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2013年全国高中数学联赛全真模拟卷(12)(一试)


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(12)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.各项均为实数的等比数列{an},前 n 项之和记为 S n . 若 S10 ? 10 , S 30 ? 70

, 则 S 60 ? .
630 2.关于 x 的方程 2 cos (2 解:设 2
2 x ? x2
2 2 x ? x2

) ? a ? 3 sin(22 x ? x ?1 ) 至少有一个解,则实数 a 的范围是_______。
2

? t , 则 2cos2 t ? a ? 3 sin 2t , 即 3 sin 2t ? cos 2t ? 1 ? a ,得 ? a ?1 , cos(2t ? ) ? 3 2
2 x ? x2

而t ? 2 由 ?1 ?

? 21?( x ?1) ? (0, 2] ,有 2t ?
2

?

a ?1 1 ? , 得 ?1 ? a ? 2 . 2 2

? ? ? 1 ? ( , ? 4] , 从而 cos(2t ? ) ? [?1, ) , 3 3 3 3 2

3.已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为 V,则球的表面积 的最小值为_____________.

9? 3 9V 2 4 2 1? x 2 4.已知 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R} , B ? {x 2 ? a ? 0, x ? 2(a ? 7) x ? 5 ? 0, x ? R} .若
. A ? B ,则实数 a 的取值范围是 1? x 2 解 : 可 得 A ? {x 1 ? x ? 3} , 设 f ( x) ? 2 ? a , g ( x) ? x ? 2(a ? 7) x ? 5 要 使 A ? B , 只 需 f ( x) , g ( x) 在(1,3)上的图像均在 x 轴的下方, 则 f (1) ? 0 , f (3) ? 0 , g (1) ? 0 , g (3) ? 0 , 由此可解得 ?4 ? a ? ?1 . 5.一个盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的 废品数 ? 的数学期望 E? =_________________. 1 C9 3 C 1C 1 9 A2C 1 9 解析:? 取值为 0,1,2,3,且有 P (? ? 0) ? 1 ? ,P(? ? 1) ? 3 2 9 ? ,P(? ? 2) ? 3 3 9 ? , 44 220 C12 4 A12 A12

P (? ? 3) ?

3 1 A3 C 9 3 9 9 1 1 ? . ? E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? 3? ? 0.3 . 4 220 4 44 220 220 A12
2 2 2

13 ,则 ( x ? y ? z )min ? 4 解析:? x, y, z 均为非负实数,? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? 0 , 6.若非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3z ?

.

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ?

13 , 4 ?3 ? 22 ?3 ? 22 13 或x? y?z ? (舍) ? ( x ? y ? z )2 ? 3( x ? y ? z ) ? ? 0 ,? x ? y ? z ? 2 2 4

2012 模拟卷(四)

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所以, ( x ? y ? z )min ?

?3 ? 22 ?3 ? 22 ,只需 x ? y ? 0, z ? 取等. 2 2
2 n

2 7.正整数 n 使得 n ? 2005 是完全平方数, 则 ( n ? 2005) 的个位数字是



解:设 n ? 2005 ? m (m ? 0) ,则 (m ? n)(m ? n) ? 2005 ? 1? 2005 ? 5 ? 401 , 得
2 2

?m ? n ? 1 ?m ? n ? 5 ? m ? 1003 ?m ? 203 或? ,解得 ? 或? , ? ? m ? n ? 2005 ?m ? n ? 401 ? n ? 1002 ?n ? 198
由 10031002 ? 10034?250? 2 ,知它的个位数字是 9, 由 203198 ? 2034?49?2 ,知它的个位数字也是 9. 8. 在平面直角坐标系内, 将适合 x<y, |x|<3, |y|<3, 且使关于 t 的方程 ( x ? y )t ? (3x ? y)t ?
3 3 4 2

=0 没有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N 所成区域的面积为 解析:令 u ? t ,原方程化为 ( x ? y )u ? (3x ? y )u ?
2
3 3 2

1 x-y _______.

1 ? 0. x? y



? ? (3x ? y ) 2 ? 4( x3 ? y 3 ) ?

1 ? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y )( x ? y ). x? y

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, ? ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ? ? y ? 3, ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? ?3 x ? y ? 0. ?
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

1 24 1 81 S ? S?ABO ? S?BCO ? ? ? 3 ? ? 6 ? 3 ? . 2 5 2 5 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)
5 9.已知定义在 R 上的函数 f (x)满足:f (1)= ,且对于任意实数 x、y ,总有 2 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) 成立. (1)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 {an } 的通项公式 (2)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y) ? 2 . 设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和

f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论.
5 ,? f ? 0 ? ? 2 . 2 令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f ( ?y) ? f ( y) ? f (? y ) 对任意
解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? f ?1? ,又? f (1) ? 的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数.令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 0 ? ,

?

25 17 17 5 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . ? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? ? ? 6 . 2 2 4 4 5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,? f (n ? 2) ?

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?5 ? ? an ?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ? ? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? ?2 ? ? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an (n …1).

