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第3章 单自由度体系1(时域)


第三章 单自由度体系
自由振动和强迫振动时域分析

3.1力学模型
? 单自由度体系:SDOF(Single-Degree-of- Freedom )System ? 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 ? 分析单自由度体系的意义: 1、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物 理量及基本概念。 2、很多实际的动力问题可以直接

按单自由度体系进行 分析计算。 3、多自由度系统在很多情况下可以转变为单自由度系 统进行分析

单自由度结构体系运动方程的一般形式:
m k 水平运动模型 k m

m m

k

竖向运动模型

不同力学模型完全等效,因为体系的运动方程相同
* * *   m u + c u + k u = p (t ) *

重力的影响
静平衡位置:受动力作用 以前结构所处的实际位置 Δ st = W / k 记:动位移为u 惯性力、阻尼力和弹性 恢复力分别为:  f I = mu  + cu  + k (u + Δ st ) = p(t ) + W  f S = k (u + Δ st ) mu f D = cu W = k Δ st
k c fD fS fD m(W) fI W fI p(t) u p(t) u p(t) u W fS
st

外荷载为:
p (t ) + W

 + cu  + ku = p (t ) mu

重力的影响
1、考虑重力影响时,结构体系的运动方程与无重力 影响时的运动方程完全一样,此时u是由动荷载引起 的动力反应。
在研究结构的动力反应时,可以完全不考虑重力的影响,建立 体系的运动方程,直接求解动力荷载作用下的运动方程,即得 到结构体系的动力解。

2、当需要考虑重力影响时,结构的总位移为 总位移=静力解+动力解
应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的 总体反应。 在结构反应问题中,应用叠加原理可将静力问题(一般是重力 问题)和动力问题分开计算。

重力的影响
3、注意1:由于应用了叠加原理,上述结论是用于 线弹性体系。 4、注意2,在以上推导过程中,假设悬挂的弹簧― 质点体系只发生竖向振动,在动荷载作用之前,重 力被弹簧的弹性变形所平衡,而施加荷载后,重力 始终被弹性变形所平衡。如果重力的影响没有预先 被平衡,则在施加动力荷载产生进一步变形后,可 以产生二阶影响问题,例如P―Δ效应。

[例]质量为m的质点的倒立摆系统。 弹簧原长时θ=0。求质点微幅振动 时的运动微分方程。 [解] 1、静平衡位置
mgl sin θ 0 = ka 2θ 0

y

m
θ

l a o

k

记:动位移为θ,以逆时针为正

2、计算系统的动能和势能
1 2 2 T = ml θ 2

x

1 2 V = ka (θ ? θ 0 ) 2 + mgl cos(θ ? θ 0 ) 2

2、代入Lagrange方程
d ?L ?L ? =0  j ?q j dt ?q
sin(θ ? θ 0 ) = sin θ cos θ 0 ? cos θ sin θ 0 sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1

1 2 2 ml θ 2 1 V = ka 2 (θ ? θ 0 ) 2 + mgl cos(θ ? θ 0 ) 2 T=

 + ka 2 (θ ? θ ) ? mgl sin(θ ? θ ) = 0 ml 2θ 0 0

 + ka 2 (θ ? θ ) ? mglθ cos θ + mgl sin θ = 0 ml 2θ 0 0 0

mgl sin θ 0 = ka 2θ 0  + ka 2θ ? mglθ cos θ = 0 ml 2θ 0

重力的 影响

当倒立摆产生水平振动后, 摆的重力引起的附加弯矩是 一个新的量,它并没有预先 被平衡,将对体系的动力反 应产生影响,这种影响必然 反映到结构的运动方程中。

3.2自由振动

 + cu  + ku = p (t ) mu

? 自由振动:结构受到扰动离开平衡位置以 后,不再受任何外力影响的振动过程。
运动方程:
二阶常系数齐次线 性微分方程

 + cu  + ku = 0 mu
初始条件:

 t =0 = u  (0) u t =0 = u (0), u

1.1无阻尼自由振动
阻尼系数: 运动方程:

c=0  + ku = 0 mu

初始条件:

 t =0 = u  (0) u t =0 = u (0), u

1.1无阻尼自由振动
设无阻尼自由振动解的形式为:

u (t ) = e st
其中:s为待定系数;

