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2014年福建高考文科数学试题详解


2014 年福建高考文科数学试题详解 (word 解析版)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 【2014 年福建卷(文 01) 】若集合 P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则 P∩Q 等于( A. {x|3≤x<4} B. {x|3<x<4} C. {x|2≤x<3} D. {x|2≤x≤3} 【答案】A 【解析】∵P={x|2≤

x<4},Q={x|x≥3},∴P∩Q={x|3≤x<4} )

【2014 年福建卷(文 02) 】复数(3+2i)i 等于( A. ﹣2﹣3i B. ﹣2+3i C. 2﹣3i 【答案】B 2 【解析】 (3+2i)i=3i+2i =﹣2+3i



D. 2+3i

【2014 年福建卷(文 03) 】以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧 面积等于( ) A. 2π B. π C. 2 D. 1

【答案】A 【解析】边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱, 则所得几何体的侧面积为:1×2π ×1=2π

【2014 年福建卷(文 04) 】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值为(



A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B 1 2 n 2 【解析】由程序框图知:第一次循环 n=1,2 >1;第二次循环 n=2,2 =4.不满足条件 2 >n ,跳出循环,输出 n=2

1

【2014 年福建卷(文 05) 】命题“? x∈[0,+∞) ,x3+x≥0”的否定是( A. ? x∈(﹣∞,0) ,x +x<0 B. ? x∈(﹣∞,0) ,x +x≥0 3 3 C. ? x0∈[0,+∞) ,x0 +x0<0 D. ? x0∈[0,+∞) ,x0 +x0≥0
3 3



【答案】C 3 3 【解析】∵命题“? x∈[0,+∞) ,x +x≥0”是一个全称命题.∴其否定命题为:? x0∈[0,+∞) ,x0 +x0<0

【2014 年福建卷(文 06) 】已知直线 l 过圆 x2+(y﹣3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( A. x+y﹣2=0 B. x﹣y+2=0 C. x+y﹣3=0 D. x﹣y+3=0



【答案】D 【解析】由题意可得所求直线 l 经过点(0,3) ,斜率为 1,故 l 的方程是 y﹣3=x﹣0,即 x﹣y+3=0

【2014 年福建卷(文 07) 】将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位,得到函数 y=f(x)的函数图象,则下列说法正 确的是( ) A. y=f(x)是奇函数 C. y=f(x)的图象关于直线 x= B. y=f(x)的周期为π

π π 对称 D. y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称 2 2

【答案】D 【解析】将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位,得 y=sin(x+ )=cosx.即 f(x)=cosx. =cos(﹣ )=0,

∴f(x)是周期为 2π 的偶函数,选项 A,B 错误;∵cos ∴y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0) 、 (

,0)成中心对称

【2014 年福建卷(文 08) 】若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是(



2

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由对数函数的图象知,此函数图象过点(3,1) ,故有 y=loga3=1,解得 a=3, ﹣x 对于 A,由于 y=a 是一个减函数故图象与函数不对应,A 错; a 对于 B,由于幂函数 y=x 是一个增函数,且是一个奇函数,图象过原点,且关于原点对称,图象与函数的 性质对应,故 B 正确; a 对于 C,由于 a=3,所以 y=(﹣x) 是一个减函数,图象与函数的性质不对应,C 错; 对于 D,由于 y=loga(﹣x)与 y=logax 的图象关于 y 轴对称,所给的图象不满足这一特征,故 D 错

【2014 年福建卷(文 09) 】要制作一个容积为 4m3,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( ) A. 80 元 B. 120 元 C. 160 元 D. 240 元

【答案】C 3 【解析】 设池底长和宽分别为 a, b, 成本为 y, 则∵长方形容器的容器为 4m , 高为 1m, ∴底面面积 S=ab=4, y=20S+10[2 (a+b)]=20(a+b)+80,∵a+b≥2 =4,∴当 a=b=2 时,y 取最小值 160,即该容器的最低总造价是 160 元 【2014 年福建卷(文 10) 】设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 等于( A. B. 2 ) C. 3 D. 4

【答案】D 【解析】∵O 为任意一点,不妨把 A 点看成 O 点,则 ∵M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,∴ = =2 =4 , 故选:D

【2014 年福建卷(文 11) 】已知圆 C: (x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω =,若圆心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切, 则 a2+b2 的最大值为( ) A. 5 B. 29 C. 37 D. 49 【答案】C

3

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:圆心为(a,b) ,半径为 1∵圆心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,∴b=1, 2 2 2 2 2 则 a +b =a +1,∴要使 a +b 的取得最大值,则只需 a 最大即可,由图象可知当圆心 C 位于 B 点时,a 取值最大, 由 ,解得 ,即 B(6,1) ,∴当 a=6,b=1 时,a +b =36+1=37,即最大值为 37,故选:C
2 2

【2014 年福建卷(文 12) 】在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1 ﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可 以是( ) A. B. C. D.

【答案】A 【解析】设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 再设动点 M(x,y) ,动点到定点 F1,F2 的“L﹣距离”之和等于 m(m>2c>0) , 由题意可得:|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m,即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m. 当 x<﹣c,y≥0 时,方程化为 2x﹣2y+m=0; 当 x<﹣c,y<0 时,方程化为 2x+2y+m=0; 当﹣c≤x<c,y≥0 时,方程化为 y= ;

当﹣c≤x<c,y<0 时,方程化为 y=c﹣ ; 当 x≥c,y≥0 时,方程化为 2x+2y﹣m=0; 当 x≥c,y<0 时,方程化为 2x﹣2y﹣m=0. 结合题目中给出的四个选项可知,选项 A 中的图象符合要求 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分

4

【2014 年福建卷(文 13) 】如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计 阴影部分的面积为 0.18 .

