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湖北省枣阳市第七中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)


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湖北省枣阳市第七中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试理 科数学试题
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 评卷人 得分 一 二 三 总分

一、选择题(本大题共

10 题,每 题 5 分,共计 50 分)

1.函数 f ? x ? ? 2 log2e ? 2lnx ? ax ? 3 的一个极值点在区间 ?1 , 2? 内,则实数 a 的取值
x

范围是() A. ?1 , 3? B. ?1, 2? C. ? 0, 3? D. ? 0, 2?

2.下列命题中的真命题是 A. ?x ? R , x3 ≥ x 2 B. ?x ? R , x3 ? x2

C. ?x ? R , ?y ? R , y 2 ? x D. ?x ? R , ?y ? R , y ? x ? y 3.若复数 (1 ? i)(a ? i) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 ( )

A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.[2014·四川德阳诊断]现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座,每名同学 可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( ) A.81 B.64 C.48 D.24
3 2 5.已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ?

1 x a

? a ? 0 ? ,则 f ? 2 ? 的最小值为
C. 8 ? 8a ?

A. 12 3 2
2

B. 16

2 a

D.12 ? 8a ?

1 a

6.设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ) (A)y=x-1 或 y=-x+1 (B)y=

3 3 错误!未找到引用源。(x-1)或 y=错误!未找到引用源。(x-1) 3 3

(C)y= 3 错误!未找到引用源。(x-1)或 y=- 3 错误!未找到引用源。(x-1)

(D)y=

2 2 错误!未找到引用源。(x-1)或 y=错误!未找到引用源。(x-1) 2 2

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7. 设m ?3, 对于数列 {an }(n ? 1,2,?m?) , 令 bk 为 a1 , a2 ,?ak 中的最大值, 称数列 {bn } 为 {an } 的“递进上限数列” 。例如数列 2,1,3,7,5 的递进上限数列为 2,2,3,7,7.则下面命 题中( )

①若数列 {an } 满足 an ?3 ? an ,则数列 {an } 的递进上限数列必是常数列 ②等差数列 {an } 的递进上限数列一定仍是等差数列 ③等比数列 {an } 的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的个数是( ) A. 0 B.1
2

C.2

D.3

8.已知随机变量 服从正态分布 N(2,σ ) ,且 P( <4)=0.8,则 P(0< <2) =( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 9.若 p 是真命题, q 是假命题,则 (A) p ? q 是真命题 (B) p ? q 是假命题 (C) ?p 是真命题 (D) ?q 是真命题 )

D.0.2

10.设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 第 II 卷(非选择题) 评卷人 得分

二、填空题(本大题共 5 题,每 题 5 分,共计 25 分)

11.函数 y ? f ( x) 在定义域(—2,4)内可导,其图象 如图所示,设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,则不等 式 f ?( x) ? 0 的解集为 。

12.函数 y ? x ? x ? 5x ? 5 的单调递增区间是__________________________
3 2

13.设 a ? R ,则 a ? 1 是 a 2 ? 1 的 要条件或既不充分也不必要)

条件。 (填充分不必要 ,必要不充分,充

? 2 2 ? ? 14.二项式 ? ?x ? ? 展开式中的第________项是常数项. x? ?
1 ? ? 15. ? x x ? 4 ? 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44,则展 x ? ?
n

10

开式中 的常数项是第( 评卷人 得分

)项

三、解答题(75 分) 16. (本小题 12 分) 设复数 z 满足 z ? 1 ,且 (3 ? 4i) ? z 是纯虚数,求 z 。
?

2 2 17. (12 分)命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实数 x 满足

x2 ? x ? 6 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围
18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) ,曲线 y ? f ? x ? 在点

?1, f ?1?? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .
3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ? x ? ?