 + ku = 0 mu

(ms 2 + k )e st = 0
特征方程:
ms 2 + k = 0
2 s 2 = ?k / m = ?ωn

两个虚根:

s1 = iωn , s2 = ?iωn
i = ?1, ωn = k / m

1.1无阻尼自由振动
运动方程的通解为:
u (t ) = c1e s1t + c2 e s2t = c1eiωnt + c2 e ? iωnt

指数函数与三角函数的关系:

eix = cos x + i sin x e ? ix = cos x ? i sin x
运动方程的解: u (t ) = A cos ωnt + B sin ωnt

A,B—待定常数,由初始条件确定。

1.1无阻尼自由振动
将位移 和速度

u (t ) = A cos ωn t + B sin ωnt

 (t ) = ? Aωn sin ωnt + Bωn cos ωnt u
 t =0 = u  (0) u t =0 = u (0), u
初相 角

代入初始条件: 得待定常数为:

 (0) / ωn A = u (0), B = u 自振 体系无阻尼自由振动的解: 振幅 频率  (0) u u (t ) = u (0) cos ωnt + sin ωnt = u0 sin(ωnt + ? )

ωn

无阻尼振动是一个简谐运动(Simple harmonic motion)

1.1无阻尼自由振动

u (t ) = u (0) cos ωnt +

 (0) u

ωn

sin ωn t

Tn =



ωn

?u  (0) ? u0 = max[u (t )] = [u (0) ] + ? ? ω ? n ?
2

2

tg? =

ωnu (0)
 (0) u

1.1无阻尼自由振动
结构自振频率和自振周期及其关系
自振圆频率: ω = k / m n (固有圆频率) 2π Tn = 自振周期: ω
n

(单位:弧度/秒, rad/s) (单位:秒, sec)

自振频率:

ωn fn = 2π

(单位:周/秒, 赫兹,Hz)

定义自重力作用下的静位移为:δ st = mg / k 自振圆频率另一种表达:

ωn = kg / mg = g / δ st

一些重要性质:
(1)自振周期只与结构的质量和结构的刚度有 关,与外界的干扰因素无关。 (2)自振周期与质量的平方根成正比,质量越 大,周期越大(频率越小);自振周期与刚度的 平方根成反比,刚度越大,周期越小(频率越 大);要改变结构的自振周期,只有从改变结构 的质量或刚度着手。 (3)两个外形相似的结构,如果周期相差悬 殊,则动力性能相差很大。反之,两个外形看来 并不相同的结构,如果其自振周期相近,则在动 荷载作用下的动力性能基本一致。

例1:图示三根单跨梁,EI=常数,在梁中点有集中质量m, 不考虑梁的质量,试比较三则者的自振频率。

m l/2
解:1)求δ
l3 δ1 = 48 EI

m l/2
3l/ 16

m l/2
P=1

l/2

l/2

l/2

7l 3 5l/ δ2 = 32 768EI P=1 l/ 2

l3 δ3 = 192 EI

ω1 =

1 mδ 1

=

48 EI ml 3

3 1l 768 EIl 5l 1 192 EI 1 l 3 l 7 l 2 = = ω = = δ2 = (2× × ? 3 ×ω 3 ) 1= 3 ml 2 32 768 mδ ml EI 62 2 7 16 EI mδ 3

据此可得:ω1∷ ω2 ∷ ω3= 1∷ 1.512 ∷2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。

m l/2
12 EI (l / 2)

C

B

QCA

QCB

l/2
96 EI l3

A

1

l/2
QCA = = 3 QCB = ? 12 EI (l / 2) =? 3

l/2
96 EI l3 m EI1=∞

k
k = QCA ? QCB = 192 EI l3 1

k 192 EI = m ml 3 例2:求图示刚架的自振 频率。不计柱的质量。 15 EI k= 3 h

ω=

6EI/h2

EI

EI

h

l

3EI/h2

6EI/h2

k

k 15 EI ω= = m mh 3

3EI/h3

12EI/h3

等效弹簧
1、并联弹簧 特点:各个弹簧的拉伸均相等 各弹簧所受的力为:
f s1 = k1 ( x2 ? x1 ) f s 2 = k2 ( x2 ? x1 ) "" f s 2 = k2 ( x2 ? x1 )
f s x1

k1 k2 kj kn x1 x2 x2

f s

k eq

将以上各式相加可得: n 根据弹簧刚度的定义:
f s = keq ( x2 ? x1 )
j =1

f s

f s

f s = ∑ k j ( x2 ? x1 ) = ( x2 ? x1 )∑ k j
j =1

n

keq = ∑ k j
j =1

n

等效弹簧

x1 f s

k1

x2

kj

xn

kn

xn+1 f s

x1

2、串联弹簧 特点:各个弹簧的弹簧抗力相等 各弹簧所受的力为:
f s

k eq

x n+1

f s

f s1 = k1 ( x2 ? x1 ) f s 2 = k2 ( x3 ? x2 ) "" f sn = kn ( xn +1 ? xn )

f s / k1 = ( x2 ? x1 ) f s / k2 = ( x3 ? x2 ) "" f s / kn = ( xn +1 ? xn )

