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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练21]


双基限时练(二十一)
1.已知 a=(-3,4),b=(5,2),则 a· b=( A.23 C.-23 B.7 D.-7 )

解析 a· b=-3×5+4×2=-7,故选 D. 答案 D )

2.已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a· b=1,则 x=( A.-1 1 C.2 1 B.-2 D.1
<

br />解析 由 a=(1,-1),b=(2,x)可得 a· b=2-x=1,故 x=1. 答案 D

3.若非零向量 a,b,满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹 角为( ) B.60° D.150°

A.30° C.120° 答案 C

4. 已知 A, B, C 是坐标平面上的三点, 其坐标分别为 A(1,2), B(4,1), C(0,-1),则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 ) B.等腰三角形 D.以上均不正确

→ → → 解析 AB=(3,-1),AC=(-1,-3),BC=(-4,-2), → → → ∴|AB|= 10,|AC|= 10,|BC|= 20.

→ → → → → 2 2 ∴|AB|=|AC|,且|AB| +|AC| =|BC|2=20. ∴△ABC 为等腰直角三角形,应选 C. 答案 C

π 5.已知 a=(0,1),b=(3 3,x),向量 a 与 b 的夹角为3,则 x 的 值为( ) B.± 3 D.3 π a· b x cos3= = , |a|· |b| 27+x2

A.± 3 C.± 9 解析

∴2x= 27+x2,且 x>0,∴3x2=27,∴x=3. 答案 D

6.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c ⊥(a+b),则 c=(
?7 7? A.?9,3? ? ? ?7 7? C.?3,9? ? ?

) 7? ? 7 B.?-3,-9? ? ? 7? ? 7 D.?-9,-3? ? ?

解析 不妨设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1), 对于(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n). 又 c⊥(a+b),则有 3m-n=0, 7 7 ∴m=-9,n=-3. 答案 D

7.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥b,则 k= ________. 解析 ∵a=(3,1),c=(k,2),

∴a-c=(3-k,-1). 又 b=(1,3),且(a-c)⊥b, ∴(a-c)· b=0, 即 1×(3-k)+(-1)×3=0. ∴k=0,故应填 0. 答案 0 8.已知向量 a=(1,-2),b=(2,λ),且 a 与 b 夹角为锐角,则 实数 λ 的取值范围是________. 解析 a· b=2-2λ, |a|= 5, |b|= 4+λ2, 由 a 与 b 的夹角为锐角, 得 2-2λ a· b = >0,即 2-2λ>0, |a||b| 5· 4+λ2 ∴λ<1. 当 意. ∴λ≠-4.故 λ 的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,1). 答案 (-∞,-4)∪(-4,1) 2-2λ =1 时,解得 λ=-4,此时 a 与 b 夹角为 0° ,不合题 5· 4+λ2

9.已知向量 a=(x,y),b=(-1,2),且 a+b=(1,3),则|a-2b|等 于________. 解析 a+b=(x-1,y+2)=(1,3), ∴x=2,y=1,∴a=(2,1). 又|a|= 5,|b|= 5,a· b=0, ∴|a-2b|2=|a|2-4a· b+4|b|2=25. ∴|a-2b|=5. 答案 5 10. 已知 a 是平面内的单位向量, 若向量 b 满足 b· (a-b)=0, 则|b|

的取值范围是________.(用数字作答) 解析 由题意知|a|=1,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 b· (a-b)=b· a-b2=0, ∴b2=b· a,∴|b|2=|a||b|cosθ. ∴|b|(|b|-cosθ)=0,∴|b|=0,或|b|=cosθ. ∵θ∈[0,π],∴|b|∈[0,1]. 答案 [0,1]

→ 11.已知点 A(-1,1),点 B(1,2),若点 C 在直线 y=3x 上,且AB⊥ → BC.求点 C 的坐标. → → 解 设 C(x,3x),则AB=(2,1),BC=(x-1,3x-2), 所以 2(x-1)+3x-2=0,
?4 12? 4 所以 x=5,所以 C?5, 5 ?. ? ?

12.已知向量 a=(1,1),b=(2,-3). (1)若 λa-2b 与 a 垂直,求 λ 的值; (2)若 a-2kb 与 a+b 平行,求 k 的值. 解 (1)∵a=(1,1),b=(2,-3),

∴λa-2b=(λ,λ)-(4,-6)=(λ-4,λ+6). ∵(λa-2b)⊥a,∴(λa-2b)· a=0, ∴λ-4+λ+6=0,∴λ=-1. (2)∵a-2kb=(1,1)-(4k,-6k)=(1-4k,1+6k), a+b=(3,-2),且(a-2kb)∥(a+b), ∴-2(1-4k)-3(1+6k)=0, 1 ∴k=-2.

13.已知点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两 对角线所夹的锐角的余弦值. 解 (1)∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

→ → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3), → → 由AB· AD=1×(-3)+1×3=0, → → 得AB⊥AD.∴AB⊥AD. → → (2)∵AB⊥AD, 四边形 ABCD 为矩形, ∴AB=DC.设点 C 的坐标为 → → (x,y),则DC=(x+1,y-4),又AB=(1,1),
? ? ?x+1=1, ?x=0, ? ∴ ∴? ∴C(0,5). ? ? ?y-4=1, ?y=5,

→ → → 从而AC=(-2,4),BD=(-4,2),且|AC|=2 5, → → → |BD|=2 5,AC· BD=8+8=16. → → 设〈AC,BD〉=θ, → → AC· BD 16 4 则 cosθ= = = . → → 20 5 |AC|· |BD| 4 ∴矩形 ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.


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