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

19. (本题满分 15 分) 已知直线 l : y ? kx ? 1(k ? 0) 与椭圆 3x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两 个不同的点,记 l 与 y 轴的交点为 C . (Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? m)( x ? n) . (I)当 n ? 2 时,若函数 f ( x) 在 [1,3] 上单调递减,求实数 m 的取值范围; (II)若 m ? n ? 0 , m ? n ? 2 2 ,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 f ( x) 均 相切,求 m 和 n 的值. 21. (14 分)已知 ? ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 ? ? 2 时,求 f ( x) 的最小值;

? ( x ? 1) ,其中 x ?[1, ??) . x ? ? ?1

(Ⅱ)在函数 y ? ln x 的图像上取点 Pn (n, ln n) (n ? N ? ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn ,

Sn ?

1 1 1 ? ? ? ? .对任意正整数 n,试证明: k1 k2 kn

n(n ? 2) ; 2 n(3n ? 5) (ⅱ) Sn ? . 6
(ⅰ) Sn ?

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 参考答案 1.C 【解析】

? x) 2 x﹣ 2 ? ﹣a 在(1,2)上是增函数,故 f() 试题分析:求导 f( ⅱ 1 f(2)<0 ,可得
结果.

1 x

1 ? f( ? x) 2 x﹣ 2 ? ﹣a 在(1,2)上是增函数, x
∴若使函数 ( f x) = 2x log2e ﹣ 2lnx ﹣ax +3 的一个极值点在区间(1,2)内,

\ f() ⅱ 1 f(2)<0, \(﹣a)(﹣ 3 a)<0,\ 0<a<3 ,故选 C.
考点:利用导数研究函数的极值. 2.D 【解析】对于所给的四个命题,可以看出,当 x=

1 时,不等式不成立,A 不正确; 2

当 x=0 时,不等式不成立,B 不正确; 当 x 是负数时,不等式不成立,C 不正确, 当 x=0 时,不管 y 取什么值,等式都成立,D 正确. 解答:解:A 不正确,当 x=

1 时,不等式不成立; 2

B 不正确,当 x=0 时,不等式不成立, C 不正确,当 x 是负数时,不等式不成立, D 正确,当 x=0 时,不管 y 取什么值,等式都成立. 故选 D. 3.C 【解析】 试题分析:因为(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,那么由于该复数为实数,所以一定有 1-a=0,a=1, 故选 C. 考点:本试题主要考查了复数的概念和运算。 点评:解决该试题的关键是理解复数为虚数时,只要虚部为零即可。那么求解原式,保证虚 部等于零得到。 4.A 4 【解析】每个同学都有 3 种选择,所以不同选法共有 3 =81(种),故选 A. 5.B 【解析】本题考查基本不等式的应用.

a ? 0, b ? 0,

a?b ? ab , 当且仅当 a ? b 是等号成立;特别注意等号成立的条件. 2

a ? 0, f (2) ? 8 ? 8a ?
即a ? 6.C

2 1 1 1 ? 8 ? 2(4a ? ) ? 8 ? 2 ? 2 4a ? ? 16 ;当且仅当 4a ? ( a ? 0) a a a a

1 时,等号成立.故选 B 2

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2), 又 F(1,0), 则 AF 错误!未找到引用源。=(1-x1,-y1), FB =(x2-1,y2), 由题意知 AF 错误!未找到引用源。=3 FB 错误!未找到引用源。, 因此 ?

????

??? ?

????

??? ?

? ?1 ? x1 ? 3 ? x2 ? 1? , 错误!未找到引用源。 ? y ? 3 y , ? ? 1 2

即?

? x1 ? 4 ? 3x2 , 错误!未找到引用源。 ? y1 ? ?3 y2 ,

2 ? ? y2 ? 4 x2 , 又由 A、B 均在抛物线上知 ? 错误!未找到引用源。 2 ? 3 y ? 4 4 ? 3 y . ? ? ? ? ? 2 2 ?

1 ? x ? , 2 ? 3 ? 解得 ? 错误!未找到引用源。 2 3 ?y ? ? , 2 ? 3 ?

