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平面向量的数量积及运算律2课时


平面向量的数量积

复习:1.数乘的定义 复习:1.数乘的定义 :1. 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 记作λa 它的长度和方向规定如下: λa, 记作λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| λ>0时,λa的方向与 方向相同; 的方向与a (2) 当λ>0时,λa的方向与a

方向相同; λ<0时,λa的方向与 方向相反; 的方向与a 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地, λ=0或a=0时 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

2.数乘的运算律 2.数乘的运算律 设a,b为任意向量λ,为 a,b为任意向量 为 为任意向量λ, 任意实数,则有: 任意实数,则有: λ(a ①λ(a)=(λ) a λ+) a=λa+ ②(λ+) a=λa+a λ(a+b)=λa+λ ③λ(a+b)=λa+λb

引入:我们学过功的概念, 引入 我们学过功的概念,即一个物体在 我们学过功的概念 的作用下产生位移s(如图) 力F的作用下产生位移 (如图) 的作用下产生位移 F
θ

S 所做的功W可用下式计算 力F所做的功 可用下式计算 所做的功 W=|F| |S|cosθ 其中θ是 与 的夹角 其中 是F与S的夹角 从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。 从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。 数量积的概念

1.向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ,作 OA = a , OB = b , o o 叫做向量a 则 ∠ AOB = θ (0 ≤θ ≤ 180) 叫做向量 和b 的 夹角. 夹角. a B
b O b B
o

A

θ
O b B O a a A A

θ 若
B b O

= 0 ,a 与b 同向
θ a
A

记作

a⊥b

若 = 180 o a 与b 反向 θ

θ = 90 o,a 与b 垂直, 若

练习1、如图,等边三角形中, 练习 、如图,等边三角形中,求 的夹角; (1)AB与AC的夹角; ) 与 的夹角 的夹角。 (2)AB与BC的夹角。 ) 与 的夹角 ' C C 通过平移 变成共起点! 变成共起点! o

120

60

o

A

B

2.平面向量的数量积的定义 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 已知两个非零向量 和b ,它们的夹角为 θ ,我们把数量 | a || b | cos θ 叫做a 叫做 与b 的数量积(或内积) 记作a 的数量积(或内积),记作 b ,即

a b =| a || b | cos θ
规定:零向量与任意向量的数量积为 , 规定:零向量与任意向量的数量积为0, 即 a 0 = 0. .

两向量的数量积是一个数量, 注意: 两向量的数量积是一个数量 注意: (1)两向量的数量积是一个数量 , 而不是 向量, 向量,符号由夹角决定 (2)a b不能写成 ×b 不能写成a× 不能写成 (3)向量的数量积与实数积的区别 向量的数量积与实数积的区别: 向量的数量积与实数积的区别 1) 对实数 对实数a≠0,若a b=0,则b=0,但对向量 若 , ,但对向量a≠0 能不能推出b是零向量 是零向量? 时,若a b=0 , 能不能推出 是零向量? 2)对于实数 、b、c(b≠0),若a b=b c, ),若 )对于实数a、 、 ( ), , 对于向量a 此式是否仍成立呢? 则a=c , 对于向量 ,b,c , 此式是否仍成立呢? 3)对于实数 )对于实数a、b、c,有(a b) c=a (b c) , 但对于向量a 来说, 但对于向量 ,b,c来说,此式是否一定成立? 来说 此式是否一定成立?

r r 例1:已知 a = 1,b = 2 r r r uu r r r 3 /b (2)θ= π, (1)a / /b,求a b; (2)θ= π,求a b 4 r r /b 解:(1)由a / /b,分两种情况:

r r r r 当a,b同向, b = 2; a a r r r r 当a,b反向, b = - 2。 a a
r r 3 2×cos π= (2) b = 1× 2×cos π= -1 a 4

练习2: 练习2: 1. 已知 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹 , , 与 的夹 角θ=120°,求ab。 ° 。 解:ab=|a| |b|cosθ=5×4×cos120° × × ° =5×4×(-1/2)= -10。 × × ) 。 2 . 已知 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。 求 。 解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ ab=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °= 2 × ×

物理上力所做的功实际上是将力正交分解, 物理上力所做的功实际上是将力正交分解, 只有在位移方向上的力做功. 只有在位移方向上的力做功. F 过点B作 θ OB 作OA= a, = b 过点 作 BB1 | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影. 叫向量b 方向上的投影. 叫向量
B b B b b B

