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2017年安徽分类考试招生数学仿真模拟试卷(含答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年安徽分类考试招生数学仿真模拟试卷(含答案)
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.全集 U ? R , A ? {x | ?2 ? x ? 1}, B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 B ? (? U A) ? A. {x |1 ? x ? 3} C. {x | x ? ?2, 或 x ? ?1} 2.“ x ? 1 ”是“ B. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | x ? ?2, 或 x ? 3}

1 ? 1 ”的 x
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? a5 ? a7 ? 15 ,则 S9 ? A.18 B.36 C.45 D.60

4.函数 f ( x) ? x ? sin x 零点的个数 A.1 B.2 C.3 D.无数个

5.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 ,则判断 框中应填入的条件是 A. i ? 5 C. i ? 5 B. i ? 6 D. i ? 6

5 6

6.甲盒子中装有 2 个编号分别为 1,2 的小球,乙盒子中装有 3 个编 号 分别为 1,2,3 的小球,从甲、乙个盒子中各随机取一个小球,则 取出两小球编号之和为奇数的概率为

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2 3 1 3

B. D.

1 2 1 6

7.过双曲线 是 A.12

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 ( F2 为右焦点)的周长 16 9

B.14

C.22

D.28

8. ?ABC 中角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2, A ? 的最大值为 A. 2 3 B. 3 C.1 D. 2

?
3

,则 ?ABC 面积

9.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确是 A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?

10. f ( x) ? x2 ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ,对 ?x1 ?[?1, 2], ?x0 ?[?1, 2], 使

g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则 a 的取值范围是
A. (0, ]

1 2

B. [ , 3]

1 2

C. [3, ??)

D. (0,3]

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.若复数

1 ? 2i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 ___________。 a ?1

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?x ? y ? 2 ? 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为____________。 ?0 ? y ? 3 ?
13.如图是 2009 年元旦晚会举办挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 _____________, 14.如图,测量河对岸的旗杆高 AB 时,选与旗杆底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D ,测得 ?BCD ? 75? , ?BDC ? 60? , CD ? a , 并在点 C 测得旗杆顶 A 的仰角为 60°,则旗杆高 AB 为______ 15.已知 a, b 均为单位向量,且它们的夹角为 60°, 当 | a ? ?b | (? ? R) 取最小值时, ? ? ___________。

? ?

?

?

16.若某个多面体的三视图如图所示,那么该几何体的集体为 ___________。

?x ? ,x ?0 17.已知 f ( x) ? ? 2 则 f ( f ( x)) ? 1 的解集是____________。 2 ?x , x ? 0 ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.已知 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

??

? 1 ? ? tan ? ? cos x, 且 f ( 3 ) ? 2 。 6?

考单招上高职单招网---(I)求 tan ? 的值;

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(Ⅱ)当 x ? ? , ? ? 时,求函数 f ( x) 的最小值。 2

?? ?

? ?

19.如图,在 ?ABC 中, BD 为 AC 边上的高, BD ? 1, BC ? AD ? 2, 沿 BD 将 ?ABD 翻折,使得 ?ADC ? 30? ,得到几何体 B ? ACD 。 (I)求证: AC ? BD ; (Ⅱ)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值。

20.已知数列 {an } , Sn 是其前 n 项的和,且满足 3an ? 2Sn ? n(n ? N? )

考单招上高职单招网---(I)求证:数列 ? an ? ? 为等比数列;

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? ?

1? 2?

(Ⅱ)记 Tn ? S1 ? S2 ? …? Sn ,求 Tn 的表达式。

21.如图,已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上纵坐标为 1 的点到焦点的距离为 p ,过点 P (1,0)做斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点, A 点关于 x 轴的对称点为 C , 直线 BC 交 x 轴于 Q 点 (I)求 p 的值; (Ⅱ)探究:当 k 变化时,点 Q 是否为定点?

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1 3 a 2 1 2 a2 22.已知函数 f ( x) ? x ? x , g ( x) ? x ? ax ? 。 3 2 2 2
(I)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 P(3, f (3)) 处的切线方程; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 ? 时,求实数 a 的值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 a 的取值范围。

1 3

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参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.C 6.B 2.A 7.D 3.C 8.B 4.A 9.B 5. D 10.A

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. a ? 2 15. 12.7 16.1 13.

8 5

14.

3 2 a 2

1 2

17. (??, ? 2) ? (4, ??)

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18—20 题个 14 分,第 21、22 题各 15 分,共 72 分) 18.(I)因为 f ( ) ? sin ?

?

3

? 1 1 ?? ? ? ? ? ? tan ? ? cos ? 1 ? tan ? ? 3 2 2 ?3 6?

(4 分)

所以 tan ? ? 1

(6 分)

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin ? x ? 分) 因为

? ?

??

3 1 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) (10 ? ? cos x ? 6? 2 2 6
5? 1 ?? ? ,所以 ? sin ? x ? ? ? 1 6 2 6? ?

?
2

? x ? ? ,所以

?
3

? x?

?
6

?

