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2-1-2由曲线求它的方程、由方程研究曲线课件(人教A版选修2-1)


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1.知识与技能 了解解析几何主要讨论的两个基本问题. 掌握求曲线方程的一般方法和步骤. 能够利用曲

线的方程研究曲线的性质. 2.过程与方法 求曲线方程时,要注意数形结合思想的运用;在化简过程中,应注意转化一 定要等价. 3.情感态度与价值观 通过本节的学习,使学生进一步体会曲线与方程的对立关系,感受坐标法的 作用.

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重点:确定曲线的方程和借助方程研究性质. 难点:寻求动点所满足的关系.

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1.曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示 曲线,通过研究方程的特征来研究曲线的性质. 求曲线的方程时,首先应观察原题条件中有没有坐标系,没有坐标系时应先 建立坐标系,否则曲线不能转化为方程,建坐标系应建得适当,这样可使 运算过程简单,所得的方程也较简单.

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根据曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的重要一环,在这里常用到一些基 本公式.仔细审题,分析已知条件和曲线的特征,抓住与曲线上任意点M有关 的相等关系结合基本公式列出等式,并进行化简.

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2.曲线的对称性. 在曲线方程里,如果以-y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,它关 于x轴的对称点P′(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称.同理,如 果以-x代x方程不变,那么曲线关于y轴对称,如果同时以-x代x,以-y 代y方程不变,那么曲线关于原点对称.

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容易证明,如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种,那么它一定还具有 另一种对称性.例如,如果曲线关于x轴和原点对称,那么它一定关于y轴 对称,事实上,设点P(x,y)在曲线上,因为曲线关于x轴对称,所以点 P1(x,-y)必在曲线上,因为曲线关于原点对称,所以P1关于原点的对称 点P2(-x,y)必在曲线上,因为P(x,y),P2(-x,y)都在曲线上,所以曲线 关于y轴对称.

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3.由方程研究曲线的性质与图象,主要从曲线的范围、对称性、截距几个方面可 确定曲线的大致形状,画方程的曲线时,要保持方程变形的等价性.

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1.解析几何主要讨论下面的两个基本问题: (1)由曲线求它的方程; (2)利用方程研究曲线的性质. 2.求曲线方程的一般步骤: (1)建立适当的直角坐标系; (2)设动点M的坐标为(x,y); (3)把几何条件转化为坐标表示; (4)证明.

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3.利用方程研究曲线的性质: (1)曲线的组成; (2)曲线与坐标轴的交点; (3)曲线的对称性质; (4)曲线的变化情况; (5)画出方程的曲线.

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[例1] 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线 长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲 线. [分析] 用直接法可求动点M的轨迹方程,并通过讨论λ的取值范围来确定轨 迹方程表示的曲线.

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[解析] 如图所示,设MN切圆于N,于是动点M组成的集合是P={M||MN|= λ|MQ|},常数λ>0, ∵圆的半径|ON|=1,∴|MN|2= |MO|2-|ON|2=|MO|2-1. 设点M的坐标为(x,y)则

x2+y2-1=λ (x-2)2+y2. 整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故 这个方程为所求的轨迹方程.
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5 当 λ=1 时,方程化为 x=4,它表示一条直线,该直线 5 与 x 轴垂直且交 x 轴于点(4,0);当 λ≠1 时,方程化为(x 1+3λ2 2λ2 2 - 2 ) +y2 = 2 ,它表示圆,该圆的圆心坐标为 λ -1 (λ -1)2 1+3λ2 2λ2 ( 2 ,0),半径为 2 . λ -1 |λ -1|

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[说明] 在求轨迹方程时,要注意: ① 全面、准确地理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关 系,进行知识的重新组合.
②合理的进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形 语言,通过审题画出必要的图形和示意图, 将不宜于直接计算的关系化为 能直接进行数学处理的关系式,将不便于进行数学处理的语言化为便于处 理的数学语言. ③注意挖掘问题中的隐含条件. ④注意解题过程中的信息反馈,作出恰当的处理.

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方程|x|-1= 2y-y2表示的曲线是 ( A.两个半圆 C.半个圆
[答案] A

)

B.一个圆 D.两个圆

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[解析]

?|x|≥1 ? 由已知? ?2y-y2≥0 ?



?x≥1或x≤-1 ? ∴? ?0≤y≤2 ?



原方程平方得(|x|-1)2+(y-1)2=1 ∴表示半圆(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1) 或(x+1)2+(y-1)2=1(x≤-1).

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[例2] 在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),若BC边上的高为2,求垂心H的轨迹方 程. [分析] 由三角形垂心的定义得出:AC⊥BH,如图所示,则可由kAC·kBH=- 1,得到关于x,y的方程.

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[解析]

顶点 A 可在直线 BC 上方,也可在下方.