2 3 3 错误!未找到引用源。=± 3 错误!未找到引用源。, 直线 l 的斜率为 1 ?1 3 ?
因此直线 l 的方程为 y= 3 错误! 未找到引用源。 (x-1)或 y=- 3 错误! 未找到引用源。 (x-1). 故选 C. 7.B 【解析】 试题分析:根据设 m ? 3 ,对于数列 {an }(n ? 1,2,?m?) ,令 bk 为 a1 , a2 ,?ak 中的最大值, 称数列 {bn } 为 {an } 的“递进上限数列” ,那么 ①若数列 {an } 满足 an ?3 ? an ,则数列 {an } 的递进上限数列必是常数列,成立。 ②等差数列 {an } 的递进上限数列一定仍是等差数列,错误。 ③等比数列 {an } 的递进上限数列一定仍是等比数列,错误。故选 B. 考点:等差数列,等比数列 点评:主要是考查了等差数列和等比数列的概念的运用,属于基础题。 8.C 【解析】

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 试题分析:由 P( <4)=0.8 得 P( >4)=1-0.8=0.2,则 P( <0)=0.2, P(0< < 2)=(0.8-0.2)/2=0.3,答案选 C. 考点:正态分布 【答案】D 【解析】 :或( ? )一真必真,且( ? )一假必假,非( ? )真假相反,故选 D 10.A 【解析】当 x=2 且 y=-1 时,满足方程 x+y-1=0,即点 P(2,-1)在直线 l 上.点 P′ (0,1)在直线 l 上,但不满足 x=2 且 y=-1,∴“x=2 且 y=-1”是“点 P(x,y)在直线 l 上”的充分而不必要条件.
4 1 11. (?2, ? ) ? ( ,2) 5 2

【解析】略 12. (??, ? ), (1, ??) 【解析】 y? ? 3x ? 2 x ? 5 ? 0
2

5 3

解得 x ? ? 或x ? 1

5 3

13.必要不充分
2 2 【解析】①当 a ? ? 时,取 a ? ?2, 得:不等式 a ? ? 不成立,? a ? 1 不是 a ? ? 的充分条

件.
2 2 ②当 a ? ? 时,解得: ?1 ? a ????? ?1,1? ? ? ??,1? ,? a ? ? 是 a ? ? 的必要条件. 2 综上所述, a ? ? 是 a ? ? 的必要不充分条件.

14.九 【解析】

? 2 2 ? ? 试题分析:根据题意可知 ,二项式 ? ?x ? ? x? ?

10

展 开 式 中 的 第 r+1 项 为

C x

r 2(10?r ) 10

2 x

r

?

r 2

?C 2 x
r 10 r

5 20? r 2

,则令 20 ?

5 r ? 0 ? r ? 8 ,故展开式中第 9 项是常数项, 2

故答案为九。 考点:二项式定理 点评:解决该试题的关键是利用通项公式来分析未知数的次数为零即可,属于基础题。 15.4 【解析】解:因为由题意可得,C -Cn =44 可求 n=11,通项公式为 C x
2 n 1

r 11

33?11r 2

,令 x 的次数为

零可知 r=3,那么是第四项故填写 4. 16.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,由 z ? 1 得 a ? b ? 1 ;?????????????
2 2

(3 分)

3

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?4a ? 3b ? 0 ?(6 分) (3 ? 4i) ? z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 ? ?3a ? 4b ? 0

【解析】略 17. a ? ?4 或 ? 【解析】略 18. (Ⅰ) f ? x ? ? ln x ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求导数得 f ? ? x ? ?

2 ?a?0 3
x 1 ; (Ⅱ) ( ?? , ] . 2 2

a ? b ,由导数几何意义得曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? x

' 处的切线斜率为 k ? f (1) ?

