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选修2-1直线的方向向量与平面的法向量及平行和垂直


淮阳一高高二B段数学组:杨留杰
1

直线与平面垂直的判定定理:向量证明

由线线垂直可以得到线面垂直

2

练习: 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中 E、F分别是 BB1 、CD 的中点 ,求证:D1F
D1

? 平面ADE
C1 B1



Z

A1

E D F A X B
3

C Y

平面的斜线、斜线在平面内的射影

如图2,PA∩α=A,PA不垂直α, 直线PA --------叫做平面α的斜线;
点A叫做斜足. 线段PA叫做斜线段.

图1 P

思考:平面的斜线在平面内的射影是什么图形?

B

A

答案:仍是一条直线BA

α
图2

由线线垂直可以得到线面垂直,再 由线面垂直又可以得到线线垂直。
4

三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 P

三垂线定理

m

α



B


A

线线垂直 线线垂直 线面垂直 线面垂直 性质定理 判定定理 性质定理

证明:
PB⊥α m α

? PB⊥m
BA⊥m

? m⊥平面PAB
PA 平面PAB

? m⊥PA
5

P

一面四线三垂直
α 一面——平面α(基础平面) ;

m

B

A

四线——PB( α的垂线), PA(斜线), BA(射影), m( α内的直线)) 三垂直——PB ⊥ m,, BA ⊥ m, 故称“三垂线定理”
6

PA⊥ m

三垂线定理

直线a 一定要在平面内,如 果 a 不在平面内,定理就不一 定成立。 例如:当 b⊥ α时, 则 b⊥OA

P

O

a

b

但 b不垂直于OP

α

A

注意:定理中“在平面内”的条件不 能去掉。
7

三垂线定理

三垂线定理的逆命题
P

线影垂直
O

α

A

a


α

P线线垂直 A O

a

平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直

平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
8

思考题:想一想?
如图,PA 垂直于以AB为直径的圆O平面,C为 圆O上任一点(异于A,B),试判断图中共有 几个直角三角形,并说明理由。
P

A

O

B

C

9

前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
10

为了用向量的方法研究空间的线面位置关系,我 们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的 “方向”呢?
1、直线的方向向量

l
?

? a

e
? ?

直线 l上的非零向量 e 以及与 e 共线的非零向量叫做直 线 l的方向向量
11

? 2平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? 给定一点A和一个向量 n ,那么 ? l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 ? 完全确定的.
n
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; ? 3.向量n 是平面的法向量,向 ?? 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0

A

12

例1 在空间直角坐标系内,设直线 l 经过点 P( x0 , y0 , z0 ), ? 直线 l 的方向向量为 e ? ( A, B, C), ( A ? B ? C ? 0) , ( x, y, z ) 是 M 直线 l 上任意一点,求x, y, z 满足的关系式。
练习 设a, b 分别是l1 ,l2 的方向向量,判断 l1 ,l2 的位置关系
? ?

(1) a ? (2,3,?1), b ? (?6,?9,3) (2) a ? (5,0,2), b ? (0,4,0) (3) a ? (?2,1,4), b ? (6,3,3)
13

?

?

?

?

?

?

例2 在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,求证: ???? ? DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证:设正方体棱长为 1, ??? ???? ???? ? ? 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz ???? ???? ? DB1 ? (1,1,1) , AC ? ( ?1,1, 0) , ???? ? AD1 ? ( ?1,0,1) ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC , ???? ???? ? ? 同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1 ? AC ? A ???? ? ???? ? 所 以 DB1 ? 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
14

例 3 已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平 面的一个法向量? 比 如 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0, 0, 2) ,试求平面? ABC 的一个法 n ? (4, 3, 6) 向量. ? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? n 则 n ? AB , ? AC .∵ AB ? ( ?3, 4, 0) , AC ? ( ?3, 0, 2) 3 ? ?( x , y, z ) ? ( ?3, 4, 0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ?y ? 4 x ? ∴? 即? ( x , y, z ) ? ( ?3, 0, 2) ? 0 ? ?3 x ? 2 z ? 0 ∴ ? ? ?z ? 3 x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3, 6)
? ∴ n ? (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.

待定系数法求平面的法向量

15

问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 ? ? ?n ? a ? 0 ? 组 ?? ? ?n ? b ? 0 ?

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量 n .
16

二.立体几何问题的类型及解法
? 1.判定直线、平面间的位置关系 ? (1)直线与直线的位置关系 ? 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a· = 0,则a⊥b b
a

a b b
17

l1

l2

?? e1

?? e2

?? ?? ?? ?? l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2

18

l1

?? e1 ?? e2

l2

?? ?? ?? ?? l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0
19

? 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: C C1⊥BD
B1 A1

C1

D1

B

A

C

D
20

? 证明:设 CD ? a, CB ? b, CC 1 ? c, ? 依题意有| a |=| b |, ? 于是 BD ? CD ? CB ? a – b ? ∵ CC1 ? BD = c (a – b)= c· –c· a b ? = |c|· |a|cosθ–|c|· cosθ=0 |b| ? ∴C C1⊥BD

21

? (2)直线与平面的位置关系 ? 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n, 且L ? α. ? ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α ? ②若a⊥n,即a· = 0,则a ∥ α. n
n a L n a

α L

α

22

?? e1
?? ? n1

l1

?
?? ?? ? ?? ?? ? l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0
23

l

?? e1

?? ? n1

?
?? ?? ? ?? ?? ? l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1
24

? ? ? ?

例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E ⊥平面DBC1; A1 (2)AB1 ∥ 平面DBC1
z C1 B1 A E D C x B y
25

? 解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 ? A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3,2), C1(1,0,2). ? 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 ? x ? ?2 z ?x ? 2z ? 0 ? ? 3 y ? 0 解之得 ? y ? 0 , ? ? ? 取z = 1得n=(-2,0,1) ? (1) A1 E ? (2,0,?1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 ? (2) AB1 ? (1, 3,2) ,而 AB ? n =-2+0+2=0 ? ∴AB1 ∥平面DBC1
1

26

? (3)平面与平面的位置关系 ? 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 ? n α ? n α ? n
1 1

n2

2

β

β

? ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ? ②若n1⊥n2,即n1 · 2= 0,则α⊥β n
27

?? ? n1

?1
?2

?? ? n2

?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?1 // ?2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2
28

?? ? n2

?2

?? ? n1
?1

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n1 ? 0
29

? 例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是 BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD
z A1 B1 C1 D1

E D A F x B C y

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? 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐 标系A- xyz, ?设:正方体的棱长为2, ?那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), ) 于是 AE ? ( 2,0,1, AD ? (0,2,0) ?设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得
1 ? ?2 x ? z ? 0 解得:? x ? ? 2 z ? ? ? y ? 0 ? 2y ? 0 ?

?取z=2得n1=(-1,0,2) ?同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ?∵n1 · 2 = -2+0+2=0 n ∴平面AED⊥平面A1FD 31

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

32

巩固性训练2
1.设

u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
垂直 平行

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

相交

33

巩固性训练3
1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

34

练习:用空间向量来解决下列题目
1.如图,正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, E为 DD?的中点, 证明:BD? //平面AEC
A?

D?

C?
B?

E
D

C

2、在正方体AC ?中,E、F、G、P、 A Q、R分别是所在棱AB、BC、BB? P A?D? 、D? C? 、DD?的中点, A? 求证:⑴平面PQR∥平面EFG。 ⑵ BD?⊥平面EFG
A

B
D? Q B? R G D F E B
35

C?

C


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