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福建师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学文试题


福建师大附中 2013—2014 学年度上学期期末考试

高二数学文试题
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷. 第 I 卷 共 60 分 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.抛物线 y ?

1 2 x 的准线方程是( *** ) 4
B. y ? ?1 C. y ?

A. y ? 1

1 16

D. y ? ?

1 16

2.已知 F1 ?? 3,0?, F2 ?3,0? ,动点 P 满足: PF 1 ? PF 2 ? 6 ,则动点 P 的轨迹为( *** ) A.椭圆 B. 线段 3. 下列有关命题的说法正确的是( *** ) C.两条射线 D. 双曲线

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”.

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 4. 设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,该双曲线的一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 , F1 , F2 分别是双 9 a2

曲线的左、右焦点,若 PF 1 ? 10 ,则 PF2 等于( *** ) A.2 B.18 C.2 或 18 D.16

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( *** ) 5.若方程 2 ? m m ?1
A.-2< m <-1 6. 设 F1 , F2 为双曲线 积是( *** ) A.1 B. B. m >-1 C. m <-2 D. m <-2 或 m >-1

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且 ?F1 PF2 ? 900 ,则 ?F1 PF2 的面 4
5 2

C.2

D. 5

·1 ·

7.已知点 A 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上一点,F 为椭圆的一个焦点, 且 AF ? x 轴, AF ? 焦 a2 b2
C. 2-1 1 D. 2- 2

距,则椭圆的离心率是( *** ) 1+ 5 A. B. 3-1 2

8.对于实数 x , y ,条件 p : x ? y ? 8 ,条件 q : x ? 2 或 y ? 6 ,那么 p 是 q 的( *** ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.都不对

9. 已知抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 相交于 A、B 两点,其中 A 点的坐标 是(1,2)。如果抛物线的焦点为 F,那么 FA ? FB 等于( *** ) A. 5 B.6 C. 3 5 D.7

10. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点 P 使得 a2 b2

PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率的取值范围为( *** )
A. ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

B. ?

? 2 ? ? ? 2 ,1? ? ?

C. ? 0,

? ? ?

2? ? D. 2 ? ?

? 2? ? 0, ? 2 ? ? ?

11. 已知函数 y ? f ?x ?的图象是下列四个图象之一,且其导函数

y ? f ??x? 的图象如右图所示,则该函数的图象是( *** )

A 12.已知动点 P ( x, y ) 在椭圆 最小值是( *** ) A. 2

B

C

D

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上,若 A 点坐标为 (3,0) , | AM |? 1 ,且 PM ? AM ? 0 则 | PM | 的 25 16

B. 3

C. 2 第Ⅱ 卷共 90 分

D. 3

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)
·2 ·

13. e ln x

?

x

?? ?

***

; ?

? ? sin x ? ? ? ? cos x ?

***

14. 点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最 小值是 *** .

? x ? 1, ? 15. 已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? y 的最小值是 *** . ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,准线是 l ,则经过点 F 、 M (4,4)且与 l 相切的圆共有 *** 个. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 6, a4 ? a6 ? 20。 (1)求通项 an ; (2)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c ,已知 B ? 60? , (1)若 b ? 3, A ? 45? ,求 a ; (2)若 a、b、c 成等比数列,请判断 ?ABC 的形状.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? x ? x ? 16 。
3

(1)求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?2,?6? 处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y ? f ?x ? 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标.
·3 ·

20. (本题满分 12 分) 已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 1) 的左、右两个焦点,一条直线 l 经过点 F1 与椭圆交 a2 a2 ?1

于 A, B 两点, 且 ?ABF2 的周长为 8。 ⑴ 求实数 a 的值; ⑵ 若 l 的倾斜角为

? ,求 AB 的值。 4

21. (本小题共 12 分) 一个截面为抛物线形的旧河道(如图 1),河口宽 AB=4 米,河深 2 米,现要将其截面改造为等腰 梯形(如图 2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土. (1)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧 AB 的标准方程; (2)试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时,才能使挖出的土最少? A A B B

(图 1)

(图 2)

22. (本题满分 14 分)

x2 y2 如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的顶点为 A1 , A2 , B1 , B2 , 焦点为 F1 , F2 , a b

