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吉林省白城市2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题(一)


白城市 2013—2014 年第一学期期末考试 高二理科数学 (试卷一)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分为 150 分,答题时间 120 分钟。考生作 答时,选择题答案和非选择题答案写在答题纸上。考试结束后,将答题纸交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号、所在学校准确填写,条形码贴在指 定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改

动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标 号。第Ⅰ卷

(共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. )
1.已知向量 a ? (2,?1,2) , b ? (?4,2, m) ,且 a ? b ,则 m 的值为( A. 3 B.4 C.5 D.6 ( ) )

2.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则 A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 ) D.

3.若 a , b, c 为实数,且 a ? b ? 0 ,则下列命题正确的是(
2 2 A. a ? ab ? b 2 2 B. ac ? bc

C.

1 1 ? a b

b a ? a b
? Sn ? ? 前 10 项的和为 ?n?

4.等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1, 其前 n 项和为 Sn ,则数列 ? ( ) B. 70
2 2

A. 120

C. 75

D. 100

5. 过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点 F2 的一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周 长为( A.18 ) B. 14 ? 8 2 C. 14 ? 8 2 D. 8 2

?x ? y ? 3 ? 6.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为( ?2 x ? y ? 3 ?
A. 6 B.7 C.8 D.23

)

第 1 页 共 6 页

7.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 3 ,且 4a1 , 2a2 , a 3 成等差数列, 则 a3 ? a4 ? a5 = A.33 ( B.84 ) C.72 D.189 )

6) 且与双曲线 8.焦点为 (0,

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2
B. D.

A. C.

x2 y 2 ? ?1 12 24

y 2 x2 ? ?1 24 12 y 2 x2 ? ?1 12 24

x2 y 2 ? ?1 24 12

9.在△ABC 中, a , b, c 分别是 A、B、C 的对边,已知 sinA,sinB,sinC 成等比数列,且

a2 ? c(a ? c ? b) ,则角 A 为( )
A.

? 6

B.

5? 6

C.

2? 3

D.

? 3

x2 y2 b 10. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2( c 为椭圆半焦距) 有四个不同交点, 2 a b
则椭圆离心率 e 的取值范围是( A. ) C.

5 3 ?e? 5 5

B.

3 ? e ?1 5

5 ? e ?1 5

D. 0 ? e ?

11.已知 a ? (? ? 1,0,2? ) , b ? (6,2? ? 1,2) , A. ,

?

?

? ? a // b ,则 ?与? 的值分别为(

3 5



1 1 5 2

B.5, 2

C. ?

1 1 ,? 5 2

D.-5, -2

m)到其焦点的距离为 5 ,双曲线 x 2 ? 12.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)上一点 M(1,

y2 ? 1 的左 a

顶点为 A ,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a ? ( A. 2 B.2 C.

)

2 2

D.

1 4

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题: (本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 的焦点相同,则椭圆的离心率 e ? ____; 13.若椭圆 与双曲线 4 a2 a 2
14. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点分别为 F1和F2 ,点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3
倍.
第 2 页 共 6 页

那么 PF 1 是 PF 2 的

15.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等 于______ 16.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求

1 1 ? 的最小值是________ x y

三、解答题: (本题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 17. (10 分)已知原命题为“若 a>2,则 a >4” ,写出它的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断四种命题的真假。 18. (12 分)在△ABC 中, A ? 1200 , a ? 21, S ABC ? 3 ,求 b, c . 19. (12 分)在等差数列 {an } 中, a4 ? ?12, a8 ? ?4 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)从数列 {an } 中依次取出 a1 , a2 , a4 , a8 ,..., a2n?1 ,... ,构成一个新的数列 {bn } ,求 {bn } 的前

n 项和.
20.(12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用旧墙需 维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图 所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x 米, 总费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数;
2

(2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,
并求出最小总费用.