将以上各式相加可得: n 根据弹簧刚度的定义:
f s / keq = xn +1 ? x1
j =1

f s ∑ (1/ k j ) = xn +1 ? x1
n 1 1 =∑ keq j =1 k j

[例1]求图示系统的在平面内作竖向振动时的自振圆频
率。其中:集中质量M=8kg,无质量梁的抗弯刚度 EI=8/3N.m2,弹簧刚度K1=K2=8N/s,梁的长度l=2m。
无质量梁

M K2

K1

EI

l/2

l/2

[解]由于k1=k2,且集中质量位于跨中,则两弹簧的位移相 等,由此可将系统简化右图形式。 48 EI k = 其中,k3 为梁的刚度。由图乘可知, 3 l3 所以等效弹簧刚度为: 1 = 1 + 1
keq 2k k3
k3

系统的自振频率为: ωn = keq / m = 1(rad / s) 思考:如果 k1 ≠ k2 ,系统能否也这样简化?

k1

k2

当 k1 ≠ k2 时,将系统在自重作用下的位移可表 示为: 1、简支梁的位移:
mg

δ st1 = mg / k3

k1

k2

2、弹簧的位移
δ st 2
1 mg / 2 mg / 2 mg 1 1 = ( + )= ( + ) k2 2 k1 4 k1 k2
k1 k2

在自重作用下的静位移为:
δ st = δ st 2 + δ st 2

系统的自振频率为:
ωn = g / δ st

[例2]单自由度体系的质量、刚度分别为m = 1kg , k = 4N/m,且不考虑阻尼。如果初始位移为u(0) = 4.6 cm,而t = 1.2秒时的位移仍为4.6 cm,试 求:(a) t = 2.4秒时的位移;(b)自由振动的振幅 u0。 [解] 自振圆频率: ωn = k / m = 2(rad / s ) 体系的运动方程为:
u (t ) = u (0) cos ωnt +

 (0) u

将已知条件代入可得:
4.6 = u (0)  (0) u 4.6 = u (0) cos 2.4 + sin 2.4 2

ωn

sin ωn t

u (0) = 4.6  (0) = 0.237 u

因此,2.4s时的位移为:
0.237 u (2.4) = 4.6 cos 4.8 + sin 4.8 = ?0.114(cm) 2

体系的振幅为
?u  (0) ? u0 = [u (0) ] + ? ? = 0.127(cm) ? ωn ?
2 2

3.4 一质量为m1的块体用刚度为k的弹簧悬挂处于平衡状 态(如下图所示)。另一质量为m2的块体由高度h自由 落下到块体 m1 上并与之完全粘接,确定由此引起的运 动u(t),u(t)由m1—k体系的静平衡位置起算。 解: (1)以m1和m2完全粘接后的静力 平衡位置建立运动方程

′ + ku ′ = 0 mu
初始条件

′ t =0 = u  ′(0) u ′ t =0 = u ′(0), u

(2)求初始条件(以向下方向为正)
m2 g 初始位移:u′(0) = ? k
m2 2 gh  ′(0) = 初始速度: u m1 + m2

k (3)完全粘接后系统的频率为 ωn = m + m 1 2  ′(0) u u ′(t ) = u ′(0) cos ωnt + sin ωnt (4)运动方程的解为:

m2 g ′ u ( t ) (5)u(t)与 的关系为: u (t ) = u ′(t ) + k

ωn

(6) u(t)的反应为
 ′(0) m2 g u sin ωnt u (t ) = + u ′(0) cos ωnt + ωn k m2 2 gh m2 g (1 ? cos ωnt ) + sin ωnt = (m1 + m2 )ωn k

1.2有阻尼自由振动  + cu  + ku = 0 mu  t =0 = u  (0) u t =0 = u (0), u

运动方程:

初始条件:

1.2有阻尼自由振动
设有阻尼自由振动解的形式为:
u (t ) = e st  + cu  + ku = 0 代入运动方程: mu (ms 2 + cs + k )e st = 0

特征方程:

ms 2 + cs + k = 0
2

?c ± c 2 ? 4mk c ? c ? 2 s1,2 = =? ± ? ? ω n ? 2m 2m ? 2m ?