1 1 1 ,且 f (1) ? ? ,联立求 a ? 1, b ? ? ,从而确定 f ( x) 的解 2 2 2
x k x2 ? ? 0 ,参变分离为 k ? ? x ln x ,利 2 x 2

析式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式等价于 ln x ? 用导数求右侧函数的最小值即可. 试题解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? a ln x ? bx ,

∴ f ?? x? ?

a ?b. x

∵直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为

1 1 ,且曲线 y ? f ? x ? 过点 (1, ? ) , 2 2

1 1 ? ? f ?1? ? ? , ?b ? ? , ? 1 ? ? 2 2 ∴? 即? 解得 a ? 1, b ? ? . 2 ? f ? ?1? ? 1 , ?a ? b ? 1 , ? ? ? 2 ? 2
所以 f ? x ? ? ln x ?

x 2

4分

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 当 x ? 1 时 , f ? x? ?

k x k ? 0 恒 成 立 即 ln x ? ? ? 0 , 等 价 于 x 2 x

4

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k?

x2 ? x ln x . 2 x2 ? x ln x ,则 g? ? x ? ? x ? ? ln x ?1? ? x ?1? ln x . 2

令 g ? x? ?

令 h ? x ? ? x ?1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 .

从而,当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 g ? x ? ? g ?1? ?

1 . 2

因此,当 x ? 1 时, k ?

1 x2 ? x ln x 恒成立,则 k ? . 2 2
1 2
12 分

∴ k 的取值范围是 ( ?? , ] . 考点:1、导数几何意义;2、利用导数求函数的极值、最值. 19. (Ⅰ)2; (Ⅱ)

3 , 3x 2 ? y 2 ? 5 . 2

【解析】 试题分析: (1)当 k ? 1 时,联立直线与椭圆的方程表示出弦长构造方程即可得到实数 a 的 值; (2)根据条件 AC ? 2CB 以及韦达定理表示三角形的面积,然后利用基本不等式即可得到 结论. 试题解析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (Ⅰ) ?

? y ? x ?1
2 2

1 1? a , ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 4 ?3x ? y ? a
3 10 ? ? a ? 2. 4 2

| AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 ? a ?

(Ⅱ) ?

? y ? kx ? 1 ?3x ? y ? a
2 2

? (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? a ? 0 ,

5

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? x1 ? x2 ? ?

2k 1? a , x1 x2 ? , 2 3? k 3? k2

由 AC ? 2CB ? (?x1,1 ? y1 ) ? 2( x2 , y2 ?1) ? x1 ? ?2x2 ,代入上式得:

x1 ? x2 ? ? x2 ? ?

2k 2k ? x2 ? , 2 3? k 3? k2

S ?AOB ?

1 3 3| k | 3 3 3 , | OC || x1 ? x2 |? | x2 |? ? ? ? 2 3 2 2 3? k 2 2 3 ?|k | |k|

当且仅当 k 2 ? 3 时取等号,此时 x2 ? 又 x1 x2 ?

2k 4k 2 2 2 , x x ? ? 2 x ? ? 2 ?? . 1 2 2 2 2 2 3? k (3 ? k ) 3

1? a 1? a 1? a 2 ? ? ? ? a ? 5. ,因此 2 3? k 6 6 3

所以, ?AOB 面积的最大值为 考点:椭圆的性质. 【答案】 (本小题满分 12 分)

3 ,此时椭圆的方程为 3x 2 ? y 2 ? 5 . 2

2 m ,?(2 分) 解: (I)当 n ? 2 时, f ( x) ? x3 ? (m ? 2) x2 ? 2mx ,则 f ?(x) ?3x 2 ?2( m ?2) x ?
? f ?(1) ? 3 ? 2(m ? 2) ? 2m ? 0, 函数 f ( x) 在 [1, 3] 上单调递减,则有: ? ? f ?(3) ? 27 ? 6(m ? 2) ? 2m ? 0,

解得 m ?

15 15 ,故实数 m 的取值范围是 [ , ??) ; 4 4
3 2

??????(6 分)

(II)设切点 Q( x0 , y0 ) , y0 ? x0 ? 2 2 x0 ? mnx0
2 则切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 4 2 x0 ? mn ,所以切线的方程是

y ? x0 ? 2 2 x0 ? mnx0 ? [3x0 ? 4 2 x0 ? mn]( x ? x0 ) ,?????(8 分)
3 2 2 2

又切线过原点,则 ? x0 ? 2 2 x0 ? mnx0 ? ?3x0 ? 4 2 x0 ? mnx0 ,
3 2 2 3 2

∴ 2 x0 ? 2 2 x0 ? 0 ,解得 x0 ? 0 ,或 x0 ? 2 .
3 2

两条切线的斜率为 k1 ? f ?(0) ? mn , k 2 ? f ?( 2 ) ? mn ? 2 ∵ k1 k 2 ? ?1 ,∴ (mn) 2 ? 2mn ? ?1 ,∴ mn ? 1 , 由 m ? n ? 0 , m ? n ? 2 2 得 m ? 2 ? 1 , m ? 2 ? 1 .??????(12 分) 【解析】略