若点 A 在 BC 上方,设 H(x,y),则 A(x,2). 2 y 当 x≠± 时,kAC= 1 ,kBH= , x-1 x+1 2 y 由 AC⊥BH,得 kAC·BH=-1,即 k · =-1, x-1 x+1 1 2 化简得 y=-2(x -1). 而当 x=1 时,垂心 H 与点 C 重合;

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当 x=-1 时,垂心 H 与点 B 重合,这两点均适合轨迹 方程. 1 2 ∴当点 A 在 x 轴上方时, 垂心 H 的轨迹方程为 y=-2(x -1)(y>0). 1 2 若点 A 在 BC 下方,则 A(x,-2),同理可得 y=2(x - 1)(y<0), 1 2 即当点 A 在 x 轴下方时,垂心 H 的轨迹方程为 y=2(x -1)(y<0).
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[说明] 直接法求轨迹方程是求轨迹方程的最常用方法,当题设条件中动点坐标x, y之间的等量关系容易找时,一般用此法.

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已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的 距离的差都是2,求这条曲线的方程. [分析] 因为曲线在x轴上方,所以曲线上点的纵坐标y>0,动点M(x,y) 到定 点A(0,2)的距离|MA|-y=2,由此可求得曲线的方程.

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[解析]

如图所示, M(x, 设 y)是曲线上任一点, MB⊥x

轴于 B,那么点 M 属于集合 P={M||MA|-|MB|=2}. 由距离公式, M 适合的条件是 x2+(y-2)2-y=2, 点 1 2 可得 x +(y-2) =y+2, 两边平方并化简得 y= x (x≠0). 8
2 2

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[例3] 讨论方程x2y+y-2x=0的曲线的性质,并描绘其曲线. [分析] 将方程转化为函数,利用函数的性质作图.

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[解析]

2x 由方程得 y=f(x)= 2. 1+x

(1)截距:令 x=0,得 y=0,说明曲线过原点(0,0). (2)对称性:f(-x)=-f(x). ∴曲线关于原点对称.

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(3)范围:y·2-2x+y=0, x 由判别式求得-1≤y≤1. 2|x| 也可由不等式的性质来求,∵1+x ≥2|x|? ≤1? 1+x2
2

2x -1≤ ≤1,即-1≤y≤1. 1+x2 所以定义域为 x∈R,值域 y∈[-1,1].

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(4)单调性:在x∈(-∞,-1]和x∈[1,+∞)时,y递减,在x∈[-1,1]时,y递增. (5)作图:通过列表描点作出函数在x≥0时的图象,再利用关于原点的对称性可画出 它的全部图象,如图所示.

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[说明] 描点作图充分展示了曲线与方程的关系,当然描点法比较麻烦,这类问题 往往应用化归的思想,将方程问题转化为函数问题,利用函数的性质迅速作 图.

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x2 讨论方程 y2= 的曲线的性质,并画出图形. 1-x

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?x2≥0, ? 2 (1)范围:∵y ≥0,故? ?1-x>0, ?

[解析]

?x2≤0, ? 或? ?1-x<0, ?

解得 0≤x<1.

又当 x=0 时,y=0, ∴曲线过原点. 当 x→1 时,y2→+∞, ∴0≤y2. 综上可知, 曲线分布在两条平行线 x=0 和 x=1 之间.

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(2)对称性:用-y 代 y 方程不变,曲线关于 x 轴对称. (3)单调性:设 0≤x1<x2<1,
2 2 0≤x1<x2,

∴1-x1>1-x2>0, x2 x2 1 2 故 < , 1-x1 1-x2
2 2 即 y1<y2.

∴曲线在第一象限单调递增,在第四象限单调递减, 如图所示.

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[例4] 某市环保部门对城市里的一条污水河进行改造,即用隔离物将其封闭, 隔离物横截面为对称的抛物线段(如图所示),封闭处污水河宽AB为10米, 隔离物最高点O到污水河面的距离为2米,当外围水域涨水时,污水河面随 之升高.

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(1)当污水河面上升 1 米时,求此时河面宽度; (2)当水面上升到宽为 a 米时,增加部分的污水横截面面积 2 3 等于(16- a )平方米,若污水以 0.5 米/秒流动,求在(1)的条 125 件下每小时增加的污水量(精确到 1 立方米).

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[分析] 解答本题的关键是根据题意建立适当的坐标系,将实际问题转化为数学问 题,求出曲线的方程.

[解析]

(1)如图所示, O 为原点, 的平行线为 x 轴, 以 AB

AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则 A(-5,-2), B(5,-2).设 A,B 所在曲线的方程为 y=tx2(t<0)将 B(5,- 2)代入,得-2=t×52, 2 解得 t=- , 25 2 2 ∴y=- x . 25
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25 5 2 当 y=-1 时,x = ,即 x=± . 2 2
2

∴此时河面宽度为 5 2米. (2)由(1)知,水面上升到宽为 5 2米, 2 由题意得增加部分的污水横截面面积为 16- 125 ×(5 2)3=(16-4 2)(平方米). ∴ 每 小 时 增 加 的 污 水 量 为 (16 - 4 2)×0.5×60×60≈18 618(立方米).

