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概率与统计检测题


概率与统计检测题
班级 姓名 分数

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 下列随机变量中,不是离散随机变量的是 A. 从 10 只编号的球 ( 0 号到 9 号) 中任取一只,被取出的球的号码 ? B. 抛掷两个骰子,所得的最大点数 ? C. [0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值 ? D.

一电信局在未来某日内接到的 电话呼叫次数 ? 2. 某批量较大的产品的次品率为 10%,从中任意连续取出 4 件,则其中恰好含有 3 件次品的 概率是 A. 0.0001 B. 0.0036 C. 0.0486 D. 0.2916 3. 已知随机变量 ? 的分布列为

?
P 则 ? 最可能出现的值是

-1 0.5

0 0.3

1 0.2

4. 有 N 件产品,其中有 M 件次品,从中不放回地抽 n 件产品,抽到的次品数的数学期望值是 A. n B.

(n ? 1)

5. 设 ? 是随机变量,且 D(10? ) ? 40 ,则 D (? ) 等于 A. 0.4 B. 4 C.

M N

C.

n

M N
40

D.

(n ? 1)
D. 400

M N

6. 已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B(6, ) ,则 P( ? =2) = A.

1 3

3 16

B.

4 243

C.

16 243

D.

80 243

7. 在某餐厅内抽取 100 人,其中有 30 人在 15 岁以下,35 人在 16 至 25 岁,25 人在 26 至 45 岁 ,10 人 在 46 岁 以 上 , 则 数 0.35 是 16 到 25 岁 人 员 占 总 体 分 布 的 A. 概率 B. 频率 C. 累计频率 D. 频数 8. 一批数量较大的商品的次品率是 6%,从中任意逐次抽出 k 件,其中的次品数 ? 的期望为 3 件,则 D? ? A. 2.82 B. 1.8 C. 1.41 D. 0.18 9. 某服务部门有 n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一 天中需要服务的可能性是 p , 则该部门一天中平均需要服务的对象个数是 A . n p (1-p) B. n p C. n D. p (1-p) 10. 设 有 n 个 样 本 x1 , x2 ,?, xn , 其 标 准 差 是 S x , 另 有 n 个 样 本 y1 , y2 ,?, yn , 且

yi ? 3xi ? 2(i ? 1,2,? ? ?, n) 其标准差为 S y ,则下列关系正确的是
A. S y ? 3S x ? 2 B.

S y ? 3Sx

C.

S y ? 3S x

D. S y ? 3S x ? 2 ,则
1

11. 已 知 随 机 变 量 ? 的 概 率 密 度 函 数 为 f ( x) ? ?

? ?2 x 0 ? x ? 1 ? ?0 x ? 0或x ? 1

1 1 P( ? ? ? ) ? 4 2

O

1/4 1/2

A.

1 4

B.

1 7

C.

1 9

D.

3 16

12. 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指 标,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本,适合的抽取样本的方法是 A. 简单的随机抽样 B. 系统抽样 C. 先从老年中排除一人,再用分层抽样 D.分层抽样 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题 ( 每小题 4 分,共 4 个小题,16 分) 13. 一射手对靶射击,直到第一次中靶为止。 他每次射击中靶的概率是 0.9 ,他有 3 颗子弹, 射击结束后尚余子弹数目 ? 的数学期望 E? =__ 14. 某化工厂为预测某产品的回收率 y ,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关 系,现取 8 对观测值,计算

?x
i ?1

8

i

? 52, ? yi ? 228,
i ?1

8

?x
i ?1

8

2 i

? 478, ? xi yi ? 1849,则其
i ?1

8

线性回归方程为 ___________ 15. 设随机变量 ? ~ N (5,32 ) ,则可知 3? ? 5 ~ ______ 16.(04 年高考题改编)编号为 1,2,…,10 的十个球,放入编号为 1,2,…,10 的十个盒 子,则恰有 3 个盒子编号与球的编号不相同的概率是 ______。 三、解答题( 共 6 小题,总分 74 分,要求写出必要的解题过程 ) 17. (本题满分 12 分)已知随机变量 ? 的分布列为

?
P







且已知 E? ? 2, D? ? 0.5 , 求:

p1

p2

p3

(1) p1 , p2 , p3 ;(2) P(?1 ? ? ? 2) , P(1 ? ? ? 2) 。

18. (本题满分 12 分)甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量,分别记为 ? 和 ? ,它们的分布列分别为

?
P

0 0.1 0 0.2

1 a 1 0.2

2 0.4 2 b

?

