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浙江省东阳中学、兰溪一中2011-2012学年高二数学下学期期中考试试题 理【会员独享】


浙江省东阳中学、 兰溪一中 2011-2012 学年高二下学期期中考试数学 (理)试题
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分) 1 ? 2i 1.已知 i 是虚数单位,则 =( ) 1? i 3?i 3+i A B C 3-i D 3+i[来源: 2 2 2.已知 a, b ? R ,则“ab=1”是 a ? b ? 2 的(
2 2

>
] )

A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 A 至少发生一次 的概率为

63 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为( 64 1 3 9 A. B. C. 4 4 64

) D.

27 64
)

x 4.若曲线 y ? e 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? my ? 1 ? 0 垂直,则 m =(

A. ? 2e

B. 2e
5

C. ?

2 e

D.

2 e

?1 ? 5.若 ( x ? a ) ? ? 1? 的展开式中常数项为 ?1 ,则 a 的值为( ?x ?
2

)

A. 1 B. 8 C. 1 或 9 D. ?1 或 ?9 6.下面四个命题,正确的是( ) A.己知直线 a,b ? 平面α ,直线 c ? 平面β ,若 c⊥a,c⊥b,则平面α ⊥平面β B.若直线 a 平行平面α 内的无数条直线,则直线 a//平面α ; C.若直线 a 垂直直线 b 在平面 a 内的射影,则直线 a⊥b D.若直线 a, b. c 两两成异面直线,则一定存在直线与 a,b,c 都相交 7.袋中共有 8 个球,其中 3 个红球、2 个白球、3 个黑球.若从袋中任取 3 个球,则所取 3 个球中至多有 1 个红球的概率是( A ) C

9 14

B

37 56

39 56

D

5 7


8.由 a, b, c, d , e 这 5 个字母排成一排,且字母 a, b 都不与 c 相邻的排法有( A.36 B.32 C.28 D.24

9. 已知双曲线 M:

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 和双曲线: 2 ? 2 ? 1 ,其中 b>a>0,且双曲线 M 与 N 的 a2 b a b


交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的离心率为(

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1

10. f ?(x) 是函数 f ( x) ?

1 3 2 的导函数,若函数 y ? f [ f '( x)] 在区间 x ? mx2 ? ( m ? 1) x ? n 3
) C. ?? 1,1? D. R

[m, m ? 1] 上单调递减,则实数 m 的取值范围是(
A. ?? 1,0? B. ?0,1?

二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分) 11.用数学归纳法证明 12 ? 2 2 ? ? ? ? ? n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? 12 (

?

n(2n 2 ? 1) 时,由 n ? k 的假设到证明 n ? k ? 1 时,等式左边应添加的式子是 3
n



3 ? ? 12.已知二项式 ? x ? 各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64, ? 的展开式中, x? ?
则展开式中 x 的系数等于__ __ .

13 某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙两个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到

2 ,得到乙公司面试的概率为 p ,且两个公司是否让其面试是相互独 3 1 立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若 P( X ? 0) ? ,则随机变量 X 的数学期望 12
甲公司面试的概率为

E( X ) ?
14.若函数 f ( x) ? x ? 6bx ? 3b 在 (0,1) 内有极小值,求实数 b 的取值范围是
3
3 2 2 15.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? k ? 1(k ? 0) ,若 f (x) 的单调减区间是(0,4) ,

则在曲线 y ? f (x) 的切线中,斜率最小的切线方程是___________ 16. 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1, 2,3 号参加 团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1, 2 号中至少有 1 名新队员的排法有__ ____ 种. (以数字作答)

17. 设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i ? 1,2,3,4) , P 是该四边形内任意 一点, P 点到第 i 条边的距离记为 hi ,若
4 a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k , 则 ? (ihi ) ? 2S 类比上 k 1 2 3 4 i ?1

述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si (i ? 1,2,3,4) , Q 是该三棱锥内的

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2

任 意 一 点 , Q 点 到 第 i 个 面 的 距 离 记 为 Hi , 则 相 应 的 正 确 命 题 是 : 若

S1 S2 S3 S4 ? ? ? ? k ,则 1 2 3 4



三.解答题: (本大题共 5 题,18.19.20 题各 14 分,21,22 题各 15 分) 18.设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线 方程; (Ⅱ) 若a ? 0, 且方程f ( x) ? a ? 0 有三个不同的实数解,求 a 的取值范围.

