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高二数学期末考试模拟6


高二数学期末复习模拟试卷 6

一、填空题
1. 已知 i 是虚数单位,复数 z ?
1 ? 2i ,则 | z | ? 3 ? 4i

. .

2.已知 z ? C , z ? 2 ? 1, 则 z ? 2 ? 3i 的最大值和最小值分别是

3. 如 图 所 示 的 韦 恩

图 中 , A 、 B 是 非 空 集 合 , 定 义 A * B 表 示 阴 影 部 分 集 合 . 若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2
A * B=

?




B ? y y ? 3x , x ? 0

?

?





4. 已知命题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3x 在 x ? ?? ?,0? 上有意义,命题 q :函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域为

R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围
5. 函数 f ( x ) ? x ? 2 ln x 单调递减区间是 .



? 2x ? 1 x ? 1 ? 6. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 f [ f (0)] ? 4a ,则实数 a 等于 2 ? x ? ax x ? 1 ?
7. 函数 f ( x) ? sin x ? x ? x ? 3 在 [?2? , 2? ] 上最大值与最小值之和为
3 5





8.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? ___ __ __

1 x 1 ,则 f ( x) ? ? 的解集为 2 2 2

9. 如 图 ,直 角 梯形 OABC 位 于 直 线 x ? t (0 ? t ? 5) 右 侧 的 图形面 积 为 f (t ) , 则 函 数

f (t ) ?

. .

1 1 10. 当 0 ≤ x ≤ 时, | ax ? 2x3 |≤ 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 2

11. 已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,则实数 a 的取 值范围是 12. 设 f ( x) ? sin 2 x ? m cos 2 x ,若对一切 x ? R,都有 f(x) ? f ( ) ,则 f (

?

?
24

8

)=



?2 x ? 1, x?0 ? 2 13. 已知定义在 (?1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 3x ? 1 ,若 f (3 ?a ) ? f (2 a ) , ?1 ? x ? 0 ? ? x ?1
为 .

, 则实数 a 取值范围

14. 函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数。设函数 f ( x ) 在 [0 , 1] 上为非减函数,且满足以下三个条件:① f (0) ? 0 ; ②

x 1 1 5 f (1 ? x) ? f ( x) ? 1 ; ③ f ( ) ? f ( x), 则 f ( ) ? f ( ) 的值为 3 2 3 12
二、解答题 15 △ABC 中, 3 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 3 . (I)求∠C 的大小;



(Ⅱ)设角 A,B,C 的对边依次为 a, b, c ,若 c ? 2 ,且△ABC 是锐角三角形,求 a ? b 的取值范围.
2 2

16.设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ? ? ? 1 ,


?1? ? 3?

(1)求 f (1) 的值 (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围.

17.已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

18 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ( ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt? FHE , H 是 直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别 落在线段 BC, AD 上.已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? . (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (2)若 sin? ? cos ? ? 2 ,求此时管道的长度 L ; (3)问:当 ? 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

2x x 19.设函数 f ( x ) ? e ? e ? a , ( a 为实数, x ? R ) .

(1)求证:函数 f ( x ) 不是奇函数; (2)若 g ( x) ? xa 在 (0, ??) 单调减,求满足不等式 f ( x) ? a2 的 x 的取值范围; (3)求函数 f ( x ) 的值域(用 a 表示) .

20.已知奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 在 x ? 1 处取得极大值 2. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? c ,求实数 c 的最小值; (3)若关于 p 的一元二次方程 p2 ? 2mp ? 4 ? 0 两个根均大于 1,求函数 g ( x) ? 区间.

f ( x) ? m ln x 的单调 x

1、

5

2

3、

1 2 ? ?8 ? t ? 0 ? t ? 2 ? 2 f ?t ? ? ? ?10 ? 2t ? 2 ? t ? 5? ?

1? a ? 3

4 、 (??, ]

1 2

(1, ??)

5、 (0,2) 6、2 7、-6 8、 x x ? 1

?