ωn = k / m

1.2.1临界阻尼和阻尼比
临界阻尼——就是使 ? c ? ? ωn2 为零的阻尼系数。 ? ?
? 2m ?
2

ccr = 2mωn = 2 km

临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。 阻尼比——无量纲阻尼,即阻尼系数与临界阻尼的比。
ξ = c / ccr
2

c = 2ξ mωn

c ? c ? 2 2 ± ? ? = ? ± ?1 ω ξω ω ξ s1,2 = ? n n n ? 2m ? 2m ?

1.2.1临界阻尼和阻尼比
s1,2 = ?ξωn ± ωn ξ 2 ? 1

(1)当ξ<1时,称为低阻尼(Under damped)
结构体系称为低阻尼体系; (2)当ξ=1时,称为临界阻尼(Critically damped) (3)当ξ>1时,称为过(超)阻尼(Over damped) 结构体系称为过(超)阻尼体系。

1.2.2低阻尼体系(ξ<1)
定义: ωd = ωn 1 ? ξ 2

i = ?1

2 s = ? ξω ± i ω 1 ? ξ = ?ξωn ± iωd n n 特征方程的解: 1,2

位移和速度可表示为:

u (t ) = Ae s1t + Be s2t = e?ξωnt (c1 cos ωd t + c2 sin ωd t )  (t ) = ?ξωn e ?ξωnt (c1 cos ωd t + c2 sin ωd t ) u + e ?ξωnt (?c1ωd sin ωd t + c2ωd cos ωd t )
初始条件:

 t =0 = u  (0) u t =0 = u (0), u

c1 = u (0)  (0) ξωnu (0) + u c2 = ωd

低阻尼体系的运动方程为:
u (t ) = e
?ξωn t

 (0) ξωnu (0) + u [u (0) cos ωd t + sin ωd t ] ωd

1.2.2低阻尼体系(ξ<1)
u (t ) = e
?ξωn t

 (0) ξωnu (0) + u [u (0) cos ωd t + sin ωd t ] ωd

2 ω = ω 1 ? ξ 有阻尼体系的自振频率 d n Tn 2π 2π = = 有阻尼体系的自振周期 Td = 2 ωd ωn 1 ? ξ 1? ξ 2

ωd和Td分别为阻尼体系的自振频率和自振周期。
(1)阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小 (2)阻尼的存在使体系的自振周期变长
当ξ=1时,自振周期Td=∞。

1.2.2低阻尼体系(ξ<1)
u (t ) = u (0) cos ωnt +  (0) u

ωn

sin ωn t

u (t ) = e ?ξωnt [u (0) cos ωd t +

 (0) ξωnu (0) + u sin ωd t ] ωd

阻尼对自由振动的影响

1.2.2低阻尼体系(ξ<1)
ωd = ωn 1 ? ξ
Td = Tn 1? ξ 2
2

( ωd / ωn ) + ξ 2 = 1
2

ωd Tn = ωn Td
ωd ωn

现场实测:ωd 和Td 理论计算:ωn 和Tn 工程中结构的阻尼比ξ在 1—5%之间,一般不超过 20%,因此可以用有阻尼 体系的结果代替无阻尼结 果(误差小于2.1%)。

ξ

1.2.3过阻尼体系(ξ>1)
特征方程的解:

s1,2 = ?ξωn ± ωn ξ 2 ? 1
s2 t

u (t ) = c1e + c2 e
s1t

=e

?ξωn t

(c1e

ξ 2 ?1ωn t

+ c2 e )
2

? ξ 2 ?1ωn t

)

 (t ) = ?ξωn e u +e
?ξωn t

?ξωn t

(c1e
2

ξ 2 ?1ωn t

+ c2 e

? ξ 2 ?1ωn t

(c1 ξ ? 1ωn e

i ξ 2 ?1ωn t

? c2 ξ ? 1ωn e

? i ξ 2 ?1ωn t

)

 t =0 = u  (0) 初始条件: u t =0 = u (0), u
u (t ) = e
?ξωn t

[u (0) cosh( ξ ? 1ωnt ) +
2

 (0) + ξωnu (0) u

ξ 2 ? 1ωn

sinh( ξ 2 ? 1ωnt )]