P (1) 求 a , b 的值 (2) 计算 ? 和 ? 的期望与方差,并以此分析甲、乙两射手的技术情况。

19. (本题满分 12 分)已知测量误差 ? ~ N (2,102 ) (单位: ㎝ ),且 ?(1) ? 0.8413, ?(0.6) ? 0.7257 , lg 4.33 ? 0.636, lg 5.67 ? 0.754。 (1) 求一次测量中误差的绝对值不超过 8 ㎝ 的概率; (2) 必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的误差的绝对值不超过 8 ㎝ 的概率大于 0.9 ?

20.(本题满分 12 分)设 ? ~ B(n, p), 证明: E? ? np, D? ? np(1 ? p)

21. (本题满分 12 分)从一批有 5 个合格品与 3 个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各 个产品被抽到的可能性相同。记 ? 为直到取出的是合格品为止时所需抽取的次数,分别在下 列三种情形下求出: (1) 每次抽取的产品都不放回到这批产品中的 ? 的分布列和所需平均抽取的次数; (2) 每次抽取的产品都立即放回到这批产品中,然后再抽取一件产品的 ? 的分布列。

22.(本题满分 14 分)测得某国 10 对父子身高(单位:英寸)如下: 父亲身高 x 60 62 64 65 66 67 68 70 儿子身高 y 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 (1) 对变量 y, x 进行相关性检验; (2) 如果变量 y, x 之间具有线性相关关系,求线性回归直线; (3) 如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高。

72 70.1

74 70

题号 答案

1 C

2 B

3 B

4 C

5 A

6 D

7 B
2

8 A

9 B

10 B 1/15120。

11 D

12 C

? ? 11.47 ? 2.62x 13. 1.89 ;14. y
17.解:(1)∵ E? ? 2, D? ? 0.5 ,即

;15. N (10,9 ) ;16.

1 ? p1 ? 2 ? p 2 ? 3 ? p3 ? 2

p1 ? 0.25

(1 ? 2) 2 p1 ? (2 ? 2) 2 p 2 ? (3 ? 2) 2 p3 ? 0.5 ? p 2 ? 0.5 。
p3 ? 0.25 p1 ? p 2 ? p3 ? 1 (2) P(?1 ? ? ? 2) ? P(? ? 1) ? 0.25 , P(1 ? ? ? 2) ? 0 。 18. 解:(1)∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? 1, P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? 1 ? a ? 0.5, b ? 0.6 。
(2)

E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 1.3, D? ? (0 ? 1.3) 2 0.1 ? (1 ? 1.3) 2 0.5 ? (2 ? 1.3) 2 0.4 ? 0.41 E? ? 1.4, D? ? 0.64 。
这个结果说明了:甲的平均得分比乙的低,甲得一分相对集中一些,而乙得一分相对分 散一些。 19. 解: (1)∵ ? ~ N (2,102 ) ,∴ ? ? 2, ? ? 10 , ∴ P(| ? |? 8) ? F (8) ? F (?8) ?

?(

8?2 ?8? 2 ) ? ?( ) ? ?(0.6) ? ?(?1.6) ? ?(0.6) ? ?(1) ? 1 ? 0.7257 ? 0.8413 ? 1 ? 0.567 10 10

(2)设进行了 n 次测量才能使至少有一次测量的误差的绝对值不超过 8 ㎝。 记 A=一次测量的误差的绝对值不超过 8 ㎝,P( A) ? 0.678而 n 次测量的误差的绝对值都超
0 过 8 ㎝的概率为: Cn 0.433n 。即求 n 次测量的误差的绝对值超过 8 ㎝的对立事件的概率。

1 ? 0.433 n ? 0.9 ? n ?

