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(北师大版)必修2第一章《立体几何初步》§平行关系(4)


必修1第一章 《立体几何初步》

学习目标:
1.掌握平面和平面平行的性质定理,并能对定 理进行证明. 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描 述定理,了解其的意义和作用并能应用.

学习重点: 理解定理的条件与结论及符号表示
应用平面与平面的性质定理证明简 学习难点:

单的平行问题

>
回想一下,平面与平面平行的判定定理是什么? 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面,那么这两个平面平行 平面与平面平行的判定定理解决了平面与平面平行

的条件问题,反之,在平面与平面平行的前提下,
可以得到什么结论呢?

思考1:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与 另一个平面有什么位置关系?

a
β

α

如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个 平面平行.

思考2:如果两个平面平行,两个平面内的直线有什么 位置关系?

α
β

α
β

平行

异面

思考3:当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条 交线有什么关系?

(1)

(2)

一般地,若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b. 证明:

γ β α b a

∵α∩γ=a,β∩γ=b, ∴a?α,b?β, ∵α∥β, ∴a,b没有公共点,

又a,b同在γ内,所以a∥b.

定理5.4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行.

γ β α b a

α∥β α∩γ=a
β∩γ=b ? a∥b

面面平行?线线平行

思考交流 平面与平面平行的性质定理可简述为“面面平行, 则线线平行”,在实际应用中它有何功能作用?

γ β α b a

作用:证明直线与直线平行的依据

例1.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α, B∈β,D∈β. 求证:AB=CD. 证明: 因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ,且平面γ与平面 α和β分别相交于AC和BD. 因为α//β,所以AC//BD. 因此,四 边形ABDC是平行四边形. 所以AB=CD.

想一想:由两个平面平行可以得到哪些结论呢? 提示:
1.若两个平面互相平行,则其中一个平面中

的直线必平行于另一个平面;
2.平行于同一平面的两平面平行;

3.夹在两平行平面间的平行线段相等.

例2 如图,平面α,β,γ两两平行,且直线l与α,β, γ分别相交于点A,B,C,直线m与α,β,γ分别相交于 点D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长. 解 :当直线m与l共面时,该 平面与α,β,γ分别交于直线 AD,BE,CF, 因为α,β,γ两两平行, 所以AD∥BE∥CF, AB DE 故 ? . BC EF

当直线m与l不共面时,连接DC. 设DC与β相交于点G,则平面 ACD与α,β分别相交于直线 AD,BG,平面DCF与β,γ分别 相交于直线GE,CF. 因为α,β,γ两两平行,所以 BG∥AD,GE∥CF.因此 AB DG DG DE ? , ? . BC GC GC EF AB DE ? . 所以 BC EF 又因为AB=6,BC=2,EF=3, 所以,DE=9.

例3 如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体, M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上 底面的棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面 交上底面于PQ,Q在CD上,求PQ的长度.
解:连接AC,A1C1, 由平面ABCD∥平面A1B1C1D1 且平面MNQP分别与平面ABCD, 平面A1B1C1D1相交知, PQ∥MN, 又由M,N分别为A1B1,B1C1的中点, 所以MN∥A1C1, 又由A1C1∥AC,即MN∥AC, 所以PQ= 所以PQ∥AC,所以DP=DQ, DP 2 ? DQ2 ? 2 2 又由AP=1,所以DP=DQ=2,

课堂练习:

1.平面α∥平面β,平面γ∩α=a, γ∩β=b,直线c?β,且c∥b. (1)判断c与a的位置关系; (2)判断c与α的位置关系.

( 1)

2.已知直线a?α,给出以下三个叙述: ①若平面α∥平面β,则直线a∥平面β; ②若直线a∥平面β,则平面α∥平面β; ③若直线a不平行于平面β,则平面α不平行于平面β. 其中正确的是( ) A.② B.③ C. ①② D.①③

3.已知平面α∥平面β,若两条直线m,n分别在平面α,

β内,则直线m,n的关系不可能是________.

1.面面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行.
2.两个平面平行还具有哪些性质? (1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直 线都与另一个平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行 (3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等

课后探究:
1.如果3个平面把空间分成4个部分,那么这三个平面 有怎样的位置关系? 2.如果3个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面 有怎样的位置关系? 3.三个平面还可将空间分成几部分?


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