此时运动不再呈振动形式,而是按指数规律随时间t的增 大而逐渐衰减以致消失。

1.2.4临界阻尼体系(ξ=1)
特征方程的解: s1,2 = ?ξωn = ?ωn

u (t ) = (c1 + c2t )e s1t = (c1 + c2t )e?ωnt  (t ) = c2 e ?ωnt ? ωn (c1 + c2t )e?ωnt u  t =0 = u  (0) 初始条件: u t =0 = u (0), u  (0) + ωu (0))t ]e ?ωnt u (t ) = [u (0) + (u
此时运动也不呈振动形式,而是按指数规律随时间t的增 大而逐渐衰减以致消失。 临界阻尼的另一个定义——在自由振动响应中不出现振 荡所需的最小阻尼值。

1.2.5有阻尼自由振动

低阻尼、临界阻尼、超阻尼体系的自由振动曲线 1、当ξ<1时,体系产生往复振动 2、当ξ≥1时,体系不发生往复振动 3、在ξ≥1情况下,以ξ=1时衰减最快

2.单自由度体系对简谐荷载的反应
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构 动力学中的一个经典内容。 研究的的意义: (1)不仅工程中实际存在这种形式的荷载; (2)简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了 了解结构动力特性的方法和手段; (3)是分析复杂荷载作用反应的基础。

2.1 无阻尼体系的简谐振动
运动方程:

 + ku = p 0 sin ωt mu
其中: p0 —简谐荷载的幅值; ω —简谐荷载的圆频率(激振频率、迫振频率)。 初始条件 :

u

t =0

 = u (0) , u

t =0

 (0) =u

2.1 无阻尼体系的简谐振动

 + ku = p 0 sin ωt mu

运动方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 全解=齐次方程的通解+特解 通解对应的方程是一个自由振动方程,其解uc为 无阻尼自由振动:

uc (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t

ωn = k / m
c - complementary

2.1 无阻尼体系的简谐振动

 + ku = p 0 sin ωt mu

特解—满足运动方程的解,记为up(t) ,是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。
设特解为: u p (t ) = C sin ωt
2

+ D cos ωt
2

 + ku = p0 sin ωt mu

[(k ? mω )C ? p ]sinωt + [(k ? mω )D]cosωt = 0
0

1 p0 C= , 2 k 1 ? (ω / ωn ) D=0

其中,ω/ωn—频率比,外荷载的激振频率与结构自振 频率之比 。

2.1 无阻尼体系的简谐振动
全解=通解+特解 u (t ) = uc (t ) + u p (t )

p0 1 = A cos ω n t + B sin ω n t + sin ωt 2 k 1 ? (ω / ω n )
待定系数A、B由初值(始)条件确定

A = u ( 0)  (0) p0 u ω / ωn B= ? 2 ωn k 1 ? (ω / ωn )

u t =0 = u (0)  t =0 = u  (0) u

2.1 无阻尼体系的简谐振动
满足初始条件的解 :
瞬态反应 Transient response

?u  (0) p0 ω / ωn ? ? sin ωnt u (t ) = u (0) cos ωnt + ? 2? k 1 ? (ω / ωn ) ? ? ωn p 1 + 0 sin ωt 2 k 1 ? (ω / ωn )

瞬态反应和稳态反应

稳态反应 Steady-state response

2.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 : p0 1 u (t ) = sin ωt 2 k 1 ? (ω / ωn ) u0—稳态反应的振幅:

p0 1 u0 = 2 k 1 ? (ω / ω n )

ust—等效静位移,或静位移: Rd—动力放大系数:

p0 u st = k

u0 1 Rd = = u st 1 ? (ω / ω n ) 2

2.1 无阻尼体系的简谐振动
无阻尼体系动力放大系数
u0 1 Rd = = u st 1 ? (ω / ω n ) 2

①ω=0 , Rd =1 ②ω=ωn,Rd → ∞ 发生共振 ③ ω / ωn ≥ 2 , Rd≤1

2.1 无阻尼体系的简谐振动
无阻尼体系共振时动力反应时程 共振时(ω=ωn),若特解采用 u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt 有什么问题? 此时为通解的一部分。 因此,特解应表示为 u p (t ) = Ct sin ωt + Dt cos ωt
C = 0, p0 D = ? ωn 2k