A1 B2 ? 7, S□ A1B1 A2 B2 = 2S□ B1F1B2 F2 .
(Ⅰ )求椭圆 C 的方程;
·4 ·

(Ⅱ )设直线 m 过 Q (1,1),且与椭圆相交于 M , N 两点, 当 Q 是 MN 的中点时,求直线 m 的方程. (Ⅲ )设 n 为过原点的直线, l 是与 n 垂直相交于 P 点且与椭圆相交于两点 A, B 的直线, OP ? 1 ,是 否存在上述直线 l 使以 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题:1-12:BBDCD 二、填空题: 13、 e ? ln x ?
x

ACADA BB

? ?

1 1? ?, x ? cos 2 x

14、 2

15、3

16、2

三、解答题:

?a1 ? 2d ? 6 ?a ? 2 17、解:( 1 ) ?? ,? ? 1 ,? an ? 2n ?2a1 ? 8d ? 20 ?d ? 2

?2?bn ? an ? 3n?1 ,? bn ? 3n?1 ? 2n,?Tn ? (1 ? 3 ? ? ? 3n?1 ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? 3

n

?1 ? n2 ? n 2

a 3 3 sin 45? 18、解: (1)在?ABC中,由正弦定理得 ? , 得a ? ? 2 sin 45? sin 60? sin 60? (2)因为a、b、c成等比数列,所以 b 2 ? ac,由余弦定理b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, 所以a 2 ? c 2 ? ac ? ac, 所以(a ? c) 2 ? 0, 所以a ? c, 所以A ? C ? 60, 所以?ABC为等边三角形 .

19、解:( 1 )f ?( x) ? 3x 2 ? 1, 所以f ?(2) ? 13, 所以所求的切线方程为 y ? 6 ? 13( x ? 2)即13x ? y ? 32 ? 0 (2)设切点为(x0 , x0 ? x0 ? 16), f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1,
3 2

所以切线方程为 y ? x0 ? x0 ? 16 ? 3x0 ? 1 ( x ? x0 )

?

3

因为切线过原点,所以 ? x0 ? x0 ? 16 ? ? x0 3x0 ? 1 ,所以2 x0 ? ?16, 所以x0 ? -2, 所以f ?(?2) ? 13, 所以所求的切线方程为 y ? 13x,切点为(? 2, ? 26)
20. 解:由椭圆的定义,得 AF 1 ? AF 2 ? 2a , BF 1 ? BF 2 ? 2a , 又 AF 1 ? BF 1 ? AB ,
·5 ·

?

? ?

2

3

?

?

?

2

?

3

………2 分

所以 ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? 4a . 又因为 ?ABF2 的周长为 8,所以 4a ? 8 , 则 a ? 2 . ⑵ 由⑴ 得,椭圆

……………4 分 ……………5 分

x2 y2 ? ? 1 , F1 (?1 , 0) , ………………………7 分 4 3 ? 因为直线 l 的倾斜角为 ,所以直线 l 斜率为 1 , 4
……………………8 分

故直线 l 的方程为 y ? x ? 1 .

? y ? x ? 1, ? 2 由 ? x2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , ? 1, ? ? 3 ?4
(法一: AB ?

……………9 分

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ] ?

24 ) 7

法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,解得, x1 ? 所以 y1 ? 则 AB ?

?4?6 2 ?4?6 2 , x2 ? ……10 分 7 7

3?6 2 3?6 2 , y2 ? 7 7

12 2 2 12 2 2 24 ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( ) ?( ) ? 7 7 7

…………12 分

21. 【解析】 (Ⅰ )如图:以抛物线的顶点为原点,

AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系……1 分
则 A(?2, 2), B(2, 2)
2

A

B

……2 分

设抛物线的方程为 x ? 2Py( P ? 0) 将点 B (2, 2) 代入得 P ? 1

(1)

……3 分 ……4 分

2 所以抛物线弧 AB 方程为 x ? 2 y ( ?2 ? x ? 2 )

2 (Ⅱ )解法一:设等腰梯形的腰与抛物线相切于 P (t , t ), (不妨t ? 0)

1 2

则过 P( t ,

1 2 t ) 的切线 l 的斜率为 y ' 2

x ?t

? t ,所以切线 l 的方程为: y ?

t2 ? t ( x ? t ) ,即 2

·6 ·

y ? tx ?

t2 t t 2 ,令 y ? 0 ,得 x ? ,令 y ? 2 ,得 x ? ? , 2 2 t 2
1? t 2 t? 2 2 ? ( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2(t ? ) ? 4 2 ? 2? 2 t 2? t
……10 分

所以梯形面积 S ?