垂直于直线OA,垂足为 B 1 , , 垂直于直线 则 OB1 = | b | cosθ

s

θ
O a

θ
B1
A

B1

O

a A

θ
O( B1 ) a A θ为直角时, 为直角时, 为直角时 | b | cosθ=0

θ为锐角时, 为锐角时, 为锐角时 | b | cosθ>0 >

θ为钝角时, 为钝角时, 为钝角时 | b | cosθ<0 <

我们得到ab的几何意义: 我们得到 的几何意义: 数量积ab等于 的长度|a|与 在 的方 等于a的长度 数量积 等于 的长度 与b在a的方 向上的投影|b|cosθ的乘积。 的乘积。 向上的投影 的乘积

3.平面向量的数量积的重要性质: 3.平面向量的数量积的重要性质: 都是非零向量, 是与 是与b方向相同 设a,b都是非零向量,e是与 方向相同 , 都是非零向量 的单位向量, 是 与 的夹角 的夹角, 的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)ea=ae = |a| cosθ ) (2)a⊥b ) ⊥ ab=0 同向时, 反向时, (3)当a与b同向时,ab=|a||b|当a与b反向时, ) 与 同向时 当 与 反向时 ab=-|a| |b|特别地,aa =|a|2或|a|=√aa 。 - 特别地, 特别地 (4)cosθ= ) ab |a||b| (5)|ab|≤|a||b| )

练习3: 练习 :判断正误
1.若a=0,则对任一向量 ,有a b=0 . ,则对任一向量b 2.若a≠0,则对任一非零向量 有a b≠0 . ,则对任一非零向量b,有 3.若a≠0,a b=0,则b=0 若 , 则 4.若a b=0,则a b中至少有一个为 若 中至少有一个为0 则 中至少有一个为 5.若a≠0,a b= b c,则a=c 若 , 则
( ( ( ( (

√ × × × × × × √

) ) ) ) ) ) ) )

6.若a b= a c ,则b≠c,当且仅当 若 当且仅当a=0时成立 ( 则 当且仅当 时成立 7.对任意向量 , b ,c,有(a b)c≠a (b c) 对任意向量a 对任意向量 有 8.对任一向量 有a2=|a|2 对任一向量a,有 对任一向量
( (

4、平面向量数量积的运算律 、 已知向量

r r r a, b, c

和实数 λ ,

则向量的数量积满足: 则向量的数量积满足:

r r r r a 交换律) (1) b = b a (交换律) ) r r r r r r (λ 数乘结合律) (2) a ) b = λ ( a b) = a (λ b)(数乘结合律) ) r r r r r r r ( 分配律) (3) a + b ) c = a c + b c (分配律) )
注意: 注意:数量积运算不满足结合律消去律

(1)交换律: )交换律:

r r 设 证明: 证明: a , b 夹角为 θ , r r r r 则 a b =| a | | b | cos θ r r r r b a =| b | | a | cos θ r r r r 所以 a b = b a

rr rr ab=ba

Q λ (a b) = λ | a || b | cosθ r r r r 若 λ >0 (λ a) b = λ | a || b | cosθ r r r r a (λb) = λ | a || b | cosθ r r r r 若 λ < 0 (λ a) b =| λ a || b | cos(π θ )
证明: 证明:

r r r r r r (2) (λ a ) b = λ ( a b) = a (λ b) ) r r r r

r r r r a (λb) =| a || λb | cos(π θ ) r r r r = λ | a || b | ( cosθ ) = λ | a || b | cosθ

r r r r = λ | a || b | ( cos θ ) = λ | a || b | cosθ

r r r r r r r 分析: 分析:(a + b) c = a c + b c
a + b c cos θ
= a c cosθ1 + b c cos θ 2

r r r r r r r (3) ( a + b) c = a c + b c )
A

r a
θ1
O θ A1

θ r2 b

B

r r | a +b | cosθ r r =| a | cosθ1+ | b | cosθ2

r c B1

C

Or = c C r r AB = b a + (即 OB)在 c 方向上的投影等于 b r r r a , b 在 c 方向上的投影的和, 方向上的投影的和, A θ r r r r 2 r 即 | a +b | cosθ =| a |cosθ1+ | b |cosθ2 r r r r r r r r b | c || a + b | cosθ =| c || a | cosθ1+ | c || b | cosθ2 a

r 证明:在平面内取一点 O ,作 O A = a 证明:u u ur uu ur r r

r r r r r r r ( (3) a + b) c = a c + b c u uu ) r

B

r r r rr rr c (a + b) = c a + c b r r r r r r r 即 (a + b) c = a c + b c

O

θ1 θ A1

r B c 1

C

5、平面向量数量积的常用公式 、

(1)(a + b) = a + 2a b + b
2

2

2

(2)(a +b)(a b) = a b

2

2

求证:( ) 求证:(1) a + b :(

( )( ) 证明:( :(1) 证明:( )(a + b ) = (a + b) (a + b)
2
2

(

)

