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【志鸿优化】2015届高三数学(理)一轮课时作业:10.11 变量间的相关关系与统计案例]


第 11 讲

变量间的相关关系与统计案例

基础巩固
1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( A.正方体的棱长与体积 B.单位面积产量为常数时,土地面积与产量 C.日照时间与水稻的亩产量 D.电压一定时,电流与电阻 答案:C 解析:A,B,D 中两个变量间的关系都是确定的,所以是函数关系,C 中的两个变量间是相关关系,对于日

照时间一 定的水稻,仍可以有不同的亩产量.故选 C. 2.观察下列散点图,则①正相关;②负相关;③不相关,它们的排列顺序与图形相对应的是( ) )

A.a—①,b—②,c—③ B.a—②,b—③,c—① C.a—②,b—①, c—③ D.a—①,b—③,c—② 答案:D 3.一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,数据(略),由此建立的身高与年龄的回归模型为=7.19x+73.93,用这个模 型预测这个孩子 10 岁时的身高,正确的叙述是( A.身高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 C.身高在 145.83 cm 左右 D.身高在 145.83 cm 以下 答案:C 解析:用回归模型=7.19x+73.93,只能作预测,其结果不一定是个确定值. 4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点 (xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y=x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( A.-1 C. 答案:D 解析:样本相关系数越接近 1,相关性越强,现在所有的样本点都在直线 y=x+1 上,样本的相关系数应为 1. 5.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是( A.=1.23x+4 B.=1.23x+5 C.=1.23x+0.08 D.=0.08x+1.23 ) B.0 D.1 ) )

答案:C 解析:D 显然错误,把(4,5)代入 A,B,C 检验,满足的只有 C. 6.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线 方程为 y=b'x+a',则以下结论正确的是( A.>b',>a' B.>b',<a' C.<b',>a' D.<b',<a' 答案:C 解析:∵==, ==, ∴==, =-=-, b'==2>,a'=-2<. 7.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据 (xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(,) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 答案:D 解析:D 选项中,若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重约为 0.85×170-85.71=58.79 kg.故 D 不正确. 8.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ③回归直线方程=x+必过点(,). 其中错误的个数是( A.0 C.2 答案:B B.1 D.3 ) ) )

解析:一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是反映数据的波动程度的 量),①正确;回归方程中 x 的系数具备直线斜率的功能,对于回归直线方程=3-5x,当 x 增加一个单位时,y 平均 减少 5 个单位,②错误;由线性回归方程的定义知,线性回归方程=x+必过点(,),③正确. 9.已知一个线性回归方程为=1.5x+45(xi∈{1,7,5,13,19}),则= 答案:58.5 解析:线性回归方程为=1.5x+45,经过点(,),由=9,知=58.5. 10.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对 照表:
气温(℃ ) 18 13 10 -1

.

用电量(度)

24

34

38

64

由表中数据得线性回归方程=bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数约为 答案:68 解析:∵=10,=40,回归方程过点(,), ∴40=-2×10+a.∴a=60. ∴=-2x+60,令 x=-4. ∴=(-2)×(-4)+60=68.

.

11.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮 球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系:
时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 率为 . 答案:0.5 0.53

;用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中

解析:平均命中率=×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5;而=3,(xi-)(yi-)=(-2)×(-0.1)+(1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1)=0.1,(xi-) =(-2) +(-1) +0 +1 +2 =10,于是=0.01,=-=0.47,∴=0.01x+0.47, 令 x=6,得=0.53. 12.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 10 次试验,测得的数据如下:
零件数 x(个) 加工时间 y(分) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122
2 2 2 2 2 2

(1)y 与 x 是否具有线性相关关系? (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求回归直线方程. (3)根据求出的回归直线方程,预测加工 200 个零件所用的时间为多少? 解:(1)由表中数据,画出散点图如下:

由散点图可知,x,y 具有很好的线性相关关系. (2)设所求的回归直线方程为=x+,列出下表,
i xi yi xiyi 1 10 62 620 2 20 68 1 360 3 30 75 2 250 4 40 81 3 240 5 50 89 4 450 6 60 95 5 700 7 70 102 7 140 8 80 108 8 640 9 90 115 10 350 10 100 122 12 200

=55,=91.7, =38 500,xiyi=55 950, 则有

==≈0.668, =-=91.7-0.668×55=54.96. 因此,所求的回归直线方程为=0.668x+54.96. (3)当 x=200 时,y 的估计值为 =0.668×200+54.96=188.56≈189, 因此,加工 200 个零件所用的工时约为 189 分钟. 13.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 昼夜温差 x(℃ ) 就诊人数 y 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这 6 组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程 是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

解:(1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可 能出现的.其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种,所以 P(A)==. (2)由数据求得=11,=24, 由公式求得=,=-=-, 所以 y 关于 x 的线性回归方程为=x-. (3)当 x=10 时,=,<2; 同样,当 x=6 时,=,<2. 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

拓展延伸
14.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤) 的几组对照数据.
x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程= x+; (3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 解:(1)由题设所给数据,可得散点图如图所示.

(2)由对照数据,计算得=86,==4.5(吨), ==3.5(吨). 已知 xiyi=66.5,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为===0.7, =- =3.5-0.7×4.5=0.35. 因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为 90(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).


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