21. (12 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°. (1)设 PD 的中点为 M,求证:AM//平面 PBC; (2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值。
M C D P

A

B

22. (12 分)已知椭圆

2 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,且短轴长为 2. 2 2 a b (1)求椭圆的方程; (2)若与两坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 2 2 且 OA ? OB ? , S ?AOB ? ,求直线 l 的方程. 3 3

第 21 题

第 3 页 共 6 页

白城市 2013—2014 年第一学期期末考试 高二数学(理科) 试 卷(一)
通榆一中王聚红 一、选择题 1-4 CDAC 5-8 CBBD 9-12 DAAD 二、填空题 13. 电话:13894690155

3 14.7 15. 6 2

16. 4

17.解:原命题为“若 a>2,则 a >4”正确 逆命题: "若a ? 4, 则a ? 2"
2 2

2

?1 分

错误 ?4 分 ?7 分 ?10 分

否命题: "若a ? 2, 则a ? 4" 错误 逆否命题: "若a ? 4, 则a ? 2" 正确
2

18 解: 由 S ABC ?

1 bc sin A, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,?..6 分 2 得 b ? 4, c ? 1 或 b ? 1, c ? 4 。 ?..12 分

19.解: (1)设公差为 d,由题意,可得

?a4 ? ?12 ?a1 ? 3d ? ?12 ? d ?2 ,解得 ? ,所以 an ? 2n ? 20 ??????6 分 ?? ? ? a1 ? ?18 ? a1 ? 7d ? ?4 ? a8 ? ?4
(2)记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,由题意可知

bn ? a2n?1 ? ?18 ? (2n?1 ?1) ? 2 ? 2n ? 20
所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bn

? (21 ? 20) ? (22 ? 20) ? (23 ? 20) ?
? (21 ? 22 ? 23 ? ? 2n ) ? 20n

? (2n ? 20)

?

2 ? 2n?1 ? 20n ? 2n ?1 ? 20n ? 2 1? 2

???????????12 分

20.解: (1)设矩形的另一边长为 a m 则 y ? 45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360

第 4 页 共 6 页

由已知 xa=360,得 a=

360 , x
?????6 分?..

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(2)? x ? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800???.8 分 x

3602 ? y ? 225x ? ? 360 ? 10440 x
当且仅当 225x=

3602 ,即 x=24m 时等号成立????..11 分 x

∴当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元??.12 分

21 解:如图建立空间直角坐标系. (Ⅰ)设 PD ? CD ? 2 , A(1,0,0),C(0,2,0), P(0,0,2),B(1,1,0)
P

M (0,0,1) ,.

??3 分
M C D

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

n ? PC ? ( x, y, z) ? (0,2,?2) ? 2 y ? 2z ? 0,
? ??? n ? BC =(x,y,z).(-1,1,0) =-x+y=0 ? 取 n =(1,1,1)
A

B

第 21 题

而 AM ? (?1,0,1) ,所以 AM ? n ? 0 ,即 AM ? n ,又 AM ? 平面 PBC 故 AM // 平面 PBC .??6 分 (Ⅱ) PA ? (1,0,?2) ,设 PA 与平面 PBC 所成角为 ? , 由直线与平面所成角的向量公式有

sin ? ?

PA ? n PA ? n

?

1 5 3

?

15 . 15
2 , 2

??12 分

c 22. 解:解: (1)短轴长 2b ? 2, b ? 1 , e ? ? a

(1 分) (4 分)

x2 ? y 2 ? 1. 2 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,
又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 a ? 2 , c ? 1 ,所以椭圆的方程为

第 5 页 共 6 页

?x ? 2 y ? 2 m 2 ? 2k 2 ? 4m k 2m 2 ? 2 y y ? . , x x ? , (6 分) ? x1 ? x2 ? 1 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2 2 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ,? 3m ? 2k 2 ? 2 ? 2 ,即 9m 2 ? 10k 2 ? 8 . (8 分) 3 3 1 ? 2k
2 2
2 2 m2 ) 2 ? S ?AOB ? 1 | m | | x1 ? x2 |? 1 m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 8m (1 ? 2k 2 ? ? , 2

由?

? y ? kx ? m

,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4mkx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ,

2

2

2

(1 ? 2k )

3

即 9m2 (1 ? 2k 2 ? m2 ) ? 2(1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2 2 2 ? ?9m (1 ? 2k ? m ) ? 2(1 ? 2k ) , ? 2 2 ? 9 m ? 10 k ? 8 ? 解得 k 2 ? 1, m 2 ? 2 ,经检验, ? ? 0 符合题意,

(10 分)

? l 方程为 x ? y ? 2 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 (12 分)

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