若初始条件为
u
t =0

 = 0 ,u

t =0

=0

运动方程的全解为

ust u (t ) = ? (ωn t cos ωn t ? sin ωn t ) 2

2.1 无阻尼体系的简谐振动
无阻尼体系共振时动力反应时程

ust u (t ) = ? (ωn t cos ωn t ? sin ωn t ) 2

2.2 有阻尼体系的简谐振动
运动方程: mu  + cu  + ku 初始条件: u

= p0 sin ωt
 t =0 = u  (0) u

t =0

= u(0) ,

利用c=2mωnζ,并将运动方程两边同除m, 得到如下形式的运动方程:

p0  + 2ζω n u  + ωn u = u sin ωt m
2

2.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应:

u c (t ) = e

?ζω n t

( A cos ω D t + B sin ω D t )

特解up可以设为如下形式 :

u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
p0  + 2ζω n u  + ωn u = sin ωt u m
2

p0 ? ? 2 2 2 2 ? C ? D ? t C ( ω ω ) 2 ζω ω sin ω + 2 ζω ω + ( ω ? ω ) D cos ωt = 0 n n n ? ? n m? ?

[

]

2.2 有阻尼体系的简谐振动
? ω 2? ω ) ? C ? ( 2ζ ) D = u st ?1 ? ( ωn ? ωn ? ? ω ω 2? ( 2ζ ) C + ?1 ? ( ) ?D = 0 ωn ωn ? ?

1 ? (ω / ω n ) 2 C = u st [1 ? (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2 D = u st ? 2ζω / ω n [1 ? (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2

运动方程的全解:u(t)=uc+up :

u(t ) = e

?ζωnt

( A cosωDt + B sinωDt ) + C sinωt + D cosωt

2.2 有阻尼体系的简谐振动

2.2 有阻尼体系的简谐振动
(1)共振反应(ω=ωn)
u(t ) = e
?ζωnt

1 ? (ω / ω n ) 2 C = u st [1 ? (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2 D = u st ? 2ζω / ω n [1 ? (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2

ust ( A cosωDt + B sin ωDt ) ? cosωt 2ζ
1 1 A= u st , B = u st 2 2ζ 2 1?ζ

C = 0,

D = ?

u st 2ζ

满足零初始条件
u st ? ?ζω n t ζ 运动解: u (t ) = (cos ω D t + ?e 2ζ ? 1? ζ ? ? sin ω D t ) ? cos ω n t ? ? ?

2

u st 当ζ=0时 : u (t ) = ? (ω n t cos ω n t ? sin ω n t ) 2

与无阻尼时的结果完全相同

(1)有阻尼体系的共振反应(ω=ωn)

有阻尼体系共振反应时程

2.2 有阻尼体系的简谐振动
(2)动力放大系数Rd 振动的稳态解:

u (t ) = C sin ωt + D cos ωt = u 0 sin(ωt ? ? )

u0 —稳态振动的振幅 ? —相角,反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
D u 0 = C + D , ? = tan ( ? ) C
2 2 ?1

1?(ω/ωn )2 C =ust [1?(ω/ωn )2 ]2 +[2ζ (ω/ωn )]2 D=ust ?2ζω/ωn [1?(ω/ωn )2 ]2 +[2ζ (ω/ωn )]2

u 0 = u st

1 [1 ? (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2ζ (ω / ω n )] 2
?1

? = tan

2ζ (ω / ω n ) 1 ? (ω / ω n ) 2

p0 ust = 静位移 k

(2)动力放大系数Rd(dynamic magnification
factor)

动力放大系数定义为 :

u (t ) = ust Rd sin(ωt ? ? )

u0 Rd = u st

u 0 = u st

1 [1 ? (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ (ω / ω n )] 2

Rd =

1 [1 ? (ω / ωn ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2

(2)动力放大系数Rd

Rd =

1 [1? (ω / ωn )2 ]2 +[2ζ (ω / ωn )]2

(2)动力放大系数Rd

(1) 当

ζ ≥ ζ <

1 2 1 2

时, Rd ≤ 1 ,即体系不发生放大反应。

(2) 当

时 , ( R d ) m ax =

1 2ζ 1?ζ
2

, (

ω ) 峰值 = ωn

1 ? 2ζ

2



(3) 当 ω / ω n = 1 ( 共 振 时 ) , Rd = (4) 当 ω / ω n ≥

1 。 2ζ

2 时, Rd ≤ 1 ,对任意 ζ 均成立。

2.2 有阻尼体系的简谐振动
(3)阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 在动力荷载的作用下,有阻尼体系的动力反应 (位移)一定要滞后动力荷载一段时间,即存 在反应滞后现象。 这个滞后的时间即由相角φ反映,如果滞后时间 为t0,则φ= ωt0 (t0=φ/ω)。 由计算φ的公式可知,滞后的相角与频率比 ω/ωn和阻尼大小均有关系。