当仅当 t ?

2 2 2 ,即 t ? 2 时, " ? " 成立此时下底边长为 2( ? )?3 2 t 2 2
……12 分

答:当梯形的下底边长等于 3 2 米时,挖出的土最少.

解法二:设等腰梯形上底(较短的边)长为 2 a 米,则一腰过点 (a,0),(a ? 0) ,可设此 腰所在直线方程为 y ? k ( x ? a), (k ? 0) ,

? y ? k ( x ? a) ? 2 联立 ? 1 2 ,得 x ? 2kx ? 2ka ? 0 , y? x ? ? 2
2 令 ? ? 4k ? 8ka ? 0 ,得 k ? 2a ,或 k ? 0 (舍) ,

故此腰所在直线方程为 y ? 2a( x ? a) , 令 y ? 2 ,得 x ? a ?

1 , a

故等腰梯形的面积: S ? 2 ? [a ? (a ? )] ? 2 ? 2(2a ? ) ? 4 2 ……10 分 当且仅当 2 a ?

1 2

1 a

1 a

1 2 ,即 a ? 时,有 Smin ? 4 2 a 2

此时,下底边长 2(a ? ) ? 2(

1 a

2 2 ? )?3 2 2 2
……12 分

答:当梯形的下底边长等于 3 2 米时,挖出的土最少. 22、解: (Ⅰ )依题意有 A1 B2 ?

a 2 ? b 2 ? 7, ? a2 ? b2 ? 7 …………1 分

又由 S□ A1B1 A2 B2 = 2S□ B1F1B2 F2 .有 2a ? b ? 2 ? 2c ? b ,? a ? 2c …………2 分 解得 a ? 4, b ? 3 ,…… 3 分,故椭圆 C 的方程为
2 2

x2 y2 ? ? 1 .………4 分 4 3

·7 ·

(Ⅱ )当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1 , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
2 2 x12 y12 x2 y2 y ? y2 3 x ? x2 则 . ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减得: k ? 1 ?? ? 1 4 3 4 3 x1 ? x2 4 y1 ? y 2

∵Q 是 MN 的中点, ∴ 可得直线 m 的斜率为 k ?

y1 ? y 2 3 ? ? ,7 分 x1 ? x2 4
3 2 3 2

当直线 m 的斜率不存在时,将 x=1 代入椭圆方程并解得 M (1, ) , N (1, ? ) , 这时 MN 的中点为 (1,0) ,∴ x=1 不符合题设要求.…………8 分 综上,直线 m 的方程为 3x ? 4 y ? 7 ? 0 …………9 分 (Ⅲ )设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,假设满足题设的直线 l 存在, ( i )当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 OP ? 1 得

m 1? k 2

? 1 ,即 m 2 ? k 2 ? 1 ,…………10 分

又∵ 以 AB 为直径的圆过原点,∴ OA⊥ OB, ∴x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程,得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx? (4m ? 12) ? 0 ,
2 2 2

由求根公式可得 x1 ? x 2 ?

? 8km , 3 ? 4k 2



x1 x 2 ?

4m 2 ? 12 . 3 ? 4k 2



0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ,
将④ ,⑤ 代入上式并化简得

(1 ? k 2 )(4m 2 ? 12) ? 8k 2 m 2 ? m 2 (3 ? 4k 2 ) ? 0 ,⑥
·8 ·

将 m 2 ? 1 ? k 2 代入⑥ 并化简得 ? 5(k 2 ? 1) ? 0 ,矛盾. 即此时直线 l 不存在. …………12 分

(ii)当 l 垂直于 x 轴时,满足 OP ? 1 的直线 l 的方程为 x ? 1 或 x ? ?1 ,

·9 ·


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