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21. (Ⅰ)0;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅱ)利用两点的连线的斜率公式得出 kn,再利用(Ⅰ)的结论对 Sn 放缩即可 得出结论. (Ⅰ)当 ? ? 2 时, f ( x) ? ln x ?

2( x ? 1) ( x ? 1) ,利用导数求函数的最小值; (Ⅱ)依题 x ? ? ?1

ln( n ? 1) ? ln n 1 ? ln(1 ? )(ⅰ) 由 (Ⅰ) 可知, 若取 ? ? 2 , 则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 , n ?1? n n 2( x ? 1) 即 ln x ? x ?1 1 2(1 ? ? 1) n n 1 2i ? 1 2 1 2n ? 1 n 于是 ln(1 ? ) ? ,即知 k n ? ,所以 S n ? ? ? ? 化 ? 1 n 2 2 2n ? 1 i ?1 k i i ?1 1? ?1 n kn ? 意,
简即可得到结果. (ⅱ)取 ? ? 3 , f ( x) ? ln x ?

3( x ? 1) ( x ? 1)(x ? 4) ( x ? 1) ,求导可得 f '( x ) ? ,所以当 x?2 x( x ? 1) 2

x ? (1,2) 时 , f ' ( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 x ? (1,2) 单 调 递 减 , 所 以 , 当 x ? (1,2] 时 , f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ?

3( x ? 1) x?2 1 ? (1,2] , 于 是 利 用 不 等 式 放 缩 可 得 n

由 于 对 任 意 正 整 数 n , 1?

1 ? 1) 3 1 1 3n ? 1 n kn ? l n 1? ( )? ? ,即知 ,即可得到结论. ? 1 n kn 3n ? 1 3 1? ? 2 n 2( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 试题解析: (Ⅰ)当 ? ? 2 时, f ( x) ? ln x ? x ? ? ?1 3(1 ?
f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? ? ?0 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
5分

所以 f ( x ) 在 x ? [1,??) 单调递增,故 f ( x ) 的最小值是 f (1) ? 0 (Ⅱ)依题意, k n ?

ln( n ? 1) ? ln n 1 ? ln(1 ? ) n ?1? n n

6分

(ⅰ)由(1)可知,若取 ? ? 2 ,则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,即 ln x ?

2( x ? 1) x ?1

1 于是 ln(1 ? ) ? n

2(1 ?

1 ? 1) 2 2n ? 1 n ? ,即知 k n ? 1 2 2n ? 1 1? ?1 n

7

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n 1 2i ? 1 n( n ? 2) ? ? ? ? 2 2 i ?1 k i i ?1 n

所以 S n ?

9分

(ⅱ)取 ? ? 3 , f ( x) ? ln x ?

3( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x?2

f ' ( x) ?

1 3( x ? 2) ? 3( x ? 1) ( x ? 1)(x ? 4) ? ? x x( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

当 x ? (1,2) 时, f ' ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 x ? (1,2) 单调递减, 所以,当 x ? (1,2] 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? 注意到,对任意正整数 n , 1 ?

3( x ? 1) x?2

12 分

1 ? (1,2] ,于是 n

1 ? 1) 3 1 1 3n ? 1 n k n ? ln(1 ? ) ? ? ,即知 ? 1 n kn 3n ? 1 3 1? ? 2 n 3(1 ?
所以 S n ?
n 1 3i ? 1 n(3n ? 5) ? ? ? ? 6 3 i ?1 k i i ?1 n

14 分.

考点:1.不等式放缩;2.利用导数研究函数的单调性.

8


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