? = tan

?1

2 ζ (ω / ω n ) 2 1 ? (ω / ω n )

(3)阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
右图给出阻尼比ζ=0.2时, 相应于不同频率比ω/ωn 时的外力和位移曲线及滞 后相角φ。相角φ实际是 反映结构体系位移(反应) 相应于动力荷载的反应滞 后时间,从图中可以发现, 频率比越大,动力反应的 滞后时间越长。

(3)阻尼体系动力反应与荷载的相位关系

(3)阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
三种特殊情况的相位关系
物理解释 由 ? ? ω / ω n 图判断

, f I ∝ u  = ?ω u ) (根据关系: f S ∝ u , f C ∝ u
2



ω /ωn → 0 时 ? →0

 和u  → 0 ,即 f c 和 f I → 0 ω → 0 则u
则 f S ≈ p (t ) 即 ku ≈ p (t ) , u 与 p (t ) 相位相同



ω /ωn = 1 时 ? = 90 D

 = ? mω n u = ? ku = ? f s , 则 f I + f S = 0 f I = mu
2

 ≈ p (t ), u 与 p (t)相同,而 u 与 u 则 f c = p (t )即 cu 相差90 D,则 u (t ) = p (t ) 相差90 D



ω /ωn → ∞ 时 ? = 180 D

ω → ∞,则f I >> f S 和f c , 则f I ≈ p (t ),而惯性力与
位移反相,所以位移与 p (t ) 相差180 D,则 ? = 180 D

[例3]单自由度结构受正弦力激振,发生共振时,结构 的位移振幅为5.0cm,当激振力的频率变为共振频率 的十分之一时,位移振幅为0.5cm,试求结构的阻尼 比ζ。

[解] 单自由度体系在简谐荷载作用下的位移幅值 为: 1
u 0 = u st [1 ? (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2

将不同迫振频率下的位移振幅代入方程得:
5 = u st 1 2ζ 0.5 = u st 1 [1 ? 0.12 ]2 + [0.2ζ ]2

ζ = 4.95%

3.任意荷载作用下的动力反应—Duhamel积分法
在实际工程中,很多动力荷载既不是简谐荷载,也不 是周期性荷载,而是随时间任意变化的荷载,需要采 用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反 应问题。 动力反应问题的分析方法有: 时域分析方法—Duhamel积分法, 频域分析方法—Fourier变换法, 时 域 逐 步 积 分 法 — 中 心 差 分 法 ; Newmark—β 法; HHT ( Hilber-Hughes-Taylor ) 方 法 等。 前两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问 题 而第三种方法可用于处理线性和非线性问题

3. 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
单位脉冲:作用时间很短,冲量等于1的荷载。

单位脉冲反应函数:单位脉冲作用下体系动力反应时程

3. 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
在t=τ时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上,使结 构的质点获得一个单位冲量,在脉冲结束后,质点获 得一个初速度 : 当ε→0时 :

 (τ + ε ) ? 0 = ∫ mu

τ +ε

τ

p (t )dt = 1

1  (τ ) = u m

由于脉冲作用时间很短,ε→0,质点的位移为零 :

u(τ ) = 0

3. 时域分析方法—Duhamel积分
 (τ ) = 1、单位脉冲反应函数 u(τ ) = 0 u 1 m
u ( t ) = u ( 0 ) cos ω n t +
 (0) u

无阻尼体系的单位脉冲反应函数为:

