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高中数学中几种判断函数增减性的方法


高中数学中几种判断函数增减性的方法 函数的单调性(增减性)是函数的基本性质之一,是高中数学 必须掌握且能熟练运用的基础知识。函数中函数值的变化方向与自 变量的变化方向密切相关,当自变量的变化方向与函数值的变化方 向一致时,函数图象(曲线)是下降的,或者说是递减的;反之, 是上升的,或者说是递增的,函数的这种性质称为单调性。函数的 单调性是函数在某个区间或整个定义域上的性质。利用函数的单调 性可以求函数在某个区间上的最大(小)值、可以比较两个或多个 函数值的大小、还可以解不等式及判断函数在某个区间内的零点个 数。但在解决这些问题之前必须确定函数的单调性,即函数在定义 域区间内是增函数还是减函数。下面介绍几种判断函数增减性的方 法。 一、利用函数单调性的定义判别 设函数 f(x)的定义域为 i: 如果对于定义域 i 内某个区间 a 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 ,那么就说函数 f(x)是区间 a 上的 函数。 在此定义中必须注意: 1.证明函数的单调性,必须严格按照单调性的定义进行,x1,x2 具有三个特征:一是任意性,也就是说,x1,x2 是任取的,证明单 调性时不能用两个特殊值随意替换 x1,x2;二是 x1,x2 有大小, 通常规定 x1<x2;三是 x1,x2 同属一个单调区间。此三者缺一不 可。 2.这个区间 a 可以是定义域 i 本身,也可以是定义域 i 的某个真 子集。 3.不是所有的函数都具有单调性。 如函数 ,它的定义域为 r,但不具备单调性;又如 y=3x+2,x∈ n+,它的定义域不是区间,也不能说它在定义域上具有单调性。 二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走 势”判别 当函数值与自变量的变化趋势 时,函数为 函数。 函数图象(曲线) “从左到右走 坡路” ,函数为 函数。 三、利用函数单调性的运算性质判别 若函数 f(x) ,g(x)在定义域区间 a 上具有单调性,则在区间 a 上具有下列性质: ①f(x)与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性; ②当 a>0 时,f(x)与 af(x)具有相同的单调性;当 a<0 时, f(x)与 af(x)具有相反的单调性; ③若 f(x)恒不等于零,当 k>0 时,f(x)与 具有相反的单调 性;单 k<0 时,f(x)与 具有相同的单调性; ④当 f(x)与 g(x)都是 函数时,则 f(x)+g(x)也是 函数; ⑤若 f(x)与 g(x)都是 函数时。 当 f(x)>0 且 g(x)>0 时,则 f(x) g(x)是 函数; 当 f(x)<0 且 g(x)<0 时,则 f(x) g(x)是 函数, 。 例 判断函数 f(x)=5x3- 在(0,+∞)上的单调性。 解:∵5x3 在(0,+∞)上是增函数;- 在(0,+∞)上是增函 数。 ∴f(x)=5x3- 在(0,+∞)上也是增函数。 四、利用函数奇(偶)性的对称性质判别 因为 函数的图象关于 成 图形,所以 函数在原点两侧的对称区 间上具有 的单调性。即 函数 f(x)在区间[a,b]与[-b,-a]上的 单调性 。 (0≤a<b 或 a<b≤0) 例1 例 2 设 f(x)在 r 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 有 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3) ,求 a 的取值范围。 解:∵f(x)在 r 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增。 ∴f(x)在区间(0,+∞)上递减。 点评:解此题的关键是根据 2a2+a+1>0,2a2-2a+3>


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