因此,函数 f ( x) 的最小值为

1 2

(14 分)

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19.(I)因为 BD ? AD, BD ? CD, AD ? CD ? D, 所以 BD ? 平面 ACD 。 又因为 AC ? 平面 ACD ,所以 AC ? BD ① (6 分) (Ⅱ)在 ?ACD 中, ?ADC ? 30? , AD ? 2 , CD ? 3 ,由余弦定理, 得 AC 2 ? AD2 ? CD2 ? 2 AD ? CD ? cos ?ADC ? 1 因为 AD2 ? CD2 ? AC 2 ,所以 ?ACD ? 90? ,即 AC ? CD. ② (10 分) 由①,②及 BD ? CD ? D ,可得 AC ? 平面 BCD 所以 ?ABC 即为 AB 与平面 BCD 所成的角。 在 ?ABC 中, cos ?ABC ? (12 分)

BC 2 5 , ? AB 5 2 5 (14 分) 5
(2 分)

因此, AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为

20.(I) n ? 1 时, 3a1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 1 。 ?a1 ? 1 当 n ? 2 时,由 3an ? 2Sn ? n (1) 得 3an?1 ? 2Sn?1 ? n ?1 (2)

(2) ?(1) 得 3an ? 3an?1 ? 2Sn ? n ? 2Sn?1 ? n ? 1 ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 1 ? 2an ? 1 即 an ? 3an?1 ? a , (5 分)

? an ?

1 1 1 1 3 ? 3an ?1 ? 1 ? ? 3(an ?1 ? ), 又 a1 ? ? ? 0 2 2 2 2 2
(8 分)

3 1? ? ? ?an ? ? 就是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2? ?
(Ⅱ)由(1)得 an ?

1 3 n ?1 3 1 ? ? 3 , 即 an ? ? 3n ?1 ? 代入(1)得 2 2 2 2

Sn ?

3 n 1 ? 3 ? (2n ? 3) 4 4 3 1 (3 ? 32 ? 33 ? … ? 3n ) ? (5 ? 7 ? … ? 2n ? 3) 4 4

?Tn ? S1 ? S2 ? … ? S n ?

考单招上高职单招网---= ?

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(14 分)

3 3(1 ? 3n ) n(n ? 4) 9 n n(n ? 4) ? ? (3 ? 1) ? 4 1? 3 4 8 4

21.(I)当 y ? 1 时, x ?

1 , 2p

| AP |?

1 p ? ? p ,得 p ? 1 2p 2

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1) ,
2 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 y1 ? 2x1 , y2 ? 2x2 , C( x1 ? y1 ) ,

直线 BC 方程为

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

(6 分)

令 y ? 0 ,则 x ?

y1 y ( y ? y ) ? y12 y1 y2 ① (8 分) ( x2 ? x1 ) ? x1 ? 1 2 1 ? y2 ? y1 2 2

? y2 ? 2x 2 由? 得 y 2 ? y ? 2 ? 0 ,得 y1 y2 ? ?2 (12 分) k ? y ? k ( x ? 1)
代入①得 x ? ?1 ,所以 Q 点坐标为 (?1, 0) 22.(I)因为 a ? 2 ,由题意 f '( x) ? x2 ? 2 x (15 分)

(2 分)

? f '(3) ? 3 即过点 P 的切线斜率为 3,又点 P(3, 0)
则过点 P 的切线方程为: 3x ? y ? 9 ? 0 (5 分) (Ⅱ)右题意 f '( x) ? x2 ? ax ? x( x ? a), 令 f '( x) ? 0 得 x ? a 或 x ? 0 (6 分) 由 f (0) ? 0 ,要使函数 y ? f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 ? ,则 a ? 0 (i)当 0 ? a ? 1 时, 当 0 ? x ? a 时, f '( x) ? 0 ,当 a ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , 所以函数 y ? f ( x) 在区间[0,1]上, f ( x) min ? f (a) ? ?

1 3

a3 6

考单招上高职单招网---即: f ( x)min ? ? (ii)当 a ? 1 时,

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(8 分)

a3 1 ? ? ,? a ? 3 2 ,舍去 6 3

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,则使函数 y ? f ( x) 在区间 [0,1] 上单调递减,

1 a 4 f ( x)min ? f (1) ? ? , ? a ? 3 2 3
综上所述: a ?

4 3

(10 分)

x3 (a ? 1) 2 a2 ? x ? ax ? (Ⅲ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 3 2 2

h '( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? a ? ( x ? a)( x ?1)
令 h '( x) ? 0 得 x ? a 或 x ? 1 (11 分)

(i)当 a ? 1 时,函数 h( x) 单调递增,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象不可能有三个不 同的交点 (ii)当 a ? 1 时, x, h( x), h '( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
h '( x) h( x )

(??, a)
+

a
0 极大 ?

(a,1)


1 0 极小 ?

(1, ??)
+

a3 6

a2 a 1 ? ? 2 2 6

欲使 f ( x) 与 g ( x) 图象有三个不同的交点, 方程 f ( x) ? g ( x) ,也即 h( x) ? 0 有三个不同的实根

? a2 a 1 ? ? ? ?0 ? ? 2 2 6 ,所以 a ? 0 ? 3 ?? a ? 0 ? ? 6

(13 分)

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(iii)当 a ? 1 时, x, h( x), h '( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
h '( x) h( x )

(??,1)
+

1 0

(1, a)


a
0

(a, ??)
+

a2 a 1 ? ? 极大 ? 2 2 6

a3 极小 ? 6

由于极大值 ?

a2 a 1 ? ? ? 0 恒成立,故此时不能有三个解 2 2 6
(15 分)

综上所述 a ? 0


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