4 2B L 解析 (1)cd 边刚进入磁场时,线框速度 v= 2gh, 线框中产生的感应电动势 E=BLv=BL 2gh. E (2)此时线框中的电流 I= , R 3 3 3 cd 两点间的电势差 U=I( R)= E= BL 2gh. 4 4 4 (3)此时,线框所受安培力 F=BIL= B2L2 2gh , R

根据牛顿第二定律 mg-F=ma,根据 a=0, m2gR2 联立以上各式解得下落高度满足 h= 4 4 . 2B L 9.(1)向右 (2)0.3 A (3)40 s

解析

(1)由楞次定律和安培定则判断得,电流向右.

U2 (2)传感器正常工作时的电阻 R= =10 Ω, P U 工作电流 I= =0.3 A,由于滑动变阻器的工作电流是 1 A,所以电路允许通过的最大 R 电流为 I=0.3 A. (3)滑动变阻器触头位于最左端时外电路的电阻为 R 外=20 Ω,故电源电动势的最大值 E =I(R 外+r)=6.3 V.由法拉第电磁感应定律 nΔΦ nSΔB 630×0.2×2.0 E= = = V,解得 t0=40 s. Δt Δt t0 易错点评 1.在第 3 题中,注意 L 只在开关闭合或断开时,才起作用. ΔΦ ΔB 2.在第 9 题中,许多同学误认为磁通量的变化率与匝数有关.得出 = · S,还有人 Δt Δt 误认为 t0 时刻 B=0,所以感应电动势和感应电流均为零或误认为 t0 前后感应电流的方向相 反,这些都因为对图象理解不彻底造成的.


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