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[例5] 过定点A(a,b)任作两条互相垂直的直线,分别交x,y轴于M、N两点,求线 段MN的中点P的轨迹方程.

[误解] N(0,2y),

设 P(x,y),由中点坐标公式得 M(2x,0),

b b-2y ∴AM⊥AN,∴kAM·AN=-1,即 k · =-1, a a-2x ∴2ax+2by-a2-b2=0 为所求的 P 点轨迹方程.

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[辨析] 求曲线的轨迹方程,关键之一就是建立与动点M(x,y)有关的关系—— 方程.因观察认识的角度不同,所得关系也不同,解题时可以多角度思 考.本例可直接翻译题设条件,也可将条件变形转化为更直接、更简单的 几何关系.这一点对许多轨迹问题的解决皆有启示作用.

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[正解]

解法一: 如图所示, P(x, 则 M(2x,0), 设 y), N(0,2y),

因 为 AM⊥AN , 则 有 kAM·AN = - 1 , 即 k b b-2y · =-1,整理得 a-2x a -2ax=2by-a2-b2. ①

当 AM⊥x 轴时,kAM 不存在,此时 P 点
?a b? 即?2,2?坐标满足方程①,因此,方程①就 ? ?

是所求的轨迹方程.

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解法二:设 P(x,y),由题意可得 M(2x,0),N(0,2y), ∵△AMN 是直角三角形,AP 为斜边 MN 上的中线. ∴|MN|=2|AP|, 即 (2x)2+(2y)2=2 (x-a)2+(y-b)2, 化简得 2ax+2by-a2-b2=0.

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解法三:设 P(x,y),则 M(2x,0),N(0,2y), → → ∴AM=(2x-a,-b),AN=(-a,2y-b), → AN → ∵AM⊥AN,∴AM· =0, ∴(2x-a)(-a)+(2y-b)(-b)=0, 即 2ax+2by-a2-b2=0.

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一、选择题 1.到直线4x+3y-5=0的距离为1的点的轨迹方程为
( A.4x+3y-10=0和4x+3y=0 B.4x+3y-10=0和4x+3y+1=0 C.4x+3y+10=0和4x+3y=0 D.4x+3y+10=0和4x+3y+1=0 [答案] A [解析] 利用点到直线的距离公式易求. )

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2.已知点M(-2,0)、N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨 迹方程是 ( ) A.x2+y2=4(x≠±2) B.x2+y2=4 C.x2+y2=16 D.x2+y2=16(x≠±4) [答案] A [解析] 由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|=2,即x2+y2=4,但M、 N、P不能共线,故P点轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2),故答案为A.

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3.到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是
( A.x-y-1=0 C.x+y-1=0 [答案] C B.x-y+1=0 D.x+y+1=0 )

[解析]

设点的坐标为(x,y),根据题意有

(x-2)2+(y+3)2= (x-4)2+(y+1)2 化简得 x+y-1=0.

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二、填空题 4.已知 l1 是过原点 O 且与向量 a=(2,-λ)垂直的直 λ 线,l2 是过定点 A(0,2)且与向量 b=(-1, )平行的直线, 2 则 l1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是________,轨迹是 ________________.

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[答案] x2+(y-1)2=1(y≠0) 以(0,1)为圆心,1为半径的圆(不包括原点) [解析] 由题意,l1可为过原点除x轴的任意直线,l2可为过A(0,2)除y轴的任意 直线,由平面几何性质知,向量a,b共线,方向相反,l1与a垂直,l2与b平 行,则l1与l2相互垂直,交点P的轨迹是以(0,1)为圆心,OA为直径的圆周除 去原点O的部分.

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5.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),则过两点 Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程是____________. [答案] 2x+3y+1=0 [解析] P(2,3)在a1x+b1y+1=0上,代入得2a1+3b1+1=0,同理2a2+3b2+1 =0.故(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+3y+1=0上,两点确定一条直线,故 过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.

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三、解答题 6.求(x-1)2+(y-1)2=1关于直线x+y=0的对称曲线的方程.

[解析]

设所求对称曲线上任一点的坐标为(x,y),

它关于 x+y=0 的对称点为(x1,y1),根据对称定义知: ?x1+x y1+y ? 2 + 2 =0 ? ? ?y1-y=1 ?x1-x ?
?x =-y ? 1 解得? ?y1=-x ?



∵(x1,y1)在(x-1)2+(y-1)2=1 上
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∴(x1-1)2+(y1-1)2=1, ∴有(-y-1)2+(-x-1)2=1, 即(x+1)2+(y+1)2=1.

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