19.在数列{ an }中, a1 =1, a n ?1 ? 1 ?

1 2 , bn ? , n ? N ? . (1)求 b1 , b2 , b3 4a n 2a n ? 1
?

写出数列{ bn }的通项公式(不要求证明)(2)求证:对于任意的 n ? N 都有 an ?1 ? a n ; ; (3)设 cn ? ( 2 )
bn

证明:数列{ cn }不存在成等差数列的三项。

20.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落 入左右两个 管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球 落到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%, 70%,90%.记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望

E? ;(II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等奖或 2
等奖的人次,求 P(? ? 2) . 21.如图,己知平行四边形 ABCD 中,∠ BAD = 60 ,AB=6, AD=3,G 为 CD 中点,现将梯 形 ABCG 沿着 AG 折起到 AFEG。 (I)求证:直线 CE//平面 ABF; (II)如果 FG⊥平面 ABCD 求二面 B 一 EF 一 A 的平面角的余弦值. (Ⅲ)若直线 AF 与平面 ABCD 所成角为
0

? ,求证:FG⊥平面 ABCD 6

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3

22. (1)已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。讨论函数 f ( x ) 的单调性; 2
x

(2).已知函数 f (x)=lnx,g(x)=e .设直线 l 为函数 y=f (x) 的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线.问在区间(1,+∞)上是否存在 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)也相切.若存 在,这样的 x0 有几个?,若没有,则说明理由。

[来源:

]

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4

2012 年上学期期中考试高二理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 8 [来 题号 1 2 3 4 5 6 7 源: ] 答案 B A B B C D D A A A 9 10

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 )

三、 解答题 (本大题共 5 小题, 72 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 共 ) 18.(1) y ? ?5 x ? 8 ??????????????7 分

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5

(2) a ?

3 3 ??????????????14 分 2

(3)假设存在三项 Cm , Cn , Ck 成等差数列。 m ? n ? k ) ( 则 2( 2 ) 2n ? ( 2 ) 2m ? ( 2 ) 2k

? 2 n?1 ? 2 m ? 2 k ? 2 n?k ?1 ? 2 m?k ? 1 n ? k ? 1 ? 1 , m ? k ? 1的正整数 ? 左边为偶数,右边为奇数
矛盾;假设错误命题成立????????14 分 20.(1)

?

50%

70%

90%

P

3 [来 16
源: ]

6 16

7 16

???????4 分 E ? ? 75% ???????8 分 (2) p(? ? 2) ?C 3 ?(
2

3 2 7 6 7 3 6 7 1701 ) ? ?C 2 ?( ) 2 ? ? A3 ? ? ? ? ??????14 分 3 3 16 16 16 16 16 16 16 4096

21.(1)证明:? ABCD 是平行四边形,? CG//AB CG//平面 ABF GE//AF GE//平面 ABF ? 平面 CEG//平面 ABF ? CE//平面 ABF ????4 分 (2)AG ? BG ,如图建立空间直角坐标系 z

A(3 3,0,0) F (0,0,3)
BC ? (?

B(0,3,0)

? 平面 AEF 的法向量 n1 ? (0,1,0)
3 3 3 ,? ,0) 2 2 BF ? (0,?3,0)

x

y

设平面 BFEC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) 则 ?

?? 3 y ? 3 z ? 0 ?? 3 3 ? 2 y ? 0

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6

? n2 ? ( ?

3 21 即为所求。?????10 分 ,1,1) ? cos? ? cos ? n1 , n2 ? ? 3 7

22.(1)当 a ? 2 时, (0,??) 递增 当 a ? 2 时,在(0,1) (a ? 1,??) 递增 在(1,a-1)递减 , 当 1 ? a ? 2 时,在(0,a-1)递增, (1,??) 递增,在(a-1,1)递减???7 分

y ? ln x 与

y?

x ?1 的图象 x ?1

在(1, ? ? )

有且只有一个交点

? 在区间(1 ? ? )一定存在唯一的 x0 ,使直线 l 与曲线 y ? g (x) 也相切???????
15 分

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7


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