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【数学】2.1.5《向量共线的条件和轴上向量坐标运算》课件(新人教B版必修4)


2.1.5 向量共线的条件和 轴上向量的坐标运算

温故知新
数乘向量的含义
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa, 它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时

, λa=0

向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一个实数λ,使得 b=λa

问题3:如果给定一个非零向量a, 与a同方向且长度等于1的向量, 叫向量a的单位向量. a的单位向量记作a0, 则a与a0的关系是

a=︱a︱a0

a a0= ︱a︱

例1.如图:已知 AD = 3AB,DE =3BC , 试证明 A、C、E 三点共线.

解:AE=AD+DE =3AB+3BC =3(AB+BC) =3AC ∴AE//AC

C A B D

E

∴A、E、C三点共线

例2.设a,b是两个不共线的向量,已知 AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), 求证:A,B,D三点共线。

证明:∵BD=BC+CD =(2a+8b)+3(a-b) =5a+5b =5(a+b) =5AB ∴BD//AB,又它们有公共点B, ∴A,B,D三点共线

例3.如图MN是⊿ABC的中位线, 1 求证:MN= 2 BC且MN//BC
证明:M,N分别是AB,AC的中点
∴AM= AB,AN= AC MN=AN-AM= AC1 2
1 AB 2
1 2
1 2

A N C

M B

1 1 = (AC-AB)= 2 BC 2
1 ∴MN//BC,MN= 2

BC

练习1
1、设e1,e2是两个不共线向量,已知 AB=2e1+re2,CB=e1+3e2,若A,B, C三点共线,求r的值. 2. 设a,b是两个不共线的向量, 试确定实数k,使ka+b和a+kb共线
3. 已知:a=3e,b=-2e.试问a与b是否平行? 并求/a/:/b/

1.规定了方向和长度单位的直线叫轴 e 2.轴上向量的坐标及其运算
l

(1)取与轴同向的单位向量e,则对轴上的任意向量a, 一定存在唯一实数x,使 a=xe (2)反过来,任意给定一个实数x总能作一个向量 a=xe 长度等于这个实数的绝对值,方向与实数的符号一致 所以给定单位向量e,则与它平行的所有向量的集合为: ﹛a︱ a=xe ,x∈R ﹜

(3)单位向量e,叫轴的基向量,x叫a在轴上的坐标 e
C D A B

l

例如:AB=3e,CD=-2e.则AB在轴上的坐标是 3 CD在轴上的坐标是 -2 BC在轴上的坐标是 -6

(4)轴上两向量相等的条件是它们的坐标相等 轴上两向量和的坐标等于它们的坐标和 设a=x1e,b=x2e 则a=b

x1=x2

a+b =(x1+x2)e

(5)轴上的向量AB的坐标常用AB表示 即:AB=ABe
(6)若A.B.C是轴上的三点,则 AB+BC=AC (7)若点A的坐标是x1点,B的坐标x2是则 AB= x2- x1 即轴上的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标 轴上两点的距离 ︱AB︱= ︱x2- x1︱

例3.已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是 4、-2、-6,求AB、BC、CA的坐标和长度

作业:课本P93、 A、 T2、B、T2


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