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴ an ? 6 ? 2n ?1 . (2)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y) . ∴令 x ? ky ( k ? N+ ) ,故 ?k ? N + ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成立. 则 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? ? f ( y) ? f (0) ? 0 . ∴对于 k ? N+ ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
∴对于 m, n ? N ,若 n ? m ,则有 f ( ny ) ? f ?? n ? 1? y ? ? ? ? f (my ) 成立. ? ?
+

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2 qp pq 1 + 则 | x1 |? 1 2 ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N . p1 p2 p1 p2 p1 p2 ∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) .
∵ x1 , x2 ?Q ,所以可设 | x1 |? ∵函数 f ( x) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) .∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 10.对 n ? N*, ? 2 ,令 S n ? ? n 解: Sn ?
n

n

k
2

k ?1 1 ? k

? k4

, Tn ? ?

k 3 ?1 ,试求 S n ? Tn 的表达式. 3 k ?2 k ? 1
n

?1? k
k ?1

n

k
2

?k

4

??

k 2 k ?1 ( k ? k ? 1)( k ? k ? 1)
2

n

n2 ? n 1? 1 1 1 1 ? 1? ? ?? ? 2 ? 2 ? , ?? ? ?? k ? k ? 1 ? 2 ? 12 ? 1 ? 1 n 2 ? n ? 1 ? 2(n 2 ? n ? 1) k ?1 2 ? k ? k ? 1 Tn ? ?
k ?2 n n n k 3 ?1 (k ? 1)(k 2 ? k ? 1) k ?1 n k 2 ? k ?1 ?? ?? ?? 2 2 k3 ?1 k ? 2 ( k ? 1)( k ? k ? 1) k ? 2 k ? 1 k ? 2 ( k ? 1) ? ( k ? 1) ? 1

?

1? 2 n 2 ? n ? 1 2(n 2 ? n ? 1) ? 2 ? n ? (n ? 1) 1 ? 1 ? 1 3n(n ? 1)

故 S nTn ?

n2 ? n 2(n 2 ? n ? 1) 1 ? ? . 2(n 2 ? n ? 1) 3n(n ? 1) 3

x2 11.如图, 设 P 为双曲线 -y2=1 上第一象限内的任一点, F1, F2 为左右焦点, 3 y → → → → 直线 PF1, PF2 分别交双曲线于 M, N. 若PF1=λ1F1M (λ1≠?1), PF2=λ2F2N. 求 λ1+λ2 的值及直线 MN 的斜率 KMN 的取值范围. M 解: 设 p(x0, y0), 因 OF1 ? OP ?

P

?1 (OM ? OF1 ) , 所以 O F2 F1 x 2 ? 2?2 ? x0 y0 2 ? 2?1 ? x0 y 1 ? ?1 1 ,? ) , OM ? OF1 ? OP ? (? ,? 0 ) , 同理 ON ? ( ?2 ?2 ?1 ?1 ?1 ?1
N

?(2 ? 2?1 ? x0 ) 2 ? 3 y0 2 ? 3?1 2 ? 将 M、N 坐标代入双曲线得: ? ?(2 ? 2?2 ? x0 ) 2 ? 3 y0 2 ? 3?2 2 ?

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?4(1 ? ?1 ) 2 ? 4 x0 (1 ? ?1 ) ? 3?1 2 ? 3 ? 即? ?4(1 ? ?2 ) 2 ? 4 x0 (1 ? ?2 ) ? 3?2 2 ? 3 ?
2

(1) (2)

消去 x0 得:
2

4(1 ? ?1 ) 2 (1 ? ?2 ) ? 4(1 ? ?1 )(1 ? ?2 ) 2 ? 3(?1 ? 1)(1 ? ?2 ) ? 3(?2 ? 1)(1 ? ?1 ) 4(1 ? ?1 )(1 ? ?2 )(?1 ? ?2 ? 2) ? 3(1 ? ?1 )(1 ? ?2 )(?1 ? ?2 ? 2) 即 , (1 ? ?1 )(1 ? ?2 ) ? 0 所以, 4(?1 ? ?2 ? 2) ? 3(?1 ? ?2 ? 2) , 解得 ?1 ? ?2 ? ?14 . 将(1)-(2)得: 4(?1 ? ?2 )(?1 ? ?2 ? 2) ? 4 x0 (?1 ? ?2 ? 2) ? 3(?1 ? ?2 )(?1 ? ?2 )
将 ?1



? ?2 ? ?14 代入得: ?1 ? ?2 ? ?8x0 与 ?1 ? ?2 ? ?14 联立解得:

??1 ? ?4 x0 ? 7 y 0 (?2 ? ?1 ) x0 y 0 ? 代入 K MN ? , ? 2(?2 ? ?1 ) ? 4?2 ?1 ? x0 (?2 ? ?1 ) 21 ? 7 x0 2 ?? 2 ? 4 x0 ? 7
由 x02-3y02=3 得

K MN ?

x0 y 0 21 ? 7 x0
2

?

x0 y 0 7(3 ? x0 )
2

??

1 x0 y 0 1 x 1 3 3 ? 2 ?? ? 0 ?? 3? 2 ? ? 21 y 0 21 y 0 21 21 y0

即斜率 KMN 的取值范围是( ? ?,?

3 ). 21

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