?
a? 1 3

9、

1 3 10 [? , ] 2 2

11、

12、

( ? ,1) 2 13、

1

14、1

15 ∴

tan A ? tan B ?? 3 1 解: (1)依题意: ? tan A tan B ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 0 ?
A? B ? 2? 3

A? B ?? ,

,∴

C ?? ? A ?B ? 3

?



? ? A? ? ? 2 ? ?B ? ? ? 2 (2)由三角形是锐角三角形可得 ?

?

,即 6

? A?

?
2





a2 ? b 2 ?

16 [ s i n2A ? 3

? 2 s i 2n (? A ? f) ]A ( ) 3 ,

a 2 ? b2 ?

16 1 1 16 [sin 2 A ? sin 2 C ] ? [ (1 ? cos 2 A) ? (1 ? cos 2C )] ? 16 ? 8 (cos 2 A ? cos 2C ) 3 2 2 3 3 3

?

16 8 1 3 16 8 4? sin 2 A] ? [cos 2 A ? cos( ? 2 A)] ? 16 ? 8 [cos 2 A ? (? 1 ) cos 2 A ? (? 3 )sin 2 A] ? ? [ cos 2 A ? 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2
16 8 ? ? sin(2 A ? ) 3 3 6
?

?


1

6

? A?

?
2

?

,∴

6

? 2A ?

? 5?
6 ? 6,



1 ? ? s i n (A 2? ≤) 2 6



20 ? a 2 ? b 2 ≤8 3 。

16 解: (1)令 x ? y ? 1,则 f (1) ? f (1) ? f (1) ,∴ f (1) ? 0 (2)∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1? ? 3?

?1? ?9?

1 1 3 3

?1? ? 3?

?1? ? 3?

∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? ,又由 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,得:


?1? ?9?

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? ?x ? 0 ?2 ? x ? 0 ? ?
17(Ⅰ)

解之得: x ? ?1 ?

? ? ?

2 2 2 2? ?. ,1 ? 3 3 ? ?

f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

2分

?0 ? x ?
(Ⅱ)

1 1 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x

4分

设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 则 g '( x) ? x x2 x2

7分

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ;
18 解: (1) EH ?

10 分

10 10 , FH ? cos ? sin ?

EF ?

10 sin? cos?

10 ? 10 3 tan ? ? ? 10 10 10 ? ? 3 ? ? , ? ?[ , ] . ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] L ? 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ? 6 3 3 1 (2) sin? ? cos ? ? 2 时, sin? cos ? ?? , L ? 20( 2 ? 1) ; 2 10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? ) (3) L ? = 10( cos ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? t 2 ?1 设 sin ? ? cos ? ? t 则 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? ? 3 ?1 由于 ? ? [ , ] ,所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ , 2] …14 分 6 3 4 2 20 ? ? 3 ?1 3 ?1 L? ,? ? 时 在[ 时? ? , 2] 内单调递减,于是当 t ? t ?1 6 3 2 2
由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 , AF ?

L 的最大值 20( 3 ? 1) 米.

) 19 解 :( 1 ) 假 设 f ( x ) 是 奇 函 数 , 则 f (? x) ? ? f ( x) , 而 x ? R , 则 f ( 0 ?
f (0) ? e0 ? e0 ? a ? 1 ? 1 ? a ? 0 ,故假设不成立,从而函数 f ( x) 不是奇函数.
(2)因 g ( x) ? x 在 (0, ??) 单调减,则 a ? 0 , e
a
2x

0 ,而

? e x ? a ? e2 x ? e x ? a ? a 2
x

x x x 则 (e ? a)(e ? a ? 1) ? 0 ,而 (e ? a) ? 0 ,则 e ? ?a ? 1 ,于是 x ? ln[?(a ? 1)] ;
x 2 (3)设 e ? t ,则 t ? 0 , y ? f ( x) ? t ? t ? a ,

2 当 a ? 0 时, y ? f ( x) ? t ? t ? a 在 t ? 0 时单调增,则 f ( x) ? f (0) ? ?a ;

当0 ? a ?

1 2 2 时, y ? f ( x) ? t ? t ? a ? f (a) ? a ; 2

当a ?