?1 ? 2.75 。 nmin ? 3 ? 1 ? 0.636

答:要进行 3 次测量才能使至少有一次测量的误差的绝对值不超过 8 ㎝。
k k 20. 证明:? P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p) n?k , 0 0 1 1 2 2 n n ? E? ? 0 ? Cn p (1 ? p) n ? 1? Cn p (1 ? p) n?1 ? 2 ? Cn p (1 ? p) n?2 ? ? ? ? ? nCn p (1 ? p) 0 k k ?1 又? kCn ? nCn ?1 , 0 0 n?1 1 1 n?1 n?1 0 n?1 ? E? ? np[Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ] ?1 p (1 ? p) ?1 p (1 ? p) ?1 p (1 ? p)

= np[ p ? (1 ? p)]n?1 = np 。 由于 D? ? E? ? ( E? ) 。又
2 2
i i n ?i i i n ?i i i n ?i i i n ?i E? 2 ? ? i 2 C n p q ? ? i(i ? 1)C n p q ? ? iCn p q ? ? i(i ? 1)C n p q ? E? i ?0 i ?0 i ?0 i ?0 n n n n

= n(n ? 1) p

2

? Cni??22 p i?2 q (n?2)?(i?2) ? E? ? n(n ? 1) p 2 ? Cnj?2 p j q (n?2)? j ? E?
i ?2 j ?0

n

n?2

= n(n ? 1) p 2 ( p ? q) n?2 ? E? ? n(n ? 1) p 2 ? np 。

? D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? n(n ? 1) p 2 ? np ? (np) 2 ? np(1 ? p) ? npq。
21. 解: (1)第一次取出的是合格品的概率为 5/8;第二次取出的是合格品(第一次取出的
1 1 C3 ? C5 15 是次品)的概率为 ;第三次取出的是合格品(第一、二次取出的是次品)的 ? 2 56 A8 1 A32 ? A5 5 概率为 ;第四次取出的是合格品(第一、二、三次取出的是次品)的概率为 ? 3 56 A5 3 2 1 5 1 ? ? ? ? 。其 ? 的分布列为 8 7 6 5 56 ? 1 2 3 4 5 15 5 1 P 8 56 56 56 5 15 5 1 ? 3? ? 4? ? 1.5。 所需平均抽取的次数 E? = 1 ? ? 2 ? 8 56 56 56 (2)抽查次数 ? 取 1,2,3, ? ?? , n,? ? ? 的整数,取出合格品的概率为 5/8,取出次品的概率为 3/8,前 k ? 1 次是次品,而第 k 次( k ? 1,2,? ? ?, n ? 1 )取出正品的概率是: 3 5 P (? ? k ) ? ( ) k ?1 ? ( k ? 1,2,? ? ?, n,? ? ? ) 。其 ? 的分布列为: 8 8 1 2 3 … … n ? 5 3 5 3 5 3 5 ? ( )2 ? ( ) n ?1 ? P … … 8 8 8 8 8 8 8

22. 解: (1)∵ x ? 66, y ? 67,
2 2

x ? 4462 .24, y ? 4490 .34, ? xi yi ? 44842 .4 。∴ r ?
i ?1

i ?1 10

? xi2 ? 44794, ? yi2 ? 44941.93, x y ? 4476.27,
i ?1

10

10

?

?x y
i ?1 i 10 2 i ?1

10

i

? 10x y
10

?
2 2

44842 .4 ? 10 ? 4476 .27 (44794? 44622 .4)(44941 .93 ? 44903 .4)

? 0.9801

(? xi ? 10x )(? yi ? 10y )
2 i ?1

又查表得: r0.05 ? 0.632,∵ r ? r0.05 ,∴ y, x 之间具有线性相关关系。

? ? bx ? a ,则 (2)设线性回归直线为 y
10 10 ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? 44842 .4 ? 44762 .7 i ?1 i ?1 ? ? 10 ? ? 0.4645 ?b ? 10 44794? 44622 .4 2 2 2 ? ( xi ? x ) xi ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx ? 67.01 ? 0.4645? 66.8 ? 35.98 ? ? 0.4645x ? 35.98 。 ( 3 ) 当 故 所 求 的 线 性 回 归 直 线 为 y ? ? 0.4645? 73 ? 35.98 ? 69.9 , x ? 73, y ∴如果父亲的身高为 73 英寸, 估计儿子的身高是

69.9 英寸。


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