【答案】0.18 【解析】正方形的面积 S=1,设阴影部分的面积为 S,∵随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分, ∴几何槪型的概率公式进行估计得 ,即 S=0.18,故答案为:0.18

【2014 年福建卷(文 14) 】在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= ,则 AB 等于 1 【答案】1 2 2 2 2 【解析】∵在△ABC 中,A=60°,AC=b=2,BC=a= ,∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 3=4+c ﹣2c, 解得:c=1,则 AB=c=1

【2014 年福建卷(文 15) 】函数 f(x)= 【答案】2

的零点个数是 2

【解析】当 x≤0 时,由 f(x)=0 得 x ﹣2=0,解得 x= 或 x= (舍去) , 当 x>0 时,由 f(x)=0 得 2x﹣6+lnx=0,即 lnx=6﹣2x, 作出函数 y=lnx 和 y=6﹣2x 在同一坐标系图象,由图象可知此时两个函数只有 1 个零点, 故函数 f(x)的零点个数为 2

2

【2014 年福建卷(文 16) 】已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①?a≠2;②?b=2;③?c≠0 有且 只有一个正确,则 100a+10b+c 等于 201 【答案】201 【解析】由{a,b,c}={0,1,2}得,a、b、c 的取值有以下情况: 当 a=0 时,b=1、c=2 或 b=2、c=1,此时不满足条件;
5

当 a=1 时,b=0、c=2 或 b=2、c=0,此时不满足条件; 当 a=2 时,b=1、c=0,此时不满足条件; 当 a=2 时,b=0、c=1,此时满足条件; 综上得,a=2、b=0、c=1,代入 100a+10b+c=201

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 【2014 年福建卷(文 07) 】在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn

解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由 a2=3,a5=81,得

,解得

.∴



(Ⅱ)∵

,bn=log3an,∴

.则数列{bn}的首项为 b1=0,

由 bn﹣bn﹣1=n﹣(n﹣1)=1,可知数列{bn}是以 1 为公差的等差数列. ∴ .

【2014 年福建卷(文 18) 】已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) . (Ⅰ)求 f( )的值;

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间

解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=

sin(2x+

)+1,

∴f(

)=

sin(

+

)+1=

sin

+1=

+1=2.

(Ⅱ)∵函数 f(x)= 令 2kπ ﹣ ≤2x+

sin(2x+ ≤2kπ +

)+1,故它的最小正周期为 ,k∈Z,求得 kπ ﹣ ,kπ + ],k∈Z

=π . ,

≤x≤kπ +

故函数的单调递增区间为[kπ ﹣

【2014 年福建卷(文 19) 】如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

6

(Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD? 平面 BCD,∴AB⊥CD,∵CD⊥BD,AB∩BD=B,∴CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)解:∵AB⊥平面 BCD,BD? 平面 BCD,∴AB⊥BD.∵AB=BD=1,∴S△ABD= , ∵M 为 AD 中点,∴S△ABM= S△ABD= ,∵CD⊥平面 ABD,∴VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABM?CD=

【2014 年福建卷 (文 20) 】 根据世行 2013 年新标准, 人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家; 人均 GDP 为 1035﹣4085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4085﹣12616 美元为中等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12616 美元为高收 入国家.某城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均 GDP(单位:美元) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 (Ⅰ)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (Ⅱ) 现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个, 求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.

解: (Ⅰ)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为

=6400 ∴该城市人均 GDP 达到中等偏上收入国家标准; (Ⅱ)从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,共有 收入国家标准,共有 =3 种情况, =10 种情况,抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上

∴抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率

【2014 年福建卷(文 21) 】已知曲线Γ 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=﹣3 的距离小 2. (Ⅰ)求曲线Γ 的方程;
7

(Ⅱ)曲线Γ 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A.直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M,N,以 MN 为直径作圆 C, 过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B,试探究:当点 P 在曲线Γ 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发 生变化?证明你的结论 解: (Ⅰ)设 S(x,y)曲线Γ 上的任意一点,由题意可得:点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=﹣1 的距离相等, 2 曲线Γ 是以 F 为焦点直线 y=﹣1 为准线的抛物线,∴曲线Γ 的方程为:x =4y.

(Ⅱ)当点 P 在曲线Γ 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变, 证明如下:由(Ⅰ)可知抛物线的方程为 y= ,设 P(x0,y0) (x0≠0)则 y0= ,

由y

得切线 l 的斜率 k=

=

∴切线 l 的方程为:

,即







,由





又 N(0,3) ,所以圆心 C(

) ,半径

r=

=

∴点 P 在曲线Γ 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变

【2014 年福建卷(文 22) 】已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的 切线斜率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x <e ; x (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce .
2 x

x

解: (1)由 f(x)=e ﹣ax 得 f′(x)=e ﹣a.又 f′(0)=1﹣a=﹣1,∴a=2,

x

x

8

∴f(x)=e ﹣2x,f′(x)=e ﹣2.由 f′(x)=0 得 x=ln2, 当 x<ln2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴当 x=ln2 时,f(x)有极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4.f(x)无极大值. (2)令 g(x)=e ﹣x ,则 g′(x)=e ﹣2x, ln2 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4>0,即 g′(x)>0, 2 x ∴当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e ; (3)对任意给定的正数 c,总存在 x0= >0.当 x∈(x0,+∞)时,由(2)得 e >x > x,即 x<ce . ∴对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce
x x 2 x x 2 x ln2

x

x

9


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