ωn

sin ω n t

1 h(t ? τ ) = u (t ) = sin[ω n (t ? τ )] t ≥ τ mω n =0 t <τ

有阻尼体系的单位脉冲反应函数为:
h(t ? τ ) = u (t ) = 1 mω D e
?ζω n ( t ?τ )

sin[ω D (t ? τ )] t ≥ τ t <τ

=0

3. 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数

3. Duhamel积分 2、对任意荷载的反应
将作用于结构体系的外荷载 p(τ)离散成一系列脉冲, 首先计算其中任一脉冲

p(τ)dτ的动力反应



du (t ) = p (τ )dτ h(t ? τ ) , t > τ
在任意时间t结构的反应, 等于t以前所有脉冲 作用下反应的和 :

u (t ) = du =
0



t

∫ p(τ )h(t ? τ )dτ
0

t

3. 时域分析方法—Duhamel积分 2、对任意荷载的反应
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 :

∫ p(τ )h(t ? τ )dτ 1 t u (t ) = p (τ ) sin[ωn (t ? τ )]dτ mωn 0
u (t ) =
h(t ? τ ) = u (t ) =
0

t

1 sin[ω n (t ? τ )] t ≥ τ mω n



阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式:
u (t ) =



t

0

p(τ )h(t ? τ )dτ

h(t ? τ ) = u (t ) =

1 mω D

e ?ζω n (t ?τ ) sin[ω D (t ? τ )] t ≥ τ

u (t ) =

1 mω D



t

0

p(τ )e

? ζω n ( t ?τ )

sin[ω D (t ? τ )]dτ

3. 时域分析方法—Duhamel积分
Duhamel(杜哈曼)积分给出的解是一个由动力荷载引 起的相应于零初始条件的特解。 如果初始条件不为零,则需要再叠加上由非零初始条件 引起的自由振动。 例如,对于无阻尼体系,当存在非零初始条件时,问题 的完整解为:

u (t ) = u (0) cos ωn t +

 ( 0) u

ωn

sin ωn t +

∫ p(τ )h(t ? τ )dτ
0

t

3. 时域分析方法—Duhamel积分
杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力 反应的一般解,适用于线弹性体系。 因为使用了叠加原理,因此它限于弹性范围而不能用于非线性分 析。如果荷载p(t)是简单的函数,则可以得到封闭解(closedform )。如果 p(t) 是一个很复杂的函数,也可以通过数值积分 得到问题的解。但从实际应用上看,采用数值积分时,其计算 效率不高,因为对于计算任一个时间点 t 的反应,积分都要从 0 积到 t ,而实际要计算一时间点系列,可能要几百到几千个 点。 虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法,但它给出了以积 分形式表示的体系运动的解析表达式,在分析任意荷载作用下 体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。

[例4]分别采用Duhamel积分法和解微分方程法计 算无阻尼单自由度结构在矩形脉冲作用下的位 移时程,初始时刻结构处于静止状态,脉冲时 程为 ? p0, 0 ≤ t ≤ Td
p(t ) = ? ? 0, t > Td

[解1] Duhamel积分法 (1)0≤t≤Td
u(t ) = = = 1 mωn

(2) t >Td
1 u (t ) = p (τ )sin[ωn (t ? τ )]dτ ∫ mωn 0 1 t + p (τ )sin[ωn (t ? τ )]dτ ∫ mωn T p T = 0 cos ωn (t ? τ ) 0 k p = 0 [ cos ωn (t ? Td ) ? cos ωn t ] k
d d

∫ p(τ ) sin[ω
0

t

Td

n

(t ? τ )]dτ

p0 t t cos ω ( ? τ ) n 2 0 mωn p0 (1 ? cos ωn t ) k

[解2] 解微分方程法 (1)当0≤t≤Td 时  + ku = p0 运动方程为: mu  t =0 = u  (0) 初始条件为:u t =0 = u (0), u 全解=通解+特解 特解为: u = p0 / k 通解为: uc (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t p0 全解为: u (t ) = uc (t ) + u p (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t + k 将初始条件代入,可得:
p0 u (t ) = (1 ? cos ωn t ) k

p0  (t ) = ωn sin ωn t u k

(2)当t >Td 时,体系为自由振动, 初始条件为: p
p0 u (Td ) = (1 ? cos ωnTd ) k p0  (Td ) = ωn sin ωnTd u k
u (t ) =  (t ) = u

0

k

(1 ? cos ωn t )

p0 ωn sin ωn t k

因此运动方程为:
u (t ) = u (Td ) cos ωn (t ? Td ) +  (Td ) u

ωn

sin ωn (t ? Td )

p0 p0 (1 ? cos ωnTd ) cos ωn (t ? Td ) + sin ωnTd sin ωn (t ? Td ) = k k p0 = [cos ωn (t ? Td ) ? cos ωnt ] k


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