1 1 1 2 时, y ? f ( x) ? t ? t ? a ? f ( ) ? a ? ; 2 2 4

故当 a ? 0 时, f ( x ) 的值域为 (?a, ??) ;

1 时, f ( x ) 的值域为 (a 2 , ??) ; 2 1 1 当 a ? 时, f ( x ) 的值域为 (a ? , ??) . 2 4
当0 ? a ?

? b?0 ? a ? ?1 ? ?f? 1 ?0 20 解: (1)由题 ? ? ? ,解得 ? b ? 0 , f ? x ? ? ?x3 ? 3x ; ? c?3 ? f ?1? ? 2 ? ?
(2) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)max ? f ( x )min ? 4,故 c 的最小值为 4; (3) p2 ? 2mp ? 4 ? 0 两个根均大于 1,则求得 2 ? m ?

5 , 2

g ? x ? ? ?x2 ? 3 ? m ln x ,则 x ? 0 .
g ? ? x ? ? ?2 x ? m ?
而2 ? m ?

1 ?2 x 2 ? m ? . x x

? ? 5 m? m? ,则 x ? ? 0, 时, g? ? x ? ? 0 ,故 ? 0, ? ? 是 g ? x ? 的单调增区间, ? ? 2 2? 2? ? ? ? ?

? m ? ? m ? ? x ?? ? 2 , ?? ? ? 时, g ? x ? ? 0 ,故 ? ? 2 , ?? ? ? 是 g ? x ? 的单调减区间. ? ? ? ?

22.已知二项式 (2 ? x ) ,求: (1)二项展开式第 3 项的二项式系数; (2)二项展开式第 8 项的系数;
2 8

(3)系数最大的项.

E 是线段 D1O 上一点,且 D1E ? ? ? EO . 23.如图:在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 是 AC 的中点,
(Ⅰ)求证: DB1 ? 平面CD1O ; (Ⅱ)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值. D1 A1 E D A O B C B1 C1

1 24.假定某人每次射击命中目标的概率均为 2 ,现在连续射击 3 次。

(1) 求此人至少命中目标 2 次的概率;⑵若此人前 3 次射击都没有命中目标,再补射一次后结束射击; 否则,射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为 X,求 X 的数学期望。
2 3 22. ⑴设此人至少命中目标 2 次的事件为 A,则 P( A) ? C3 ? ( )2 ? ( ) ? C3 ? ( )3 ?

1 2

1 2

1 2

1 , 2

即此人至少命中目标 2 次的概率为

1 . 2

1 ? 0 1 3? 1 ?( ) ??( ) ? , ⑵由题设知 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 P( X ? 0) ? ?C3 2 ? 2 16 ? 1 1 7 1 1 3 ? 0 1 3? 1 1 2 P( X ? 1) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ?C3 ?( ) ??( ) ? , P( X ? 2) ? C3 ? ( )2 ? ( ) ? , 2 2 2 ? 2 16 2 2 8 ?

1 1 1 7 3 1 25 3 . P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? ,从而 E( X ) ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 2 8 16 16 8 8 16
23. 解: (Ⅰ)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则 D(0, 0, 0), B1 (1,1,1), O( , , 0), C (0,1, 0), D1 (0, 0,1) 于是: DB1 ? (1,1,1),, CD1 ? (0, ?1,1), OC ? (? 因为 DB1 ? CD1 ? 0, DB1 ? OC ? 0 , 所以 DB1 ? CD1 , DB1 ? OC ,因为 CD1 , OC 为平面 CD1O 内两条相交直线 故 DB1 ? 平面CD1O · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 CD1O 的法向量取 m ? DB1 ? (1,1,1) 由 D1E ? ? ? EO ,则 E (

1 1 2 2

1 1 , , 0) 2 2

1 ) 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? , ,

?

?

又设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

由 n ? CD ? 0, n ? DE ? 0

?y ? 0 ? 得 ? ?x , ?y z ? ? ? 0 ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ?
取 x ? ?2, 得 z ? ? ,即 n ? (?2,0, ?) 因为平面 CDE ? 平面 CD1O , 所以 m ? n ? 0 ,得 ? ? 2 24.


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