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旋转体和圆


旋转与圆知识总结
旋转
1、概念: 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转,点 O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角. 旋转三要素:旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质: (1) 旋转前后的两个图形是全等形; (2) 两个对应点到旋转中心的距离相等 (3) 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称: 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心 对称,这个点叫做对称中心. 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. 4、中心对称的性质: (1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分. (2)关于中心对称的两个图形是全等图形. 5、中心对称图形: 把一个图形绕着某一个点旋转 180°, 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合, 那么这个图形叫做中心对称图形, 这个点就是它的对称中心. 6、坐标系中的中心对称 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反, 即点 P(x,y)关于原点 O 的对称点 P′(-x,-y) .


1、 (要求深刻理解、熟练运用) 1.垂径定理及推论: 如图:有五个元素, “知二可推三” ;需记忆其中四个定理, 即“垂径定理” “中径定理” “弧径定理” “中垂定理”.
C 平分优弧

几何表达式举例: ∵ CD 过圆心 ∵CD⊥AB



AE=BE AC = BC

O E A D B

过圆心 垂直于弦 平分弦 平分劣弧

AD = BD

3.“角、弦、弧、距”定理: (同圆或等圆中) “等角对等弦” “等弦对等角” ; ; “等角对等弧” “等弧对等角” ; ; “等弧对等弦”“等弦对等(优,劣)弧” ; ; “等弦对等弦心距”“等弦心距对等弦”. ;
C F D A B E O

几何表达式举例: (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD
1

(3)????? 4.圆周角定理及推论: (1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半; (2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图) (3) “等弧对等角” “等角对等弧” ; (4) “直径对直角” “直角对直径” ;(如图) (5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直 角三角形.(如图)
C O B
C B

几何表达式举例: (1) ∵∠ACB=

1 ∠AOB 2 ∴ ?????
∴ ∠ACB=90°

(2) ∵ AB 是直径 (3) ∵ ∠ACB=90°

C
A

∴ AB 是直径
D

A

O

B

(4) ∵ CD=AD=BD ∴ Δ ABC 是 RtΔ 几何表达式举例: ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180°

(1)
A

(2) (3)

(4)

5.圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角.
B C

A D E

6.切线的判定与性质定理: 如图:有三个元素, “知二可推一” ; 需记忆其中四个定理. (1)经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线; (2)圆的切线垂直于经过切点的半径; 9.相交弦定理及其推论: (1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等; (2)如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条 线段长的比例中项.
D A P C B

几何表达式举例: (1) ∵OC 是半径
O B C A 是半径 垂直 是切线

∵OC⊥AB ∴AB 是切线 (2) ∵OC 是半径 ∵AB 是切线 ∴OC⊥AB 几何表达式举例: (1) ∵PA?PB=PC?PD ∴??? (2) ∵AB 是直径 ∵PC⊥AB ∴PC =PA?PB
2

C B

A

O

P

(1) 11.关于两圆的性质定理:

(2) 几何表达式举例: (1) ∵O1,O2 是圆心 ∴O1O2 垂直平分 AB (2) ∵⊙1 、⊙2 相切 ∴O1 、A、O2 三点一线
O2

(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦; (2)如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.
A

A
O1 B O2

O1

(1)

(2) 公式举例:
O D

12.正多边形的有关计算: (1)中心角?n ,半径 RN , 边心距 rn ,
Rn
A

?n
rn an
C B

E

2

?n

边长 an ,内角?n , 边数 n; (2)有关计算在 RtΔ AOC 中进行.

(1) (2)

?n =

360? ; n ? n 180 ? ? 2 n



定理: 1.不在一直线上的三个点确定一个圆. 2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆. 3.正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形.



公式: 1.有关的计算:
n?R 2 ; (3)圆的面积 S=π R . 180
A

(1)圆的周长 C=2π R; (2)弧长 L= (4)扇形面积 S 扇形 =

O B

n?R 2 1 ? LR ; 360 2

(5)弓形面积 S 弓形 =扇形面积 SAOB±Δ AOB 的面积.(如图) 2.圆柱与圆锥的侧面展开图: (1)圆柱的侧面积:S 圆柱侧 =2π rh; (r:底面半径;h:圆柱高)
1 (2)圆锥的侧面积:S 圆锥侧 = LR =π rR. (L=2π r,R 是圆锥母线长;r 是底面半径) 2



常识: 1. 圆是轴对称和中心对称图形. 2. 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3. 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心; 三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心. 4. 直线与圆的位置关系: (其中 d 表示圆心到直线的距离;其中 r 表示圆的半径) 直线与圆相交 ? d<r ; 直线与圆相切 ? d=r ; 直线与圆相离 ? d>r. 5. 圆与圆的位置关系: (其中 d 表示圆心到圆心的距离,其中 R、r 表示两个圆的半径且 R≥r) 两圆外离 ? d>R+r; 两圆内切 ? d=R-r; 两圆外切 ? d=R+r; 两圆相交 ? 两圆内含 ? d<R-r. R-r<d<R+r;

6.证直线与圆相切,常利用: “已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

3


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