2

= a + 2a b + b
2

2

2

(2) a + b a b = a b )

+ a b + b a + b b = a + 2a b + b
(2) + b )a
2

= a a + b +b a+b = a a 2

( ) ( )

2

( ) (a b) = a (a b ) + b (a b)
= a a a b + b a b b = a b
2

r :(1) 方向上的投影; 求:( )b 在 a 方向上的投影; | b | cos θ =2
a 方向上的投影; (2) 在 b 方向上的投影; cos θ =3 ) a
(3) a + 2 b a 3 b )

的夹角为60° 例2、已知 a = 6 , b = 4 , a 与 b 的夹角为 °, 、

(

)(

)

解:(3)a + 2b a 3b = a a a b 6b b :( )

= a a b 6b = a a b cos θ 6 b

(

2

)(

2

)

2

2

= 6 6×4×cos60 6×4 = 72
2 o 2

r r r r b a与 120 练习4:已知 a = 2, = 3, b的夹角为 o,求 2 2 () b;(2 a b ;(3 1a ) )(2a b ( + 3b )a )
(4 a + b ;(5 a b ; ) )
解: 1 a b = a b cos 120 o = 2 × 3 × ( 1 ) = 3 () 2 2 2 2 2 (2 a b = a b = 4 9 = 5 )
3 2 ( )( a b ( + 3b = 2a + 5a b 3b )a )
2
2 2

= 2 a + 5 a b cos 120 3 b = 8 15 27 = 34
o

2

4 a ( ) + b = ( a + b ) = a + 2a b + b = 4 6 + 9 = 7
2

2

2

5 a ( ) b = ( a b ) = a 2a b + b = 4 + 6 + 9 = 19
2

2

2

u r u r u u u r r r =1, 2, b与 例3、已知 a =1, = 2,且a - b与a垂直, b u u r r 求a与b的夹角。

解:设a与b的夹角为 θ
∴ a b a = 0 ( )
2
2

Q a b与a垂直

即a b a = 0
2

∴a b = a = a = 1
∴ cos θ =
o

a b a b
o

Qθ ∈ [0 , ] 180

1 2 = = 2 2
π
4

∴θ =

∴ a与b的夹角为

π
4

r r r r o 变形:已知 a = 5, = 4, b的夹角为60 , 5, 4, b a与 r r r r b与 2b垂 问当k为何值时,向量ka - b与a + 2b垂直? )a ) 解:(ka b ⊥ a + 2b ∴ ka b ( + 2b = 0 Q )( ) (
新疆 王新敞
奎屯

即k a + 2k 1 a b 2b = 0 ( )

2

2

k a + 2k 1 a b cos60 2 b = 0 ( )
o

2

2

1 2 25 k + 2k 1 × 5 × 4 × 2 × 4 = 0 ( ) 2

14 k = 15

14 垂直。 ∴当k = 时,向量k a b与a + 2b垂直。 15

练习: 练习:r r r r 0 (1).a = b = 1, a与b夹角为120 ,问t取何值 r r 时, tb 最小? a
( )在ABC中, BC < 0,则ABC的形状是 ( D ) 2 AB
新疆 王新敞
奎屯

A 锐角三角形 C 钝角三角形

B 直角三角形 D 不能确定

3 AB ( )在 ABC中, BC > 0,则 ABC的形状是 ( C )
A C 锐角三角形 钝角三角形 B D 直角三角形 不能确定

课堂小结: 课堂小结: 本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质 及其应用,常见的题型主要有: 及其应用,常见的题型主要有: 1、直接计算数量积(定义式以及夹角的定义) 、直接计算数量积(定义式以及夹角的定义) 2、由数量积求向量的模 、 3、由数量积确定两向量的夹角 、 4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直 、 5、判断三角形的形状 、


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